Termwerte berechnen

Calculating term values

Mathematik Klasse 6 18 Aufgaben

TermeRechenreihenfolgeBrüche

Der Wert eines Terms folgt seinem Rechenbaum: Klammern zuerst (verschachtelte von innen nach außen), dann Punkt vor Strich, gleichrangige Zeichen von links nach rechts – mit Brüchen und Dezimalbrüchen genauso wie mit natürlichen Zahlen. Die Rechnung wird in Zeilen aufgeschrieben, in denen jede Zeile denselben Wert hat (fortlaufende Rechnung); Ketten wie 3/4 · 8 = 6 − 2 = 4 sind falsch. Die Station räumt das Rechnen von links nach rechts und die Kettengleichung aus und bereitet Kopfrechnen, geschicktes Rechnen und Sachprobleme vor.

Die Reihenfolge

Der Wert eines Terms folgt seinem Baum: Was unten hängt, wird zuerst gerechnet. Daraus ergeben sich die Regeln, die für Brüche und Dezimalbrüche genauso gelten wie für natürliche Zahlen: Klammern zuerst (verschachtelte von innen nach außen), dann Punkt vor Strich, gleichrangige Zeichen von links nach rechts. Bens Term: erst $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , dann $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ . Mit Dezimalbrüchen geht es genauso: 0,5 + 0,5 · 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75. Steht eine Klammer in einer Klammer, beginnt man ganz innen: In $3 \cdot (2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}))$ ist zuerst 1/2 + 1/4 = 3/4 dran, dann 2 − 3/4 = 1 1/4, zuletzt 3 · 1 1/4 = 3 3/4.

Der Baum gehört zu 3/4 − 1/2 · (1/2 + 1/4). Stelle den Regler auf 1, 2 und 3. Welcher Knoten wird jeweils ausgerechnet – und warum gerade dieser?

Bei gleichrangigen Zeichen entscheidet die Reihenfolge: $\frac{2}{3} : 2 \cdot 3$ rechnet man von links, also $(\frac{2}{3} : 2) \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ . Wer zuerst 2 · 3 rechnet, hat einen anderen Term vor sich (2/3 : 6 = 1/9).

Fortlaufend rechnen

Bei längeren Termen schreibt man Zeile für Zeile: Jede Zeile ist der vorige Term, einen Schritt weitergerechnet, und alle Zeilen haben denselben Wert.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$

Das Gleichheitszeichen heißt: Beide Seiten haben denselben Wert. Ketten, in denen es nur „und dann“ bedeutet, sind falsch. Die Zeilen haben einen praktischen Vorteil: Man findet Fehler, weil jede Zeile für sich stimmen muss. Am Ende prüft man grob: 3/4 − 1/2 · 3/4 ist kleiner als 3/4, das Ergebnis 3/8 passt. Jede Zeile entspricht einem Knoten des Rechenbaums: erst die Klammer, dann das Produkt, zuletzt die Differenz. So sieht man jederzeit, wo man in der Rechnung steht.

Falsch und richtig aufgeschrieben: Links steht „4 · 1/2 = 2 + 3/4“, obwohl 4 · 1/2 nicht gleich 2 + 3/4 ist. Rechts hat jede Zeile den Wert 2 3/4.

Voraussetzungen (1)

Terme gliedern

Klasse 6

›

Ermöglicht (2)

Geschickt rechnen

Klasse 6

›

Kopfrechnen mit Termen

Klasse 6

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Berechne 2/3 + 3/4 · 1/2.

● 1 1/24
○ 17/24
○ 3/8

Punkt vor Strich: zuerst 3/4 · 1/2 = 3/8, dann 2/3 + 3/8 = 16/24 + 9/24 = 25/24 = 1 1/24. 17/24 entsteht, wenn man von links nach rechts rechnet ((2/3 + 3/4) · 1/2); 3/8 ist nur das Produkt, die Addition fehlt.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu 3 − 1/2 · 4. Welche Rechnung wird zuerst ausgeführt?

● 1/2 · 4
○ 3 − 1/2
○ 3 − 4

Im Rechenbaum wird von unten nach oben gerechnet: Der Knoten mit dem Malzeichen hängt unter dem Minus, also kommt zuerst 1/2 · 4 = 2, danach 3 − 2 = 1. Wer 3 − 1/2 zuerst rechnet, geht von links nach rechts.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Berechne 3 · (1/2 + 1/3).

● 2 1/2
○ 1 5/6
○ 3 5/6

Die Klammer zuerst: 1/2 + 1/3 = 5/6, dann 3 · 5/6 = 5/2 = 2 1/2. 1 5/6 entsteht, wenn man die Klammer übersieht (3 · 1/2 + 1/3); 3 5/6 addiert die 3, statt zu multiplizieren.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Berechne 2 · (1 − (1/2 − 1/4)).

● 1 1/2
○ 1/2
○ 1 3/4

Von innen nach außen: 1/2 − 1/4 = 1/4, dann 1 − 1/4 = 3/4, zuletzt 2 · 3/4 = 1 1/2. 1/2 rechnet 1 − 1/2 − 1/4 (das Minus wirkt nur auf das erste Glied der inneren Klammer); 1 3/4 multipliziert die 2 nur mit der 1.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Zu diesem Rechenbaum gehört als erster Schritt 4 · 1,5.

✓ Falsch

Was unten hängt, wird zuerst berechnet: die Differenz 1,5 − 0,5 = 1, danach 4 · 1 = 4. Wer zuerst 4 · 1,5 = 6 rechnet, bricht die Klammer auf und erhält 6 − 0,5 = 5,5, einen anderen Wert.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Berechne 3/4 : 3 · 2.

● 1/2
○ 1/8
○ 1/4

Gleichrangig, also von links: 3/4 : 3 = 1/4, dann 1/4 · 2 = 1/2. 1/8 rechnet 3/4 : (3 · 2) – das ist ein anderer Term; 1/4 vergisst das · 2.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

24 : 6 : 2 = 8

✓ Falsch

Von links nach rechts: 24 : 6 = 4, dann 4 : 2 = 2. Der Wert 8 gehört zu 24 : (6 : 2) – das ist ein anderer Term.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Rechnung ist richtig aufgeschrieben?

● 5/6 · 12 − 4 = 10 − 4 = 6
○ 5/6 · 12 = 10 − 4 = 6
○ 5/6 · 12 − 4 = 10, 10 − 4 = 6

In der ersten Kette hat jede Zeile denselben Wert (6). Bei „5/6 · 12 = 10 − 4“ ist das Gleichheitszeichen falsch, denn 10 ≠ 6; bei der dritten stimmt „= 10“ nicht, weil 5/6 · 12 − 4 den Wert 6 hat.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

1/2 + 1/4 = 3/4 · 8 = 6 ist richtig aufgeschrieben.

✓ Falsch

1/2 + 1/4 = 3/4 stimmt, aber 3/4 ist nicht gleich 6: Das Gleichheitszeichen verbindet hier zwei Terme mit verschiedenem Wert. Richtig wären zwei Zeilen: (1/2 + 1/4) · 8 = 3/4 · 8 = 6.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne 3/4 + 1/2 · 1/2.

✓ Antwort: 1

Punkt vor Strich: 1/2 · 1/2 = 1/4, dann 3/4 + 1/4 = 1.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze den Zwischenschritt (als Bruch): 2 · (1/2 + 1/4) = 2 · ___

✓ Antwort: 3/4

Die Klammer zuerst: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4. Danach folgt 2 · 3/4 = 1 1/2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 2 3/4 − 1 1/4 − 1/2.

✓ Antwort: 1

Von links nach rechts: 2 3/4 − 1 1/4 = 1 1/2, dann 1 1/2 − 1/2 = 1. Die Klammer 1 1/4 − 1/2 gibt es nicht: Das würde 2 3/4 − 3/4 = 2 ergeben.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ergänze die nächste Zeile (als Dezimalbruch): 2 · (1/2 + 1/4) − 1/2 = 2 · 3/4 − 1/2 = ___ − 1/2

✓ Antwort: 1.5

Der Knoten · rechnet 2 · 3/4 = 6/4 = 3/2 = 1,5. Die nächste Zeile ist 1,5 − 1/2, danach folgt 1.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Getränk kostet 1,20 €, ein Brötchen 0,45 €. Wie viel Euro kosten 1 Getränk und 3 Brötchen? Rechne 1,20 + 3 · 0,45.

✓ Antwort: 2.55

3 · 0,45 = 1,35 (Punkt vor Strich), dann 1,20 + 1,35 = 2,55 (Euro). Wer von links rechnet, erhält (1,20 + 3) · 0,45 = 1,89 – das ist nicht der Preis.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Jeder Stab ist aus einem 1,2 m und einem 0,8 m langen Stück zusammengesetzt. Drei solche Stäbe werden hintereinander gelegt. Schreibe einen Term mit Klammer und berechne die Länge in Metern.

✓ Antwort: 6

Ein Stab ist 1,2 + 0,8 = 2 m lang, drei Stäbe sind (1,2 + 0,8) · 3 = 2 · 3 = 6 (Meter). Ohne Klammer, 1,2 + 0,8 · 3 = 3,6, würde nur das zweite Stück verdreifacht.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Von einem 3 m langen Band werden erst 0,75 m und dann 0,5 m abgeschnitten. Wie viel Meter bleiben übrig? Rechne 3 − 0,75 − 0,5.

✓ Antwort: 1.75

Von links nach rechts: 3 − 0,75 = 2,25, dann 2,25 − 0,5 = 1,75 (Meter). Beide Stücke werden abgezogen; 3 − (0,75 − 0,5) = 2,75 wäre falsch.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne in einer fortlaufenden Rechnung: 1,5 · (2 − 0,5) + 0,25.

✓ Antwort: 2.5

1,5 · (2 − 0,5) + 0,25 = 1,5 · 1,5 + 0,25 = 2,25 + 0,25 = 2,5. Jede Zeile hat denselben Wert.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne 3/4 + 1/2 · (5/6 − 1/3) : 1/4 in einer fortlaufenden Rechnung. Zeichne zuerst den Rechenbaum, nenne dann den ersten Schritt und schreibe jede Zeile mit genau einem weiteren Schritt auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Rechenbaum: Oben +, links 3/4, rechts ein : mit dem Dividenden 1/2 · (5/6 − 1/3) und dem Divisor 1/4. Erster Schritt: die Klammer 5/6 − 1/3 = 1/2. 3/4 + 1/2 · (5/6 − 1/3) : 1/4 = 3/4 + 1/2 · 1/2 : 1/4 = 3/4 + 1/4 : 1/4 = 3/4 + 1 = 1 3/4.

3/4 + 1/2 · (5/6 − 1/3) : 1/4 = 3/4 + 1/2 · 1/2 : 1/4 = 3/4 + 1/4 : 1/4 = 3/4 + 1 = 1 3/4.