Das gleichseitige Dreieck

The equilateral triangle

Mathematik Klasse 7 17 Aufgaben
GeometrieDreieckeGleichseitiges DreieckBeweis

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten, drei Winkel von 60° und drei Symmetrieachsen; es ist zugleich ein Sonderfall des gleichschenkligen. Die Station leitet die 60° aus dem Basiswinkelsatz für jede Seite als Basis und der Winkelsumme her und konstruiert das Dreieck mit zwei Kreisen vom Radius AB. Sie räumt aus, gleichseitig schließe gleichschenklig aus (de Villiers 1994), und Winkel wie 45° oder 90°. Bereitet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes, Sechseck und Parkette sowie später sin 60° und cos 60° vor.

Drei gleiche Seiten

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Es hat auch zwei gleich lange Seiten, ist also zugleich gleichschenklig: Jedes gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen. Der Basiswinkelsatz gilt dann für jede der drei Seiten als Basis: und . Alle drei Winkel sind gleich, ihre Summe ist 180°, also misst jeder . Im Bild wächst die Seite, die Winkel bleiben bei 60°. Man muss die Winkel also nicht einzeln messen: Sie folgen aus der Form allein.

Ändere die Seitenlänge s. Welche Chips ändern sich, welche nicht?

Konstruktion und Achsen

Zeichne die Strecke AB und um A und um B je einen Kreis mit dem Radius AB. Jeder Kreis geht durch den anderen Punkt; ihr Schnittpunkt C ist von A und B genau so weit entfernt wie A von B, also . Das Dreieck hat drei Symmetrieachsen, eine durch jede Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. Jede Achse halbiert die Gegenseite, steht senkrecht auf ihr und halbiert den Winkel an der Ecke. Beschreibe die Konstruktion in Worten: A und B festlegen, zwei Kreise mit Radius AB, Schnittpunkt C, Dreieck ABC.

Gehe die Schritte 0 bis 4 durch. Wie viele Achsen erscheinen zuletzt?

Voraussetzungen (1)

Das gleichschenklige Dreieck
Klasse 7
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm, 6 cm und 6 cm. Welche Bezeichnung passt?

  • ● gleichseitig und auch gleichschenklig
  • ○ gleichseitig, aber nicht gleichschenklig
  • ○ gleichschenklig, aber nicht gleichseitig
Drei gleich lange Seiten machen das Dreieck gleichseitig. Es hat damit auch zwei gleich lange Seiten und ist zugleich gleichschenklig: Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Dreieck mit den Seiten 5 cm, 5 cm und 8 cm ist gleichseitig.

✓ Falsch
Nur zwei Seiten sind gleich lang (5 cm), die dritte ist 8 cm. Das Dreieck ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie groß ist jeder Winkel im gleichseitigen Dreieck ABC?

  • ● 60°
  • ○ 90°
  • ○ 30°
Alle drei Winkel sind gleich groß und ergeben zusammen 180°: 180° : 3 = 60°. 90° wäre ein rechter Winkel, und 30° ist die Hälfte davon, die die Achse bei A abtrennt.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Ein gleichseitiges Dreieck wird auf die doppelte Seitenlänge vergrößert. Seine Winkel sind dann je 120°.

✓ Falsch
Beim Vergrößern bleiben alle Winkel gleich; das vergrößerte Dreieck ist wieder gleichseitig, also hat es Winkel von je 60°.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 4 cm wird konstruiert. AB = 4 cm ist gezeichnet. Mit welchem Radius zeichnest du die Kreise um A und um B?

  • ● 4 cm
  • ○ 2 cm
  • ○ 8 cm
C muss von A und von B genauso weit entfernt sein wie A von B: 4 cm. Mit 2 cm würden sich die Kreise nur in der Mitte von AB berühren, mit 8 cm wäre C zu weit weg.
Im Bild tippen #6 15s ▶ Testen

Die Kreise um A und B haben den Radius AB. Tippe auf die Ecke C des gleichseitigen Dreiecks ABC.

✓ Antwort: R
C liegt auf beiden Kreisen, ist also von A und von B genau 4 cm entfernt wie A von B: im Schnittpunkt R. P liegt nur auf dem Kreis um A, Q nur auf dem Kreis um B.
Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Welche der gestrichelten Geraden g, h und k ist eine Symmetrieachse des gleichseitigen Dreiecks ABC?

  • ● h
  • ○ g
  • ○ k
Eine Symmetrieachse geht durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite: h durch A und die Mitte von BC. g verbindet die Mitten zweier Seiten und geht durch keine Ecke; k geht durch B, aber nicht durch die Mitte von AC.
Im Bild tippen #8 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seite, die von der gestrichelten Symmetrieachse durch A halbiert wird.

✓ Antwort: BC
Die Achse durch A geht durch die Mitte der gegenüberliegenden Seite BC und steht senkrecht auf ihr. Sie halbiert BC.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt ___.

✓ Antwort: gleichseitig
Gleichseitig: alle drei Seiten sind gleich lang.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Wie groß ist ein Winkel im gleichseitigen Dreieck (in °)?

✓ Antwort: 60
Die drei Winkel sind gleich groß und ergeben 180°: 180° : 3 = 60°.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Zum Konstruieren zeichnet man um A und B Kreise mit dem Radius ___ (Streckenname).

✓ Antwort: AB
Die dritte Ecke ist von A und B so weit entfernt wie A von B; der Radius ist also die Seite AB.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Wie viele Symmetrieachsen hat ein gleichseitiges Dreieck?

✓ Antwort: 3
Durch jede der drei Ecken geht eine Achse (durch die Mitte der Gegenseite). Es gibt keine weiteren.
Schwer
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein gleichseitiges Dreieck hat den Umfang 21 cm. Wie lang ist eine Seite (in cm)?

✓ Antwort: 7
Die drei Seiten sind gleich lang: 21 cm : 3 = 7 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei gleichseitige Dreiecke ABC und DBC liegen an der gemeinsamen Seite BC (Bild). Wie groß ist der Winkel ABD (in °)?

✓ Antwort: 120
∠ABC ist ein Winkel im gleichseitigen Dreieck ABC: 60°. Ebenso ist ∠CBD = 60°. Die beiden Winkel liegen nebeneinander an B: ∠ABD = 60° + 60° = 120°.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Begründe, dass im gleichseitigen Dreieck ABC jeder Winkel 60° misst. Verwende den Basiswinkelsatz (einmal mit Basis AB, einmal mit Basis BC) und die Winkelsumme, und nenne bei jedem Schritt den Grund. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze eines gleichseitigen Dreiecks ABC. Wegen CA = CB (Basis AB) sind die Basiswinkel gleich: α = β. Wegen AB = AC (Basis BC) sind die Basiswinkel gleich: β = γ. Also α = β = γ. Die Winkelsumme ist 180°: 3α = 180°, also α = 60°. Damit ist jeder Winkel 60°.
Der Basiswinkelsatz gilt für jede Seite als Basis: α = β und β = γ. Alle drei Winkel sind gleich, ihre Summe ist 180°: jeder Winkel misst 60°.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Zwei Kreise mit dem Radius 6 cm um A und B schneiden sich in C, sodass ABC gleichseitig ist. Wie weit sind A und B voneinander entfernt (in cm)?

✓ Antwort: 6
Im gleichseitigen Dreieck ist AB genauso lang wie AC und BC, also 6 cm.
Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Das Dreieck ABC ist gleichseitig, die Symmetrieachse durch A trifft BC im Punkt M. Wie groß ist der Winkel BAM (in °)?

✓ Antwort: 30
Die Achse halbiert den Winkel bei A. Dieser misst 60°, also ist ∠BAM = 60° : 2 = 30°.