Randverhalten und führender Term

End behaviour and leading term

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben

FunktionenPolynomVerhalten im Unendlichen

Für große |x| überholt die höchste Potenz alle anderen Summanden: Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten legen fest, wohin der Graph links und rechts läuft, in allgemeiner wie in faktorisierter Form. Der Abschnitt räumt aus, dass der größte Koeffizient entscheidet, dass gerader Grad „immer nach oben“ heißt und dass der Grad die Zahl der Faktoren ist. Er bereitet die Skizze und den Schluss vom Graphen auf den Term vor und später die Grenzwerte für x → ±∞.

Führender Term

Für große Beträge von x überholt eine höhere Potenz jede niedrigere, auch wenn deren Koeffizient viel größer ist. Bei $f (x) = x^{3} - 5 x^{2}$ ist $f (10) = 500$ , aber $1 0^{3} = 1000$ ; bei $x = 1000$ liegt f nur noch 0,5 % unter $x^{3}$ . Die höchste Potenz, der führende Term $a_{n} x^{n}$ , entscheidet also, wohin der Graph außen läuft.

Vergrößere s: Du schaust aus immer größerer Entfernung auf f. Wohin schmiegt sich die Kurve?

Vier Fälle

Wie der Graph außen verläuft, sagen zwei Angaben: ob der Grad gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat. Wir schreiben $x \to - \infty$ für „sehr weit links“ und $x \to + \infty$ für „sehr weit rechts“. Bei geradem Grad zeigen beide Ränder in dieselbe Richtung, weil $(- x)^{n} = x^{n}$ : nach oben bei positivem, nach unten bei negativem Leitkoeffizienten. Bei ungeradem Grad zeigen sie entgegengesetzt: Bei positivem Leitkoeffizienten läuft der Graph links nach unten und rechts nach oben, bei negativem umgekehrt.

Stelle Grad n und Vorzeichen v ein. Welche vier Kombinationen gibt es, und wohin laufen jeweils die Ränder?

Faktorisierte Form

Steht der Term als Produkt, muss man nicht ausmultiplizieren: Die Grade der Faktoren addieren sich, die Leitkoeffizienten multiplizieren sich. Die Funktion $f (x) = - 2 (x + 1) (3 x - 6)$ hat den führenden Term $- 2 \cdot 1 \cdot 3 x^{2} = - 6 x^{2}$ . Bei $(k x - 1) (x + 2) (x - 2)$ ist er $k x^{3}$ : Für $k = 0$ fällt der Faktor mit x weg, und der Grad sinkt auf 2. In beiden Fällen sieht man das Verhalten am Rand, ohne die Klammern aufzulösen.

Voraussetzungen (1)

Summen von Potenzfunktionen

Klasse 10

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Ermöglicht (2)

Den Graphen skizzieren

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Bei sehr großem |x|, etwa x = 10⁶, bestimmt welcher Summand von f(x) = 2x⁴ − 900x³ + x den Funktionswert fast allein?

● 2x⁴
○ −900x³
○ x

Für große |x| wächst die höchste Potenz am stärksten: Bei x = 10⁶ ist 2x⁴ = 2·10²⁴, dagegen 900x³ nur 9·10²⁰. Der große Koeffizient 900 holt den fehlenden Exponenten nicht auf.

Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Bei x = 10 000 ist in f(x) = x² + 50x der Summand 50x größer als x². Die Abbildung zeigt die Summanden x² und 50x bis x = 80.

✓ Falsch

x² = 100 000 000, aber 50x = 500 000. Schon ab x = 50 ist x² größer als 50x, wie die Abbildung zeigt, und der Abstand wächst weiter.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = −x⁴ + 3x² + 5 ist nur für −1,2 ≤ x ≤ 1,2 gezeichnet. Wie verläuft er für x → −∞ und für x → +∞?

● links und rechts nach unten
○ links und rechts nach oben
○ links nach oben, rechts nach unten

Der führende Term −x⁴ hat geraden Grad: (−x)⁴ = x⁴, beide Ränder gehen gleich. Wegen des Minuszeichens zeigen sie nach unten, auch wenn der gezeichnete Ausschnitt eine Mulde zwischen zwei Gipfeln zeigt: Außerhalb des Fensters fällt der Graph.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welcher Term passt zum Randverhalten des abgebildeten Graphen?

● f(x) = x⁴ − 5x
○ f(x) = −x⁴ + 5x
○ f(x) = x³ − 5x

Beide Ränder laufen nach oben: gerader Grad und positiver Leitkoeffizient, also x⁴ − 5x. −x⁴ + 5x liefe beidseitig nach unten, x³ − 5x links nach unten.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = −2x³ + 5x² − 1 ist nur für −0,5 ≤ x ≤ 1,5 gezeichnet. Wie verläuft er für x → −∞ und für x → +∞?

● links nach oben, rechts nach unten
○ links nach unten, rechts nach oben
○ links und rechts nach unten

Der führende Term −2x³ hat ungeraden Grad: Die Ränder gehen entgegengesetzt. Wegen −2 < 0 läuft der rechte Rand nach unten, der linke nach oben, auch wenn der gezeichnete Ausschnitt rechts noch ansteigt.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Welcher Term passt zum Randverhalten des abgebildeten Graphen?

● f(x) = −x³ + 2x
○ f(x) = x³ − 2x
○ f(x) = −x⁴ + 2x

Links läuft der Graph nach oben, rechts nach unten: ungerader Grad und negativer Leitkoeffizient. x³ − 2x wäre gespiegelt, −x⁴ + 2x liefe beidseitig nach unten.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x⁵ − 100x⁴ verläuft für x → −∞ nach unten.

✓ Wahr

Der führende Term x⁵ hat ungeraden Grad und positiven Leitkoeffizienten: links unten, rechts oben. Der große Koeffizient von x⁴ ändert daran nichts.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welchen Grad hat f(x) = (x + 1)(x − 4)(x² + 9)?

● 4
○ 3
○ 2

Die Grade der Faktoren addieren sich: 1 + 1 + 2 = 4. Die 3 wäre die Zahl der Faktoren, die 2 der Grad des größten Faktors.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Welchen führenden Term hat f(x) = −2(x + 3)(4x − 1)?

● −8x²
○ −2x²
○ 4x²

Die Leitkoeffizienten multiplizieren sich: −2·1·4 = −8, die Grade addieren sich: 1 + 1 = 2. Also −8x². Vergisst man den Faktor 4 in (4x − 1), kommt −2x² heraus.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Bei großem |x| verhält sich f(x) = 3x − 7x⁴ + 2x² wie a·x⁴. Wie groß ist a?

✓ Antwort: -7

Der führende Term ist −7x⁴, also a = −7.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x⁴ − 9x verläuft für x → −∞ und für x → +∞ nach ___ (oben oder unten).

✓ Antwort: oben

Der führende Term x⁴ hat geraden Grad und positiven Leitkoeffizienten: beide Ränder nach oben.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 5x³ − 2x verläuft für x → −∞ nach ___ (oben oder unten).

✓ Antwort: unten

Der führende Term 5x³ hat ungeraden Grad und positiven Leitkoeffizienten: Für x → −∞ ist 5x³ negativ, der Graph läuft nach unten.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Welchen Grad hat f(x) = 2x(x − 3)²(x + 1)³?

✓ Antwort: 6

Die Exponenten der Faktoren addieren sich: 1 + 2 + 3 = 6.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Es sei f(x) = x³ − 8x². Wie viel Prozent von x³ beträgt f(x) an der Stelle x = 1000?

✓ Antwort: 99.2

f(1000) = 1 000 000 000 − 8 000 000 = 992 000 000, das sind 99,2 % von 1 000 000 000. Der Term 8x² fällt bei großem x kaum noch ins Gewicht.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = (k − 2)x⁴ + x soll für x → −∞ und x → +∞ nach unten verlaufen. Welches ist die größte ganze Zahl k, für die das gilt?

✓ Antwort: 1

Nach unten heißt: Leitkoeffizient k − 2 < 0, also k < 2. Die größte ganze Zahl darunter ist k = 1 (bei k = 2 fiele der x⁴-Summand weg).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f(−10) für f(x) = x³ − 20x. Das Vorzeichen zeigt, wohin der linke Rand läuft.

✓ Antwort: -800

f(−10) = −1000 + 200 = −800. Der Funktionswert ist negativ, passend zu „links nach unten“.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Bestimme den Leitkoeffizienten von f(x) = −(x + 2)(x − 1)(2x − 3).

✓ Antwort: -2

Multiplikation der führenden Koeffizienten: (−1)·1·1·2 = −2. Der führende Term ist −2x³.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = −(x + 3)(x − 2)²(2x + 1). Bestimme den Grad und den führenden Term, ohne auszumultiplizieren. Beschreibe damit den Verlauf des Graphen für x → −∞ und für x → +∞ und begründe ihn. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Grad: 1 + 2 + 1 = 4. Führender Term: (−1)·1·1·2·x⁴ = −2x⁴. Gerader Grad und negativer Leitkoeffizient: Für x → −∞ und für x → +∞ läuft der Graph nach unten (f(x) → −∞).

Die Grade der Faktoren addieren sich (1 + 2 + 1 = 4), die Leitkoeffizienten multiplizieren sich (−1·1·1·2 = −2): −2x⁴. Gerader Grad, negativer Leitkoeffizient: beide Ränder nach unten.