Kongruente Figuren

Congruent figures

Mathematik Klasse 7 19 Aufgaben
GeometrieKongruenz

Zwei Figuren sind kongruent, wenn man die eine durch Verschieben, Drehen und Spiegeln genau auf die andere legen kann: gleiche Form und gleiche Größe. Die Station zeigt, dass auch ein Spiegelbild kongruent ist, wie die Buchstabenreihenfolge in ABC ≅ DEF entsprechende Seiten und Winkel festlegt und warum weder gleiche Form (Vergrößerung) noch gleicher Flächeninhalt genügt. Sie räumt aus, Kongruenz heiße „sieht gleich aus“ oder man ordne nach der Lage im Bild zu. Bereitet die Kongruenzsätze, den Beweis des Basiswinkelsatzes und die Frage nach Umkehrungen vor.

Deckungsgleich

Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn man die eine durch Verschieben und Drehen genau auf die andere legen kann. Mehr ist nicht erlaubt: Strecken, Stauchen und Vergrößern verändern die Figur. Im Bild liegt die Kopie zuerst daneben; du schiebst und drehst sie auf das Original. Ihre Seiten werden dabei weder länger noch kürzer. Beim Basteln schneidest du eine Schablone aus und legst sie auf die andere Figur: Passt sie genau, sind beide kongruent.

Schiebe den Regler bis 1. Welche Chips ändern sich dabei, welche nicht?

Spiegelbild und entsprechende Stücke

Auch ein Spiegelbild ist kongruent zum Original: Man klappt das Blatt einfach um. Beim Übereinanderlegen fallen Ecken, Seiten und Winkel aufeinander. Diese entsprechenden Stücke sind gleich lang bzw. gleich groß. Die Schreibweise legt die Paare durch die Reihenfolge der Buchstaben fest: A liegt auf A′, B auf B′, C auf C′. Also gilt und . Die Lage im Bild entscheidet nicht. Beim Spiegeln ändert sich nur der Umlaufsinn der Ecken, keine Länge und kein Winkel.

Schiebe ABC auf die Achse g zu. Wo liegt B′, wenn B die Achse g berührt?

Gleiche Form genügt nicht

Sieht ein Dreieck genauso aus, ist aber größer, dann ist es nicht kongruent. Im Bild ist DEF das mit dem Faktor k vergrößerte Dreieck ABC: Die Winkel bleiben, die Seiten wachsen. Nur bei sind beide gleich groß. Auch gleicher Flächeninhalt reicht nicht: Ein Rechteck mit 1 cm × 12 cm und eines mit 3 cm × 4 cm haben je 12 cm², lassen sich aber nie aufeinanderlegen. Kongruent heißt also: gleiche Form und gleiche Größe. Figuren mit gleicher Form und anderer Größe nennt man ähnlich; sie begegnen dir später wieder.

Stelle k auf 1. Was gilt dann für AB und DE?

Ermöglicht (1)

Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW
Klasse 7
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welches der Dreiecke DEF, GHI und JKL ist kongruent zu Dreieck ABC?

  • ● Dreieck DEF
  • ○ Dreieck GHI
  • ○ Dreieck JKL
DEF entsteht aus ABC durch Drehen und Verschieben, alle Seiten und Winkel stimmen überein. GHI hat dieselbe Form, aber 1,5-fache Seiten; JKL hat dieselbe Grundseite und Höhe wie ABC, aber andere Seiten.
Im Bild tippen #2 15s ▶ Testen

Tippe auf das Rechteck, das kongruent zum grauen Rechteck ist.

✓ Antwort: R2
Das Rechteck 2 (2 cm × 4 cm) ist das graue Rechteck, nur gedreht: Es lässt sich genau darauflegen. Rechteck 1 hat denselben Flächeninhalt (8 cm²), aber eine andere Form; Rechteck 3 hat dieselbe Form, ist aber größer.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Dreieck wird bewegt. Bei welcher Bewegung ist das Bild NICHT mehr kongruent zum Dreieck?

  • ● Vergrößern auf die doppelten Seitenlängen
  • ○ Verschieben um 3 cm nach links
  • ○ Spiegeln an einer Geraden
Verschieben, Drehen und Spiegeln lassen alle Längen und Winkel unverändert; das Bild ist kongruent. Beim Vergrößern auf die doppelten Seitenlängen ändert sich die Größe, das Bild lässt sich nicht mehr auf das Original legen.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Dreieck ABC und sein Spiegelbild A′B′C′ an der Geraden g sind kongruent.

✓ Wahr
Spiegeln ändert keine Länge und keinen Winkel; man kann das Bild durch Umklappen auf das Original legen. Also sind ABC und A′B′C′ kongruent.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Es gilt ABC ≅ DEF. Welche Seite von DEF entspricht der Seite AB?

  • ● DE
  • ○ EF
  • ○ FD
Aus ABC ≅ DEF folgt: A liegt auf D und B auf E, also entspricht AB der Seite DE. Die Seite EF liegt zwar wie AB waagerecht, entspricht aber BC. Die Buchstabenreihenfolge legt die Paare fest, nicht die Lage im Bild.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Aus ABC ≅ DEF folgt: Der Winkel bei A ist genauso groß wie der Winkel bei E.

✓ Falsch
A liegt beim Übereinanderlegen auf D, nicht auf E. Also ist der Winkel bei A genauso groß wie der Winkel bei D; der Winkel bei E entspricht dem bei B.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten 1 cm und 10 cm. Welches Rechteck ist kongruent dazu?

  • ● 10 cm und 1 cm
  • ○ 2 cm und 5 cm
  • ○ 2 cm und 20 cm
Das Rechteck 10 cm × 1 cm ist das gegebene, nur gedreht. 2 cm × 5 cm hat denselben Flächeninhalt (10 cm²), aber eine andere Form; 2 cm × 20 cm hat dieselbe Form, ist aber doppelt so groß.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die beiden Dreiecke haben gleiche Winkel. Sie sind kongruent.

✓ Falsch
Die Winkel stimmen überein, aber die Seiten nicht (3 cm, 4 cm, 5 cm gegen 4,5 cm, 6 cm, 7,5 cm). DEF ist ABC mit dem Faktor 1,5 vergrößert: gleiche Form, andere Größe, also nicht kongruent.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Das Fachwort für „deckungsgleich“ lautet: ___

✓ Antwort: kongruent
Zwei Figuren sind kongruent, wenn man die eine durch Verschieben, Drehen und Spiegeln genau auf die andere legen kann.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Verschieben, Drehen und ___ verändern die Größe einer Figur nicht.

✓ Antwort: Spiegeln
Diese drei Bewegungen lassen Längen und Winkel unverändert; das Bild ist kongruent zum Original.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Es gilt ABC ≅ DEF. Dann entspricht die Seite BC der Seite ___.

✓ Antwort: EF
B liegt auf E und C auf F, also entspricht BC der Seite EF.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Kongruent bedeutet: gleiche Form und gleiche ___.

✓ Antwort: Größe
Gleiche Form allein ergibt nur ähnliche Figuren; erst mit gleicher Größe sind sie kongruent.
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

ABC ≅ DEF, dabei entspricht A dem D, B dem E und C dem F. AB = 7 cm, BC = 5 cm. Wie viel cm ist EF lang?

✓ Antwort: 5
Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

ABC ≅ DEF, dabei entspricht A dem D, B dem E und C dem F. AC = 9 cm, AB = 6 cm. Wie viel cm ist DF lang?

✓ Antwort: 9
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Dreieck ABC hat die Seiten 5,5 cm, 6 cm und 7 cm. Dreieck DEF ist kongruent zu ABC. Wie groß ist der Umfang von DEF (in cm)?

✓ Antwort: 18.5
Kongruente Dreiecke haben gleich lange Seiten, also hat DEF dieselben Seiten: 5,5 + 6 + 7 = 18,5 cm.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Winkel 35°, 55° und 90°. Es wird gespiegelt und dann um 20° gedreht. Wie groß ist der größte Winkel des Bildes (in °)?

✓ Antwort: 90
Spiegeln und Drehen erhalten alle Winkel; das Bild hat wieder die Winkel 35°, 55° und 90°. Der größte ist 90°.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Es gilt ABC ≅ DEF. Der Winkel bei B beträgt 72°. Wie groß ist der Winkel bei E (in °)?

✓ Antwort: 72
B liegt auf E, also sind die Winkel bei B und bei E gleich groß: 72°.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeichne zwei kongruente Dreiecke ABC und DEF mit AB = 5 cm, BC = 4 cm und CA = 3 cm; DEF soll gedreht liegen. Schreibe ABC ≅ DEF auf und nenne alle drei Seitenpaare und alle drei Winkelpaare, die einander entsprechen. Begründe, warum AB nicht der Seite EF entspricht, auch wenn EF im Bild wie AB liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit zwei Dreiecken, DEF gedreht. ABC ≅ DEF heißt A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Seitenpaare: AB = DE = 5 cm, BC = EF = 4 cm, CA = FD = 3 cm. Winkelpaare: α (bei A) = δ (bei D), β (bei B) = ε (bei E), γ (bei C) = φ (bei F). AB entspricht DE, nicht EF, weil die Reihenfolge der Buchstaben die Zuordnung festlegt und nicht die Lage im Bild.
Die Reihenfolge der Buchstaben in ABC ≅ DEF legt fest, welche Ecken, Seiten und Winkel einander entsprechen. Entsprechende Stücke sind gleich lang bzw. gleich groß.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Ein Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm wird auf die Seitenlängen 6 cm, 8 cm und 10 cm vergrößert. Um wie viel cm ist der Umfang des Bildes größer als der des Originals?

✓ Antwort: 12
Umfang des Originals: 3 + 4 + 5 = 12 cm; des Bildes: 6 + 8 + 10 = 24 cm. Der Unterschied ist 12 cm. Das Bild ist nicht kongruent, sonst wären die Umfänge gleich.