Leiter, Diagonale, Höhe

Ladder, Diagonal, Height

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
GeometrieSatz des PythagorasSachaufgabenDreiecke

Sachaufgaben beginnen mit der Skizze: Wo steckt das rechtwinklige Dreieck, was ist Hypotenuse, was Kathete? Drei Standardsituationen üben das: die angelehnte Leiter, die Diagonale im Rechteck und die Höhe im gleichschenkligen Dreieck, die die Basis halbiert. Räumt das Rechnen mit der ganzen Basis, das Addieren der Seiten und das Verwechseln von gesuchter Größe und Hypotenuse aus. Bereitet die Raumgeometrie in Jahrgangsstufe 10 vor, in der Höhen und Mantellinien im Körper auftreten.

Die Leiter an der Wand

Bisher war das rechtwinklige Dreieck immer schon gezeichnet. In einer Sachaufgabe steht nur ein Gegenstand: Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,5 m von der Wand. Wie hoch reicht sie? Bei Sachaufgaben zeichnet man deshalb zuerst eine Skizze und fragt: Wo steckt das rechtwinklige Dreieck, was ist gegeben, was gesucht? Im Bild stehen zunächst nur Wand, Boden und Leiter.

Wo ist der rechte Winkel, welche Strecke liegt ihm gegenüber? Entscheide, dann schalte auf „mit Dreieck“. Rücke danach den Fuß von der Wand weg: Wie verändert sich die Höhe h?

Wand und Boden bilden den rechten Winkel; die Leiter liegt ihm gegenüber und ist die Hypotenuse, die Höhe h eine Kathete. Gesucht ist also nicht die Hypotenuse: , . Das Ergebnis gehört in einen Antwortsatz: Die Leiter reicht etwa 4,77 m hoch. Die Höhe ist kürzer als die Leiter. Wer die Leiter für eine Kathete hält, rechnet – höher, als die Leiter lang ist.

Die Diagonale im Rechteck

Eine Diagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Sie ist die Hypotenuse, die Rechteckseiten sind die Katheten. Bei einem Feld von 12 m × 5 m gilt , also – kürzer als der Weg an zwei Seiten entlang (17 m). Kennt man dagegen die Diagonale und eine Seite, ist die andere Seite eine Kathete und wird subtrahiert. Im Quadrat mit der Seite s sind beide Katheten s: , und mit wird .

Verändere Länge l und Breite w. Kann die Diagonale d je so lang werden wie l + w?

Die Höhe im gleichschenkligen Dreieck

Im gleichschenkligen Dreieck steht die Höhe senkrecht auf der Basis und halbiert sie. So entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke: Die Katheten sind die halbe Basis g/2 und die Höhe h, die Hypotenuse ist der Schenkel. Für g = 6 cm und Schenkel 5 cm: , – jede Hälfte ist wieder das Dreieck 3, 4, 5 vom Anfang. Die ganze Basis 6 cm gehört nicht ins Teildreieck. Mit der Höhe lässt sich auch die Fläche bestimmen: ½ · 6 · 4 = 12 cm².

Verändere die Basis g. Die Schenkel bleiben 5 lang – wie ändert sich die Höhe?

Voraussetzungen (2)

Die Hypotenuse berechnen
Klasse 9
›
Eine Kathete berechnen
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Die Raumdiagonale
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine 6 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand, ihr Fuß steht 2 m von der Wand entfernt. Welche Strecke ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks?

  • ● die Leiter (6 m)
  • ○ der Fußabstand (2 m)
  • ○ die Höhe an der Wand
Der rechte Winkel liegt zwischen Wand und Boden. Gegenüber liegt die Leiter – sie ist die Hypotenuse, obwohl die Höhe gesucht ist. Fußabstand und Höhe sind die Katheten.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Eine 6 m lange Leiter steht mit dem Fuß 2 m von der Wand. Welche Rechnung liefert, wie hoch sie an der Wand reicht?

  • ○ 6 − 2
  • ○ √(6² + 2²)
  • ● √(6² − 2²)
Die Höhe ist eine Kathete: h² = 6² − 2² = 32, h ≈ 5,7 m. 6 − 2 zieht Längen ab, √(6² + 2²) würde die Leiter als Kathete behandeln.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine 4 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1 m von der Wand. Sie reicht dann 3 m hoch.

✓ Falsch
4 − 1 = 3 zieht Längen ab. Richtig ist h = √(4² − 1²) = √15 ≈ 3,9 m.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 24 cm lang und 7 cm breit. Welche Rechnung liefert die Länge der Diagonale?

  • ○ 24 + 7
  • ● √(24² + 7²)
  • ○ √(24² − 7²)
Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke; sie ist die Hypotenuse mit den Katheten 24 und 7: d = √(576 + 49) = √625 = 25 cm. 24 + 7 addiert die Längen.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Diagonale eines Rechtecks ist 17 cm lang, eine Seite 15 cm. Welche Rechnung liefert die andere Seite?

  • ○ 17 − 15
  • ● √(17² − 15²)
  • ○ √(17² + 15²)
Die Diagonale ist Hypotenuse, die gesuchte Seite eine Kathete: s² = 17² − 15² = 64, s = 8 cm.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Diagonale eines Quadrats mit der Seite 5 cm ist 10 cm lang.

✓ Falsch
Es ist d = √(5² + 5²) = √50 ≈ 7,07 cm. 10 wäre 5 + 5 (Längen addiert) – die Diagonale ist kürzer als der Weg über zwei Seiten.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 10 cm und die Schenkel 13 cm. Welche Rechnung liefert die Höhe auf die Basis?

  • ○ √(13² − 10²)
  • ● √(13² − 5²)
  • ○ √(13² + 5²)
Die Höhe halbiert die Basis: Im rechtwinkligen Teildreieck sind die Katheten h und 5 cm, die Hypotenuse ist der Schenkel 13 cm. h² = 169 − 25 = 144, h = 12 cm. Die ganze Basis (10) gehört nicht ins Teildreieck.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 16 cm und die Höhe 6 cm. Wie lang ist ein Schenkel?

  • ● 10 cm
  • ○ 17,1 cm
  • ○ 22 cm
Der Schenkel ist die Hypotenuse mit den Katheten 8 cm (halbe Basis) und 6 cm: √(64 + 36) = 10 cm. 17,1 rechnet mit der ganzen Basis (√(256 + 36)), 22 addiert 16 + 6.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 8 cm und die Schenkel 5 cm. Seine Höhe auf die Basis ist 3 cm.

✓ Wahr
Halbe Basis 4 cm, Schenkel 5 cm: h = √(25 − 16) = √9 = 3 cm.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Eine 8 m lange Leiter steht mit dem Fuß 3 m von der Wand. Wie hoch reicht sie (auf 0,1 m genau)?

✓ Antwort: 7.4
h² = 8² − 3² = 64 − 9 = 55, h = √55 ≈ 7,42 m, gerundet 7,4 m.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 40 cm lang und 9 cm breit. Wie lang ist die Diagonale (in cm)?

✓ Antwort: 41
d² = 40² + 9² = 1600 + 81 = 1681, d = √1681 = 41 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 24 cm und die Schenkel 15 cm. Wie lang ist die Höhe auf die Basis (in cm)?

✓ Antwort: 9
Halbe Basis 12 cm: h = √(15² − 12²) = √(225 − 144) = √81 = 9 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Eine 12 m lange Leiter soll 9,6 m hoch reichen. Wie weit muss ihr Fuß von der Wand stehen (in m)?

✓ Antwort: 7.2
a² = 12² − 9,6² = 144 − 92,16 = 51,84, a = √51,84 = 7,2 m.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein rechteckiger Bildschirm ist 48 cm breit und 27 cm hoch. Wie lang ist seine Diagonale (auf 0,1 cm genau)?

✓ Antwort: 55.1
d² = 48² + 27² = 2304 + 729 = 3033, d = √3033 ≈ 55,07 cm, gerundet 55,1 cm.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein rechteckiges Feld ist 80 m lang und 60 m breit. Anna geht an zwei Seiten entlang von einer Ecke zur gegenüberliegenden, Ben quer über das Feld. Zeichne eine Skizze, berechne beide Wege und gib an, wie viele Meter Ben spart. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Rechteck mit der Diagonale als Hypotenuse. Annas Weg: 80 m + 60 m = 140 m. Bens Weg: d² = 80² + 60² = 6400 + 3600 = 10000, d = 100 m. Ersparnis: 140 m − 100 m = 40 m.
Anna geht 140 m, Ben √(6400 + 3600) = 100 m – er spart 40 m.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 12 cm und die Höhe 8 cm. Wie groß ist sein Umfang (in cm)?

✓ Antwort: 32
Schenkel s = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm. Umfang = 12 + 10 + 10 = 32 cm.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein symmetrisches Satteldach ist 9,6 m breit, jeder Sparren ist 6 m lang. Zeichne den Giebel als gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe und berechne die Höhe des Firsts über der Traufe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: gleichschenkliges Dreieck, Basis 9,6 m, Schenkel 6 m, Höhe halbiert die Basis (4,8 m). h² = 6² − 4,8² = 36 − 23,04 = 12,96, also h = 3,6 m.
Die Höhe halbiert die Basis; h = √(36 − 23,04) = 3,6 m.