ZĂ€hlprinzip und Baumdiagramm
Counting principle and tree diagram
Bei mehrstufigen Experimenten steht |Ω| nicht auf dem Tisch, man zĂ€hlt es: Hat die erste Stufe m und die zweite n Möglichkeiten, gibt es m · n Ergebnisse â ohne ZurĂŒcklegen schrumpft die Zahl der Möglichkeiten je Stufe. Im Baumdiagramm ist jeder Pfad ein Ergebnis. Mit |E| / |Ω| und dem Gegenereignis wird âmindestens einmalâ zu 1 â P(keinmal). RĂ€umt aus, dass man Möglichkeiten addiert oder ohne ZurĂŒcklegen dieselbe Zahl je Stufe zĂ€hlt. Bereitet die Pfadregeln der zusammengesetzten Zufallsexperimente in Jgst. 10 vor.
Das ZĂ€hlprinzip
Bei mehrstufigen Experimenten liegt Ω nicht fertig vor, man zÀhlt es. Hat die erste Stufe m und die zweite n
Möglichkeiten, gibt es
Ohne ZurĂŒcklegen schrumpft die Zahl der Möglichkeiten: Zieht man aus 4 Kugeln nacheinander zwei, hat die erste Stufe 4, die zweite nur noch 3 Möglichkeiten â das sind 4 · 3 = 12 Ergebnisse, nicht 4 · 4.
Das Baumdiagramm
Ein Baumdiagramm zeichnet jede Stufe als Ebene von Ăsten. Jeder Pfad von der Wurzel bis zu einem Ende ist ein
Ergebnis. In der Urne liegen drei Kugeln R, B und G; zwei werden ohne ZurĂŒcklegen gezogen. Es gibt 3 · 2 = 6 Pfade, und weil jede Kugel gleich wahrscheinlich gezogen wird, sind alle sechs Pfade gleich wahrscheinlich. Ein Ereignis liest man ab,
indem man seine Pfade zĂ€hlt: âR zuerstâ (rot markiert) hat 2 von 6 Pfaden, also
Mindestens einmal
âMindestens eine Sechs bei zwei WĂŒrfenâ umfasst viele FĂ€lle. ZĂ€hlt man stattdessen das Gegenereignis
Voraussetzungen (1)
Ein MenĂŒ besteht aus einer Vorspeise (4 zur Wahl), einem Hauptgericht (5) und einem Nachtisch (3). Wie viele verschiedene MenĂŒs gibt es?
Jeder Punkt zeigt eine Kombination aus einem Hemd (waagerecht) und einer Krawatte (senkrecht). Wie viele Kombinationen gibt es?
Aus einer Urne mit 5 verschiedenen Kugeln werden nacheinander 2 gezogen, ohne ZurĂŒcklegen. Wie viele geordnete Ergebnisse gibt es?
Zieht man aus 6 Kugeln zwei nacheinander ohne ZurĂŒcklegen, gibt es 6 · 6 = 36 mögliche Ergebnisse.
Das Baumdiagramm zeigt zwei MĂŒnzwĂŒrfe. Wie viele Pfade gehören zum Ereignis âgenau einmal Kopfâ?
Das Baumdiagramm zeigt zwei ZĂŒge ohne ZurĂŒcklegen aus den Kugeln A, B und C. Wie viele Pfade beginnen mit Kugel B?
Ein Rad hat vier gleich groĂe Felder, eines ist rot. Es wird zweimal gedreht. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Rot zu erhalten?
Im Baumdiagramm fĂŒr drei MĂŒnzwĂŒrfe ist der Pfad des Gegenereignisses von E markiert (Zahl, Zahl, Zahl). Wie viele Pfade hat E?
Ein Zahlenschloss hat 3 RĂ€dchen mit je den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Einstellungen gibt es?
FĂŒnf LĂ€ufer kommen ins Ziel. Auf wie viele Arten können Gold, Silber und Bronze vergeben werden?
Ein Baumdiagramm hat in der ersten Stufe 3 Ăste, an jedem davon in der zweiten Stufe 4 Ăste. Wie viele Pfade hat es?
Eine MĂŒnze wird dreimal geworfen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr âmindestens einmal Kopfâ (als Dezimalzahl)?
Eine MĂŒnze wird viermal geworfen und danach ein WĂŒrfel einmal. Wie viele Ergebnisse hat Ω?
In einer Klasse mit 20 Kindern werden ein Klassensprecher und ein Stellvertreter gewÀhlt (verschiedene Personen). Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Eine MĂŒnze wird dreimal geworfen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr âgenau zweimal Kopfâ (als Dezimalzahl)?
Eine MĂŒnze wird viermal geworfen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr âmindestens einmal Zahlâ (als Dezimalzahl)?
Ein WĂŒrfel wird dreimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit fĂŒr âmindestens eine Sechsâ. Bestimme dazu |Ω| mit dem ZĂ€hlprinzip, beschreibe das Gegenereignis in Worten, zĂ€hle seine Ergebnisse und berechne die Wahrscheinlichkeit als Bruch und auf drei Stellen gerundet. ErklĂ€re, warum der Weg ĂŒber das Gegenereignis kĂŒrzer ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.