Sachprobleme modellieren
Modelling real-world problems
Ein Sachproblem der Geometrie wird in vier Schritten gelöst: ein Koordinatensystem so legen, dass die Punkte einfache Koordinaten haben, GegenstĂ€nde und Fragen in Punkte, Geraden, Ebenen, Kugeln, Winkel und AbstĂ€nde ĂŒbersetzen, das Ergebnis prĂŒfen (GröĂenordnung, Einheit, Skizze) und Wege vergleichen. Der Abschnitt fĂŒhrt das am Zeltdach vor: Neigung der Wand, Abstand der Zeltmitte von der Wand und die gröĂte Kugel im Zelt, mit einem zweiten Weg ĂŒber Dreieck und Trigonometrie. RĂ€umt aus, das Koordinatensystem quer zu den Kanten zu legen, Einheiten und Antwortsatz zu vergessen oder den Komplementwinkel fĂŒr die Neigung zu halten. Bereitet die Aufgaben der AbiturprĂŒfung zur Analytischen Geometrie vor.
Das Koordinatensystem wÀhlen
Ein Zelt hat einen quadratischen Boden von 6 m Ă 6 m und die Spitze 4 m ĂŒber der Mitte. Wo legt man das Koordinatensystem hin? Sinnvoll ist der Ursprung in der Ecke A, die Achsen entlang der Kanten,
1 LĂ€ngeneinheit = 1 m: A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(6 | 6 | 0), D(0 | 6 | 0) und S(3 | 3 | 4). Das ist das
Ăbersetzen und rechnen
Wie steil ist die Zeltwand ABS? Sie ist eine
PrĂŒfen und vergleichen
Ein Ergebnis gehört
Voraussetzungen (2)
Ein Zelt hat den quadratischen Boden ABCD (SeitenlĂ€nge 6 m) und die Spitze S, 4 m ĂŒber der Mitte. GewĂ€hlt ist A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), D(0 | 6 | 0), xâ zeigt nach oben, 1 LĂ€ngeneinheit = 1 m. Welche Koordinaten hat S?
Legt man den Ursprung in die Ecke A des Zeltbodens und die Achsen xâ, xâ entlang der Bodenkanten AB und AD, so haben alle vier Bodenecken die Koordinate xâ = 0.
Eine Drohne D soll von der Zeltwand ABS (Ebene E) mindestens 2 m Abstand halten. Welche Bedingung modelliert das?
Die Zeltwand BCS mit B(6 | 0 | 0), C(6 | 6 | 0) und S(3 | 3 | 4) liegt in der Ebene 4xâ + 3xâ = 12.
Eine Zeltwand steigt auf 3 m Breite 4 m hoch an. FĂŒr die Neigung gegen den Boden hat jemand drei Ergebnisse gerechnet. Welches ist plausibel?
FĂŒr den Abstand der Zeltmitte M(3 | 3 | 0) von der Wand ABS ergibt die Rechnung 12/5 (1 LĂ€ngeneinheit = 1 m). Welcher Antwortsatz ist richtig?
Eine Zeltwand steigt auf einer Breite von 3 m um 4 m an. Welche Rechnung liefert ihre Neigung Ï gegen den Boden auch ohne Vektoren?
Der Schnitt durch das Zelt bei xâ = 3 zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 m und 4 m (Hypotenuse 5 m). Seine Höhe auf der Hypotenuse, 3·4/5 = 2,4 m, ist der Abstand der Zeltmitte M(3 | 3 | 0) von der Wand ABS.
Ein Turm hat einen quadratischen Grundriss (SeitenlĂ€nge 4 m) und ein Pyramidendach, dessen Spitze 9 m ĂŒber der Mitte liegt. Mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), D(0 | 4 | 0) und xâ nach oben: Welche xâ-Koordinate hat die Spitze?
Die Zeltwand BCS hat den Normalenvektor n = (4; 0; 3) und enthĂ€lt B(6 | 0 | 0). Bestimme d in 4xâ + 3xâ = d.
Der Punkt (3 | 3 | z) hat von der Zeltwand ABS (4xâ â 3xâ = 0) den Abstand (12 â 3z)/5. Berechne diesen Abstand fĂŒr z = 1,5.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 5 m und 12 m (Hypotenuse 13 m). Wie lang ist die Höhe auf die Hypotenuse (auf 0,01 m genau)?
Ein Zelt hat die Ecke A(0 | 0 | 0) und die Spitze S(3 | 3 | 4) (1 LĂ€ngeneinheit = 1 m). Wie lang ist die Kante AS (auf 0,1 m genau)?
An der Zeltwand BCS (4xâ + 3xâ = 24) wird ein Haken in dem Punkt mit xâ = 4,5 und xâ = 3 befestigt. In welcher Höhe xâ (in m) liegt er?
Ein Kabel hĂ€ngt im Zelt im Punkt P(3 | 3 | 1) (1 LĂ€ngeneinheit = 1 m). Welchen Abstand hat P von der Wand ABS: 4xâ â 3xâ = 0 (auf 0,1 m genau)?
Ein Zelt hat den Boden 12 m Ă 12 m und die Spitze 8 m ĂŒber der Mitte, also dieselbe Form wie oben, doppelt so groĂ. Wie groĂ ist der Radius der gröĂten Kugel, die ins Zelt passt (in m)?
Ein Zelt hat den quadratischen Boden ABCD mit A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(6 | 6 | 0), D(0 | 6 | 0) und die Spitze S(3 | 3 | 4) (1 LÀngeneinheit = 1 m). Bestimme die Ebenengleichung der Wand BCS, ihre Neigung gegen den Boden und den Abstand der Zeltmitte M(3 | 3 | 0) von dieser Wand. Dokumentiere Skizze, Ansatz, Rechnung und AntwortsÀtze mit Einheiten, und kontrolliere die Neigung auf einem zweiten Weg. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.