Die Kreisfläche

The area of the circle

Mathematik Klasse 8 24 Aufgaben

GeometrieKreiseFlächeninhaltFlächeninhalt

Zerlegt man einen Kreis in Sektoren und legt sie zu einem Fast-Rechteck um, hat dieses die Höhe r und die Länge ½ · U = π · r; daraus folgt A = π · r². Das Radiusquadrat r · r passt gut dreimal in den Kreis. Räumt drei Fehler aus: Umfangs- und Flächenformel vertauschen (die Einheit cm gegen cm² verrät es), r² als 2 · r lesen und den Durchmesser statt des Radius einsetzen (Faktor 4). Bereitet den Vergleich von Umfang und Fläche beim Verändern des Radius und die Sektorfläche vor.

Vom Kreis zum Fast-Rechteck

Für das Rechteck kennen wir $A = a \cdot b$ . Wie kommt man damit zur Fläche des Kreises? Man zerschneidet ihn in gleich große Sektoren und legt sie abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten nebeneinander. Es kommt nichts dazu und nichts geht verloren. Je feiner man schneidet, desto mehr gleicht die Figur einem Rechteck. Seine Höhe ist der Radius r. Die lange Seite besteht aus der Hälfte aller Bögen, also aus dem halben Umfang: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot π \cdot r = π \cdot r$ .

Sechzehn Sektoren, umgelegt: Die Höhe ist r, die Länge der halbe Umfang ½ · U = π · r.

Die Formel A = π · r²

Das Fast-Rechteck hat die Seiten π · r und r. Sein Flächeninhalt und damit der des Kreises ist

$A = π \cdot r \cdot r = π \cdot r^{2}$

$r^{2} = r \cdot r$ ist die Fläche des Radiusquadrats; es passt gut dreimal (π-mal) in den Kreis. Das Beet mit $r = 3 m$ hat $A = π \cdot 3^{2} m^{2} \approx 28, 27 m^{2}$ . Vorsicht: $r^{2}$ heißt r · r, nicht 2 · r. Ist der Durchmesser gegeben (6 m), halbiert man zuerst: $r = d : 2 = 3 m$ . Umfang und Fläche verrät die Einheit: $U = 2 π r$ ist eine Länge (m), $A = π r^{2}$ eine Fläche (m²) – wer beide Formeln vertauscht, erkennt es am Ergebnis.

Ändere den Radius. Wie oft passt das orange Radiusquadrat in den Kreis?

Voraussetzungen (1)

Umfang und die Zahl π

Klasse 8

›

Ermöglicht (4)

Doppelter Radius, doppelte Fläche?

Klasse 8

›

Kreisbogen und Kreissektor

Klasse 8

›

Oberfläche des Zylinders

Klasse 8

›

Volumen: Grundfläche mal Höhe

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Kreis mit r = 4 cm wird in viele Sektoren zerlegt, die zu einem Fast-Rechteck umgelegt werden. Welche Seitenlängen hat das Fast-Rechteck?

● π · 4 cm ≈ 12,6 cm und 4 cm
○ 2π · 4 cm ≈ 25,1 cm und 4 cm
○ π · 4 cm ≈ 12,6 cm und 8 cm

Die Höhe ist der Radius (4 cm), die lange Seite der halbe Umfang: ½ · 2π · 4 cm = π · 4 cm ≈ 12,6 cm. 25,1 cm wäre der ganze Umfang, 8 cm der Durchmesser statt des Radius.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Beim Umlegen der Sektoren zum Fast-Rechteck ändert sich der Flächeninhalt der Figur.

✓ Falsch

Die Sektoren werden nur verschoben. Es kommt nichts dazu und nichts geht verloren, deshalb hat das Fast-Rechteck denselben Flächeninhalt wie der Kreis.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Umfang 40 cm. Wie lang ist die lange Seite des Fast-Rechtecks aus seinen Sektoren?

● 20 cm
○ 40 cm
○ 6,4 cm

Die lange Seite ist der halbe Umfang: 40 cm : 2 = 20 cm. 40 cm wäre der ganze Umfang; 6,4 cm ist der Radius (40 : 2π ≈ 6,4), also die kurze Seite.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen Flächeninhalt hat ein Kreis mit r = 5 cm?

● 78,5 cm²
○ 31,4 cm²
○ 246,7 cm²

A = π · r² = π · 25 cm² ≈ 78,5 cm². 31,4 ist die Rechnung 2 · π · 5 (Umfangsformel), 246,7 entsteht aus (π · 5)²: r wird nicht allein quadriert.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Kreis hat r = 3 cm. Für seinen Flächeninhalt gilt A = π · 6 cm² ≈ 18,8 cm².

✓ Falsch

r² ist r · r = 3 · 3 = 9, nicht 2 · 3 = 6: A = π · 9 cm² ≈ 28,3 cm².

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Angabe kann der Flächeninhalt eines Kreises mit r = 3 m sein?

● 28,3 m²
○ 28,3 m
○ 28,3 m³

Ein Flächeninhalt hat eine Quadrat-Einheit: A = π · 3² m² ≈ 28,3 m². m ist die Einheit einer Länge (Umfang), m³ die eines Volumens.

Im Bild tippen #7 15s ▶ Testen

Tippe auf die Strecke, deren Länge in A = π · r² eingesetzt wird.

✓ Antwort: MA

In A = π · r² steht der Radius r – die Strecke vom Mittelpunkt zum Kreis: MA. BC ist ein Durchmesser, EF eine Sehne.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Welche Rechnung liefert seinen Flächeninhalt?

● π · 5² cm²
○ π · 10² cm²
○ π · 10 · 5 cm²

Erst halbieren: r = 10 cm : 2 = 5 cm, dann A = π · 5² cm² ≈ 78,5 cm². π · 10² setzt d statt r ein (viermal zu groß), π · 10 · 5 mischt beide.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Durchmesser 8 cm. Sein Flächeninhalt ist π · 8² cm² ≈ 201 cm².

✓ Falsch

8 cm ist der Durchmesser: r = 4 cm und A = π · 4² cm² ≈ 50,3 cm². 201 cm² ist viermal so viel.

Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Eine Pizza hat den Durchmesser 30 cm. Wie groß ist ihre Fläche ungefähr?

● 707 cm²
○ 2 827 cm²
○ 94 cm²

r = 15 cm, A = π · 15² cm² ≈ 707 cm². 2 827 cm² entsteht mit π · 30² (Durchmesser als Radius), 94 cm² mit π · 30 – das wäre eine Länge, der Umfang.

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ein Kreis hat r = 5 cm. Tim rechnet: A = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm². Stimmt das?

✓ Nein

Wahr / Falsch #12 25s ▶ Testen

Ein Kreis hat r = 4 cm. Mia rechnet: A = 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm². Stimmt das?

✓ Nein

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Umfang 62,8 cm. Wie lang ist die lange Seite des Fast-Rechtecks aus seinen Sektoren (in cm)?

✓ Antwort: 31.4

Die lange Seite ist der halbe Umfang: 62,8 cm : 2 = 31,4 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit r = 6 cm (in cm², auf 0,1 gerundet).

✓ Antwort: 113.1

A = π · 6² cm² = π · 36 cm² = 113,097 cm² ≈ 113,1 cm².

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Durchmesser 8 cm. Berechne seinen Flächeninhalt in cm² (auf 0,1 gerundet).

✓ Antwort: 50.3

r = 8 cm : 2 = 4 cm, A = π · 4² cm² = 50,265 cm² ≈ 50,3 cm².

Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Durchmesser d = 14 cm. Wie groß ist sein Radius (in cm)?

✓ Antwort: 7

Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Ein Kreis hat r = 3 cm. Berechne die Fläche A (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 28.26

Zahleneingabe #6 45s ▶ Testen

Ein Kreis hat r = 6 cm. Berechne die Fläche A (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 113.04

Zahleneingabe #7 45s ▶ Testen

Ein Kreis hat d = 8 cm. Berechne die Fläche A (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 50.24

Zahleneingabe #8 45s ▶ Testen

Ein Kreis hat d = 20 cm. Berechne die Fläche A (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 314

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Kreis mit r = 3 cm wird zu einem Fast-Rechteck mit den Seiten 9,42 cm und 3 cm umgelegt. Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreises (in cm², auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 28.3

Der Flächeninhalt bleibt beim Umlegen gleich: 9,42 cm · 3 cm = 28,26 cm² ≈ 28,3 cm².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine kreisförmige Wiese hat den Radius 12 m. Wie groß ist ihr Flächeninhalt in m² (auf ganze m² gerundet)?

✓ Antwort: 452

A = π · 12² m² = π · 144 m² = 452,39 m² ≈ 452 m².

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein kreisrunder Teich hat den Durchmesser 6 m. Wie viel m² Folie braucht man für den Boden (auf 0,1 m² gerundet)?

✓ Antwort: 28.3

r = 3 m, A = π · 3² m² = 28,274 m² ≈ 28,3 m².

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Auf einer quadratischen Rasenfläche mit der Seitenlänge 10 m liegt ein kreisrunder Teich mit dem Durchmesser 6 m. Zeichne eine Skizze, bestimme den Radius, berechne die Fläche des Teichs und die Fläche, die noch Rasen ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Quadrat 10 m mal 10 m mit einem Kreis d = 6 m. r = 6 m : 2 = 3 m. Teich: A = π · 3² m² ≈ 28,3 m². Quadrat: 10 m · 10 m = 100 m². Rasen: 100 m² − 28,3 m² ≈ 71,7 m².

Der Rasen ist das Quadrat ohne den Kreis: 100 m² − π · 3² m² ≈ 71,7 m².