Kopfrechnen mit Termen

Mental arithmetic with terms

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben
KopfrechnenBrücheDezimalzahlen

Überschaubare Terme mit einfachen rationalen Zahlen rechnet man im Kopf, indem man der Gliederung folgt: ein Teilterm nach dem anderen, das Zwischenergebnis wird gemerkt. Dabei helfen Stützwerte, die man parat hat (1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2, 1/8 = 0,125), und der Blick für Teilterme, deren Wert schon feststeht: a − a ist 0, a : a ist 1. Die Station räumt aus, im Kopf einfach von links nach rechts zu rechnen oder Zwischenergebnisse zu verlieren, und bereitet geschicktes Rechnen und Überschläge in Sachaufgaben vor.

Im Kopf rechnet man der Reihe nach: Man folgt dem Rechenbaum von unten nach oben und sagt sich jedes Zwischenergebnis vor. Bei merkt man sich zuerst 3/4 · 8 = 6 und rechnet dann 30 − 6 = 24.

Dabei helfen Stützwerte, die man auswendig kennt: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2, 1/10 = 0,1 und 1/8 = 0,125; aus 1/8 folgt 3/8 = 3 · 0,125 = 0,375. Mit ihnen wechselt man mitten im Term zwischen Bruch und Dezimalbruch: 0,5 + 1/4 = 0,75. Bei rechnet man erst 0,5 + 1/4 = 0,75 = 3/4 und dann 3/4 · 12 = 9.

Stelle k ein und lies den Dezimalbruch ab. Bei welchem k gehört 1/4, bei welchem 1/2 dazu?

Manche Teilterme muss man gar nicht ausrechnen. ist immer 0, immer 1 (solange a nicht 0 ist), und jedes Produkt mit einem Faktor 0 ist 0. In steht die 0 schon fest: Der Term hat den Wert 2/5. Auch a · 1 = a und a + 0 = a sparen Arbeit: 6/7 · (2/9 : 2/9) = 6/7 · 1 = 6/7.

Verändere a. Was bleibt bei a − a und bei a : a immer gleich?

Im Kopf lohnt es sich also, erst die Gliederung anzusehen: Welcher Teilterm ist einfach, welcher entscheidet schon alles?

Voraussetzungen (1)

Termwerte berechnen
Klasse 6
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie schreibt man 3/4 als Dezimalbruch?

  • ● 0,75
  • ○ 0,34
  • ○ 0,25
1/4 = 0,25, also sind 3/4 = 3 · 0,25 = 0,75. „0,34“ schreibt Zähler und Nenner nebeneinander, und 0,25 sind nur 1/4, nicht 3/4.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher Dezimalbruch gehört zum gefärbten Teil des Streifens?

  • ● 0,375
  • ○ 0,38
  • ○ 0,3
1/8 = 0,125, also 3/8 = 3 · 0,125 = 0,375. 0,38 setzt Zähler und Nenner nebeneinander, 0,3 wären 3/10.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der gefärbte Teil des Streifens ist 0,5 groß.

✓ Falsch
1/5 = 0,2, denn 5 · 0,2 = 1. Der Wert 0,5 gehört zu 1/2: Wer 1/5 = 0,5 schreibt, liest die 5 aus dem Nenner als Dezimalstelle.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu 24 − 1/2 · 12. Welches Zwischenergebnis merkst du dir zuerst?

  • ● 6
  • ○ 23 1/2
  • ○ 282
Der untere Knoten ist 1/2 · 12 = 6; danach folgt 24 − 6 = 18. 23 1/2 ist das Ergebnis von 24 − 1/2, wenn man von links rechnet, und 282 das Ergebnis dieser falschen Reihenfolge ((24 − 1/2) · 12).
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Berechne im Kopf: 12 − 3 · 1/3.

  • ● 11
  • ○ 3
  • ○ 9
Erst 3 · 1/3 = 1 (Zwischenergebnis merken), dann 12 − 1 = 11. Die 3 ergibt sich, wenn man von links rechnet ((12 − 3) · 1/3); die 9 ist nur 12 − 3, das Malzeichen ist verloren gegangen.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Im Kopf: 12 − 1/2 · 8 = 8.

✓ Wahr
Zuerst 1/2 · 8 = 4, dann 12 − 4 = 8. Von links nach rechts gerechnet käme (12 − 1/2) · 8 = 92 heraus.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Teilterm hat den Wert 0?

  • ● 7/8 − 7/8
  • ○ 7/8 : 7/8
  • ○ 7/8 · 1/8
a − a ist immer 0. 7/8 : 7/8 ist 1 (a : a), und 7/8 · 1/8 = 7/64 ist weder 0 noch 1.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Berechne im Kopf: 5,6 · (3/8 : 3/8).

  • ● 5,6
  • ○ 0
  • ○ 1
Die Klammer ist a : a = 1, und 5,6 · 1 = 5,6 – ohne zu rechnen. Der Wert 0 würde zu 3/8 − 3/8 gehören, die 1 ist nur der Wert der Klammer.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Im Term (0,6 : 0,6) · 5/9 · (4/5 − 4/5) sind die Faktoren 1, 5/9 und 0. Der Wert des Terms ist 5/9.

✓ Falsch
Ein Produkt mit einem Faktor 0 ist 0: (0,6 : 0,6) = 1 und (4/5 − 4/5) = 0, also 1 · 5/9 · 0 = 0. Die 5/9 muss man gar nicht mehr beachten.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Schreibe 1/8 als Dezimalbruch.

✓ Antwort: 0.125
1 : 8 = 0,125. Diesen Wert sollte man wie 1/2 = 0,5 und 1/4 = 0,25 parat haben.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne im Kopf: 7 + 1/2 · 6.

✓ Antwort: 10
Zwischenergebnis 1/2 · 6 = 3, dann 7 + 3 = 10.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne im Kopf: 0,3 + (7/9 − 7/9) · 12,5.

✓ Antwort: 0.3
Die Klammer ist 7/9 − 7/9 = 0, das Produkt mit 12,5 ist 0, also bleibt 0,3.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne im Kopf: 0,25 + 3/4 + 0,5.

✓ Antwort: 1.5
0,25 = 1/4, also 1/4 + 3/4 = 1, und 1 + 0,5 = 1,5. Man wechselt für jeden Summanden in die Darstellung, die passt.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Vier Packungen Saft enthalten je 0,75 l. Es werden 0,5 l verschüttet. Wie viel Liter bleiben? Rechne 4 · 0,75 − 0,5 im Kopf.

✓ Antwort: 2.5
Zwischenergebnis 4 · 0,75 = 3 (vier Dreiviertel), dann 3 − 0,5 = 2,5 (Liter).
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Tank enthält 42,5 l. Es werden 3,25 l zugefüllt und danach genau 3,25 l entnommen. Berechne im Kopf den Inhalt: 42,5 + 3,25 − 3,25.

✓ Antwort: 42.5
3,25 − 3,25 = 0: Zuerst zugefüllt, dann dieselbe Menge entnommen, der Inhalt ist wieder 42,5 l. Man muss die Zahl 3,25 nicht einmal genau ansehen.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Berechne 1/2 · 24 − 0,25 · 12 + 7/9 : 7/9 im Kopf und schreibe auf Papier auf, welche Teilterme du dir in welcher Reihenfolge merkst. Nenne die Stützwerte, die du nutzt, und den Teilterm, dessen Wert du ohne Rechnung kennst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Teilterme: 1/2 · 24 = 12 (die Hälfte von 24); 0,25 · 12 = 3 (0,25 = 1/4, ein Viertel von 12); 7/9 : 7/9 = 1 (a : a). Dann 12 − 3 + 1 = 9 + 1 = 10 von links nach rechts. Stützwerte 1/2 und 0,25 = 1/4; sofort bekannt ist 7/9 : 7/9 = 1.
1/2 · 24 = 12, 0,25 · 12 = 3, 7/9 : 7/9 = 1; 12 − 3 + 1 = 10.