Aussagen beurteilen

Judging statements

Mathematik Klasse 7 16 Aufgaben

StatistikDatenBoxplotVergleich

Aus Kenngrößen und Boxplots lassen sich Aussagen über Anteile ablesen — im Median, die mittleren 50 %, mindestens die Hälfte, ein Viertel —, aber keine über alle Werte, einzelne Werte oder die Anzahl. Ein höherer Median heißt nicht, dass jeder Wert höher ist; überlappende Bereiche lassen Ausnahmen zu. Jede Aussage wird als richtig, falsch oder aus den Kenngrößen nicht entscheidbar eingestuft. Räumt aus, aus einem besseren Median auf „alle besser“ zu schließen. Schließt den Kurs ab.

An zwei Buslinien wurden die Wartezeiten notiert (Minuten). Was darf man aus den Boxplots schließen?

Wartezeiten an zwei Buslinien in Minuten.

Drei Schritte helfen. Erstens eine Kenngröße nennen: im Median, die mittleren 50 %, die Spannweite. Zweitens mit Anteilen sprechen: mindestens die Hälfte, ein Viertel. Drittens nie von allen Werten reden, wenn nur Kenngrößen vorliegen. Jede Aussage ist dann richtig, falsch oder nicht entscheidbar:

„Im Median wartet man an Linie 9 eine Minute länger (7 statt 6 Minuten).“ — stimmt: 7 − 6 = 1.
„Bei mindestens einem Viertel der Fahrgäste wartet man an Linie 9 mindestens 14 Minuten.“ — stimmt: Das ist der Bereich ab q₃.
„Jede Wartezeit an Linie 9 ist länger als jede an Linie 5.“ — stimmt nicht: Linie 5 reicht bis 15 Minuten, Linie 9 beginnt bei 1.
„An Linie 5 wurden weniger Fahrgäste gezählt.“ — nicht entscheidbar: Die Anzahl steht nicht im Boxplot.

Kenngrößen liefern Belege, keine Urteile: Ob eine kurze Wartezeit im Median oder eine kleine Streuung wichtiger ist, entscheidet die Frage, die man beantworten will — nicht der Boxplot.

Voraussetzungen (1)

Boxplots vergleichen

Klasse 7

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Boxplots zeigen die Weitsprünge zweier Gruppen. Welche Aussage passt zu ihnen?

● Der Median von Gruppe B liegt 0,2 m über dem von Gruppe A
○ Jedes Kind aus B springt weiter als jedes Kind aus A
○ Gruppe B hat einen kleineren Quartilsabstand als Gruppe A

Die Mediane sind 3,6 m und 3,4 m: Unterschied 0,2 m. „Jedes Kind“ lässt sich aus Kenngrößen nicht folgern (die Bereiche überlappen). Der Quartilsabstand von B ist 1,0 m, der von A 0,8 m — also größer, nicht kleiner.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Spannweite von Gruppe B ist 0,6 m größer als die von Gruppe A.

✓ Wahr

Gruppe A: 4,4 − 2,4 = 2,0 m. Gruppe B: 4,8 − 2,2 = 2,6 m. Der Unterschied ist 2,6 − 2,0 = 0,6 m.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Bei einer Buslinie ist der Median der Wartezeit 8 Minuten. Welche Aussage folgt sicher?

● Mindestens die Hälfte der Fahrgäste wartet höchstens 8 Minuten
○ Alle Fahrgäste warten höchstens 8 Minuten
○ Genau die Hälfte der Fahrgäste wartet 8 Minuten

Der Median teilt die Werte in zwei Hälften: mindestens die Hälfte liegt bei 8 oder darunter. Über „alle“ oder „genau 8“ sagt er nichts.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Median von Klasse B (14 Punkte) ist höher als der von Klasse A (12 Punkte). Welche Folgerung ist sicher richtig?

● Mindestens die Hälfte der Kinder von B hat 14 Punkte oder mehr
○ Jedes Kind von B hat mehr Punkte als jedes Kind von A
○ Jedes Kind von B hat mehr als 12 Punkte

Der Median 14 teilt die Kinder von B in zwei Hälften; die obere Hälfte hat mindestens 14 Punkte. Über einzelne Kinder oder alle Kinder sagt der Median nichts.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Median von Kurs B ist höher als der von Kurs A. Deshalb hat jedes Kind aus Kurs B mehr Punkte als jedes Kind aus Kurs A.

✓ Falsch

Die Bereiche überlappen sich: Kurs A reicht bis 20, Kurs B beginnt schon bei 3. Ein Kind aus A kann also besser sein als ein Kind aus B.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Boxplot zeigt die Punkte der Kurse A und B. Welche Aussage über Kurs A folgt sicher?

● Alle Kinder von Kurs A haben zwischen 5 und 20 Punkte
○ Alle Kinder von Kurs A haben zwischen 9 und 16 Punkte
○ Alle Kinder von Kurs A haben mindestens 12 Punkte

Minimum 5 und Maximum 20 begrenzen alle Werte von A. Die Box (9 bis 16) enthält nur die mittleren 50 %, und beim Median 12 liegt nur die Hälfte der Kinder darüber, nicht alle.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Boxplot der Weitsprünge hat das Minimum 2,2 m, q₁ = 3,0 m, den Median 3,4 m, q₃ = 4,0 m und das Maximum 4,8 m. Die Aussage lautet: „Mindestens ein Kind ist genau 4,0 m gesprungen.“

● nicht entscheidbar
○ stimmt
○ stimmt nicht

q₃ = 4,0 m muss kein Datenwert sein (er kann der Mittelwert zweier Sprünge sein). Sicher vorkommen nur Minimum und Maximum.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Boxplot zeigt die Weitsprünge einer Gruppe. Mindestens ein Kind ist genau 4,8 m gesprungen.

✓ Wahr

Die rechte Antenne endet beim Maximum, und das ist ein tatsächlicher Wert der Daten: Ein Kind ist 4,8 m gesprungen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Boxplot zeigt die Weitsprünge einer Gruppe (q₁ = 3,0 m). Die Aussage lautet: „Mindestens 25 % der Kinder sind höchstens 3,0 m gesprungen.“

● stimmt
○ stimmt nicht
○ nicht entscheidbar

Bis q₁ liegt das unterste Viertel der Werte, also mindestens 25 % der Kinder.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Boxplot der Wartezeiten von 80 Fahrgästen hat q₃ = 14 min. Mindestens wie viele Fahrgäste warten mindestens 14 Minuten?

✓ Antwort: 20

Ab q₃ liegt das oberste Viertel der Werte: 80 : 4 = 20.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Klasse B hat 20 Kinder und den Median 15 Punkte. Mindestens wie viele Kinder aus B haben 15 Punkte oder mehr?

✓ Antwort: 10

Der Median teilt die 20 Kinder in zwei Hälften: mindestens 10 haben 15 Punkte oder mehr.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Boxplot gehört zu 40 Kindern mit q₃ = 4,0 m. Mindestens wie viele Kinder springen höchstens 4,0 m?

✓ Antwort: 30

Bis q₃ liegen drei Viertel der Werte: 40 · 3 : 4 = 30.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei 80 Fahrgästen ist q₁ = 5 min und q₃ = 14 min. Etwa wie viele Fahrgäste warten zwischen 5 und 14 Minuten?

✓ Antwort: 40

Zwischen q₁ und q₃ liegen die mittleren 50 % der Werte: 80 : 2 = 40 Fahrgäste.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Kurs A hat 32 Kinder und q₃ = 18 Punkte. Mindestens wie viele Kinder aus Kurs A haben höchstens 18 Punkte?

✓ Antwort: 24

Bis q₃ liegen drei Viertel der Werte: 32 · 3 : 4 = 24 Kinder.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Boxplot der Wartezeiten von 60 Fahrgästen hat q₁ = 4 min und den Median 9 min. Mindestens wie viele Fahrgäste warten mindestens 9 Minuten?

✓ Antwort: 30

Ab dem Median liegt mindestens die Hälfte der Werte: 60 : 2 = 30. Das q₁ wird für diese Aussage nicht gebraucht.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Wartezeiten (in Minuten) an zwei Straßenbahnlinien haben diese Kenngrößen. Linie 3: Minimum 1, q₁ = 2, Median 4, q₃ = 6, Maximum 9. Linie 8: Minimum 1, q₁ = 3, Median 5, q₃ = 11, Maximum 20. Julia sagt: „Mit Linie 8 wartet man immer länger.“ Beurteile diese Aussage. Formuliere dann zwei Aussagen, die sich mit den Kenngrößen belegen lassen, und eine, die nicht entscheidbar ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Julias Aussage stimmt nicht: Linie 3 reicht bis 9 Minuten, Linie 8 beginnt bei 1 — die Bereiche überlappen sich, im Median wartet man an Linie 8 nur 1 Minute länger (5 statt 4). Belegbar: Der Quartilsabstand ist bei Linie 8 mit 11 − 3 = 8 Minuten größer als bei Linie 3 mit 6 − 2 = 4 Minuten, Linie 8 streut stärker; mindestens ein Viertel der Fahrgäste an Linie 8 wartet mindestens 11 Minuten. Nicht entscheidbar: an welcher Linie mehr Fahrgäste gezählt wurden.

Aus Kenngrößen folgen Aussagen über Anteile, nicht über alle Werte. Überlappende Bereiche widerlegen „immer“.