Geschickt rechnen

Calculating cleverly

Mathematik Klasse 6 18 Aufgaben
DistributivgesetzRechenvorteileBrüche

Das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c macht Rechnungen leichter; das Rechteckmodell zeigt, dass man eine Fläche in Teilflächen zerlegen darf, auch bei Längen wie 1/3 oder 0,25. Nahe an einer glatten Zahl verteilt man mit einer Differenz (6 · 1,9 = 6 · 2 − 6 · 0,1), rückwärts heißt es Ausklammern (0,7 · 3,4 + 0,7 · 6,6 = 0,7 · 10). Bei der Division darf man nur durch eine Zahl verteilen, nicht durch eine Summe. Die Station räumt aus, den Faktor nur auf den ersten Summanden anzuwenden (Kirshner und Awtry 2004), und bereitet Ausmultiplizieren und Ausklammern vor.

Verteilen

Das Distributivgesetz kennt man von den natürlichen Zahlen: . Am Rechteck sieht man, warum es auch für Brüche und Dezimalbrüche gilt: Ein Rechteck der Höhe 4 und der Breite 1,5 + 1 besteht aus zwei Teilrechtecken; die Höhe gehört zu beiden. So ist 4 · (1,5 + 1) = 4 · 1,5 + 4 · 1 = 6 + 4 = 10, und ebenso 6 · (1/2 + 1/3) = 3 + 2 = 5. Das Bild zeigt auch, was falsch wäre: Wer 4 · 1,5 + 1 rechnet, gibt der zweiten Teilfläche keine Höhe.

Verschiebe die Trennlinie mit b. Was ändert sich bei den beiden Teilflächen, was bleibt bei der ganzen Fläche gleich?

Nahe an einer glatten Zahl verteilt man mit einer Differenz: . Der Faktor 7 gilt für beide Glieder der Differenz, nicht nur für das erste.

Rechteck der Höhe 7 und der Breite 1,8; rechts daneben ein gestricheltes Stück der Breite 0,2, das es zur Breite 2 ergänzt 1,8 0,2 7 nicht maßstabsgetreu
Das gestrichelte Stück ergänzt die Breite 1,8 auf die glatte Breite 2: Man rechnet 7 · 2 und nimmt 7 · 0,2 wieder weg.

Ausklammern und Gesetz wählen

Rückwärts gelesen heißt das Gesetz Ausklammern:

Der gemeinsame Faktor steht einmal vor der Klammer, in der Klammer bleibt eine glatte Summe.

Verändere die gemeinsame Höhe a. Wie hängen die Chips zusammen?

Nicht jedes Gesetz passt überall. Beim Malnehmen darf man umordnen und klammern (0,25 · 13 · 4 = (0,25 · 4) · 13 = 13), bei Summen von Produkten hilft das Ausklammern – aber durch eine Summe darf man nicht verteilen: , dagegen ist . Es gilt nur . Vor jeder Rechnung fragt man: Welches Gesetz macht sie leichter – oder braucht man keines? Zur Kontrolle rechnet man den Term auch auf dem gewöhnlichen Weg: Es muss derselbe Wert herauskommen, und wo er es nicht tut, wurde ein Gesetz angewendet, das dort nicht gilt.

Voraussetzungen (1)

Termwerte berechnen
Klasse 6
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Berechne 4 · (1/2 + 1/4) durch Verteilen.

  • ● 3
  • ○ 2 1/4
  • ○ 1/2
4 · 1/2 + 4 · 1/4 = 2 + 1 = 3. 2 1/4 verteilt die 4 nur auf den ersten Summanden (4 · 1/2 + 1/4); 1/2 multipliziert alle drei Zahlen.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Rechnung gibt die Fläche des ganzen Rechtecks?

  • ● 8 · 1/2 + 8 · 1/4
  • ○ 8 · 1/2 + 1/4
  • ○ 8 · (1/2 · 1/4)
Jeder Teil hat die Höhe 8: die Teilflächen sind 8 · 1/2 = 4 und 8 · 1/4 = 2, zusammen 6. „8 · 1/2 + 1/4“ verteilt die 8 nur auf den ersten Teil (die Breite 1/4 hätte gar keine Höhe), und 8 · (1/2 · 1/4) multipliziert die Breiten, statt sie zu addieren.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Rechnung ist ein geschickter Weg für 4 · 1,9?

  • ● 4 · 2 − 4 · 0,1
  • ○ 4 · 2 − 0,1
  • ○ 4 · 2 + 4 · 0,1
1,9 ist 2 − 0,1, also 4 · 1,9 = 4 · 2 − 4 · 0,1 = 8 − 0,4 = 7,6. Bei „4 · 2 − 0,1“ gilt die 4 nur für die 2; „+ 4 · 0,1“ verdreht das Vorzeichen.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Rechteck hat die Höhe 5 und die Breite 1,8; das gestrichelte Stück ergänzt die Breite auf 2. Welche Rechnung gibt die Fläche des Rechtecks?

  • ● 5 · 2 − 5 · 0,2
  • ○ 5 · 2 − 0,2
  • ○ 5 · 1,8 + 5 · 0,2
Das ergänzte Rechteck (5 · 2 = 10) ist um das gestrichelte Stück (5 · 0,2 = 1) größer als das gesuchte: 10 − 1 = 9 (= 5 · 1,8). Die Höhe 5 gehört zu beiden Teilflächen; „5 · 1,8 + 5 · 0,2“ ergäbe das ganze ergänzte Rechteck.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Berechne geschickt: 3/8 · 5/7 + 3/8 · 2/7.

  • ● 3/8
  • ○ 31/56
  • ○ 15/56
3/8 wird ausgeklammert: 3/8 · (5/7 + 2/7) = 3/8 · 1 = 3/8. 31/56 setzt die zweite 3/8 einfach weg (3/8 · 5/7 + 2/7), 15/56 ist nur der erste Summand.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Beide Rechtecke sind 3/4 hoch. Wie berechnet man ihre gesamte Fläche am geschicktesten?

  • ● 3/4 · (5/6 + 1/6)
  • ○ 3/4 · 5/6 + 1/6
  • ○ 3/4 + 5/6 · 1/6
Beide Teile haben die gemeinsame Höhe 3/4, sie wird ausgeklammert: 3/4 · (5/6 + 1/6) = 3/4 · 1 = 3/4. Die anderen Rechnungen verwenden die Höhe nur einmal oder addieren sie.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Rechnung für 30 : (1/2 + 1/3) ist richtig?

  • ● 30 : 5/6 = 36
  • ○ 30 : 1/2 + 30 : 1/3 = 150
  • ○ 30 : 1/2 : 1/3 = 180
Die Klammer zuerst: 1/2 + 1/3 = 5/6, dann 30 : 5/6 = 30 · 6/5 = 36. Durch eine Summe darf man nicht verteilen (150); und zweimal durch die Teile zu dividieren (180) ist eine andere Rechnung.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

(6/7 + 3/7) : 3 = 6/7 : 3 + 3/7 : 3

✓ Wahr
Durch eine Zahl darf man verteilen, wenn die Summe im Dividenden steht: (6/7 + 3/7) : 3 = 9/7 : 3 = 3/7, und 2/7 + 1/7 = 3/7.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Klammerung erleichtert die Rechnung 0,25 · 7 · 4?

  • ● (0,25 · 4) · 7
  • ○ (0,25 · 7) · 4
  • ○ 0,25 · (7 + 4)
Beim Malnehmen darf man umordnen und klammern: 0,25 · 4 = 1 ist glatt, dann bleibt 1 · 7 = 7. (0,25 · 7) · 4 hat denselben Wert, ist aber schwerer; 0,25 · (7 + 4) ist ein anderer Term (Summe statt Produkt).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne 15 · (2/3 + 1/5) durch Verteilen: 15 · 2/3 + 15 · 1/5.

✓ Antwort: 13
15 · 2/3 = 10 und 15 · 1/5 = 3, zusammen 13. Die Brüche gehen glatt auf, weil 15 durch 3 und durch 5 teilbar ist.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne 8 · 1,95 im Kopf mit 8 · (2 − 0,05).

✓ Antwort: 15.6
8 · 2 = 16 und 8 · 0,05 = 0,4, also 16 − 0,4 = 15,6. Beide Glieder der Differenz werden mit 8 multipliziert.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne geschickt: 1,25 · 3,7 + 1,25 · 6,3.

✓ Antwort: 12.5
Der gemeinsame Faktor 1,25 wird ausgeklammert: 1,25 · (3,7 + 6,3) = 1,25 · 10 = 12,5.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne geschickt: 2,5 · 13 · 4.

✓ Antwort: 130
2,5 · 4 = 10 ist glatt, also 10 · 13 = 130. Hier hilft Umordnen; das Distributivgesetz braucht man nicht.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Beet ist 8 m lang und besteht aus zwei Streifen von 1 1/4 m und 2 1/4 m Breite. Berechne die Fläche in m² mit 8 · 1 1/4 + 8 · 2 1/4.

✓ Antwort: 28
8 · 1 1/4 = 10 und 8 · 2 1/4 = 18, zusammen 28 (m²). Man kann auch erst die Breite addieren: 8 · 3 1/2 = 28.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kilogramm kostet 1,98 €. Wie viel Euro kosten 5 kg? Rechne geschickt mit 5 · 2 − 5 · 0,02.

✓ Antwort: 9.9
5 · 2 = 10 und 5 · 0,02 = 0,10, also 10 − 0,10 = 9,90 (Euro).
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Anna verkauft 12 Brezeln, Ben 8 Brezeln, jede zu 0,75 €. Wie viel Euro nehmen beide zusammen ein? Klammere 0,75 aus.

✓ Antwort: 15
0,75 · 12 + 0,75 · 8 = 0,75 · (12 + 8) = 0,75 · 20 = 15 (Euro). Ausklammern spart eine Multiplikation.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne auf dem klügsten Weg: 0,8 · 5/8 + 0,8 · 3/8.

✓ Antwort: 0.8
0,8 ist der gemeinsame Faktor: 0,8 · (5/8 + 3/8) = 0,8 · 1 = 0,8. Wer beide Produkte einzeln rechnet, braucht zwei Multiplikationen mit Brüchen.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne 6 · 1,9 geschickt mit dem Distributivgesetz und zeichne ein Rechteck, an dem man es erkennt. Berechne dann 0,7 · 3,4 + 0,7 · 6,6 geschickt und begründe, welchen Faktor du ausklammerst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 6 · 1,9 = 6 · (2 − 0,1) = 6 · 2 − 6 · 0,1 = 12 − 0,6 = 11,4 (Rechteck 6 hoch und 2 breit, ein Streifen der Breite 0,1 fehlt). 0,7 · 3,4 + 0,7 · 6,6 = 0,7 · (3,4 + 6,6) = 0,7 · 10 = 7 (gemeinsamer Faktor 0,7, die Summe in der Klammer ist glatt).
6 · 1,9 = 6 · 2 − 6 · 0,1 = 11,4; 0,7 · 3,4 + 0,7 · 6,6 = 0,7 · (3,4 + 6,6) = 0,7 · 10 = 7.