Sachprobleme mit Skizze

Word problems with a sketch

Mathematik Klasse 6 18 Aufgaben

SachaufgabenSkizzeSchätzen

Sachprobleme löst man in Schritten: Eine Skizze (Streifen, Rechteck, Zahlenstrahl) macht die Beziehungen der Größen sichtbar, aus ihr folgt der Term – nicht aus Schlüsselwörtern wie „insgesamt“ oder „davon“ (Verschaffel, Greer und De Corte 2000). Fehlt eine Angabe, wird sie beschafft und auf Einheit und Größenordnung geprüft. Am Ende steht die Prüfung im Sachzusammenhang mit Überschlag, Rest und Antwortsatz: 138 : 45 ≈ 3,07 heißt 4 Busse (Blum und Leiß 2007). Die Station räumt aus, die Rechenart am Wort zu erraten und Ergebnisse ungeprüft zu übernehmen, und bereitet den Modellierungskreislauf der höheren Jahrgangsstufen vor.

Von der Geschichte zur Skizze

Ein Sachproblem löst man nicht mit dem ersten Rechenzeichen, das einem einfällt. Zuerst kommt die Skizze: ein Streifen für das Ganze, Stücke für die Anteile, jede Größe beschriftet, das Gesuchte mit „?“. Beispiel: Nistkästen kosten 120 €. Die Gemeinde zahlt 1/4, vom Rest der Verein 2/3, den Rest die Klasse. Aus der Skizze liest man ab: Gemeinde 30 €, Rest 90 €, Verein 60 €, Klasse 30 €. Zwei Fragen helfen beim Zeichnen: Was ist das Ganze? Was ist bekannt, was gesucht? Ein Streifen passt zu Anteilen, ein Rechteck zu Flächen, ein Zahlenstrahl zu Wegen.

Die Streifenskizze zu den Nistkästen: Der Streifen ist das Ganze (120 €), der Rest nach der Gemeinde (90 €) ist das neue Ganze für den Anteil des Vereins.

Schlüsselwörter führen in die Irre: „insgesamt“ heißt nicht immer plus – 6 Gläser zu je 3/4 l sind 6 · 3/4 l.

Angaben suchen und prüfen

Oft fehlt eine Angabe. Man fragt: Was ist gegeben, was ist gefragt, was fehlt? Eine fehlende Zahl sucht man sorgfältig: Quelle und Datum notieren, die Einheit prüfen und mit einer Vergleichszahl testen, ob die Größenordnung stimmt. Solange die Gesamtkosten G fehlen, kennt man nur die Anteile, nicht die Euro. Findet man zwei Zahlen, die sich widersprechen (eine Quelle nennt für die Schule 1200 Schülerinnen und Schüler, eine andere 120), prüft man Datum und Größenordnung: 1200 ist für ein Gymnasium möglich, 120 wäre ungewöhnlich klein.

Ändere die Gesamtkosten G. Was bleibt gleich, was ändert sich?

Das Ergebnis prüfen

Ein Ergebnis ist erst fertig, wenn es im Sachzusammenhang stimmt: Passt die Größenordnung (Überschlag), passt die Einheit, passt die Zahl zur Frage? 130 Personen, ein Bus fasst 40: 130 : 40 = 3,25 – aber Busse gibt es nur ganz, die 10 übrigen Personen brauchen einen vierten. Am Ende steht ein Antwortsatz: „Man braucht 4 Busse.“ Der Überschlag fängt Komma-Fehler ab: Für 2,1 · 4,9 rundet man auf 2 · 5 = 10; ein Ergebnis wie 102,9 hat das Komma verrutscht. Dass man 4 Busse braucht, obwohl 3,25 herauskommt, zeigt: Im Sachzusammenhang zählt, was in der Wirklichkeit möglich ist.

Ändere die Personenzahl p. Wann kommt der nächste Bus dazu?

Voraussetzungen (1)

Anteile im Sachkontext

Klasse 6

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Lea gibt von 240 € 1/3 für Bücher aus. Du zeichnest einen Streifen für die 240 €. In wie viele gleich lange Stücke teilst du ihn, um das Drittel einzuzeichnen?

● 3
○ 1
○ 240

Ein Drittel heißt: ein Ganzes in 3 gleiche Teile geteilt, davon 1 Teil. Der Streifen bekommt also 3 gleich lange Stücke, eines steht für die Bücher (80 €). Die 240 ist die Länge des ganzen Streifens, nicht die Anzahl der Stücke.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Lea gibt von 240 € zuerst 1/3 für Bücher aus und vom Rest die Hälfte fürs Kino. Welche Streifenskizze passt?

● Skizze A
○ Skizze B
○ Skizze C

Der Rest nach den Büchern ist 2/3 des Streifens; davon die Hälfte ist 1/3 des ganzen Streifens. So bleiben drei gleich lange Stücke: Bücher, Kino, Rest (Skizze A). In B ist das Kino die Hälfte des ganzen Streifens, in C die Hälfte der Bücher.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Band ist 4 1/2 m lang und wird in Stücke zu je 3/4 m geschnitten. Welcher Term gibt die Anzahl der Stücke?

● 4 1/2 : 3/4
○ 4 1/2 · 3/4
○ 4 1/2 − 3/4

Gesucht ist, wie oft 3/4 m in 4 1/2 m passt: 4 1/2 : 3/4 = 6. Ein Produkt wäre ein Teil von 4 1/2 m, und die Differenz beantwortet die Frage nach einem Rest.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

6 Gläser werden mit je 3/4 l Saft gefüllt. Wie viel Liter braucht man insgesamt? Welcher Term passt?

● 6 · 3/4
○ 6 + 3/4
○ 6 : 3/4

6 gleiche Portionen von 3/4 l: 6 · 3/4 = 4 1/2 (Liter). „Insgesamt“ verleitet zum Plus; 6 : 3/4 würde fragen, wie oft 3/4 l in 6 l passt.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Gefragt ist der Gesamtpreis der Klassenfahrt. Gegeben ist nur: „Die Fahrt kostet 18,50 € pro Person.“ Welche Angabe fehlt?

● die Anzahl der Personen
○ der Preis pro Person
○ das Datum der Fahrt

Mit dem Preis pro Person allein kann man den Gesamtpreis nicht bestimmen: Es fehlt die Anzahl der Personen (Kinder und Begleitpersonen). Der Preis ist schon gegeben, das Datum ändert nichts an der Rechnung.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Ein Schulweg zu Fuß dauert etwa 30 Minuten. Drei Kinder nennen die Länge: 2,5 km, 250 km und 25 m. Welche Angabe ist plausibel?

● 2,5 km
○ 250 km
○ 25 m

Zu Fuß geht man etwa 5 km in einer Stunde, in einer halben Stunde also rund 2,5 km. 250 km ist die Strecke einer langen Zugfahrt, 25 m sind nur ein paar Schritte – Einheit und Größenordnung passen nicht.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

138 Personen fahren mit Bussen zu je 45 Plätzen. Wie viele Busse braucht man?

● 4
○ 3
○ 3,07

138 : 45 ≈ 3,07. Drei Busse haben nur 135 Plätze, 3 Personen blieben übrig – also sind 4 Busse nötig. 3 ist abgerundet, und 3,07 Busse gibt es nicht.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis ist für 0,6 · 0,5 plausibel? Überschlage: 0,5 · 0,5 = 0,25.

● 0,3
○ 3
○ 0,03

0,6 · 0,5 = 0,30, in der Nähe des Überschlags 0,25. Die 3 hat das Komma vergessen (das Produkt zweier Zahlen kleiner als 1 ist kleiner als 1), und 0,03 setzt es eine Stelle zu weit.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Aus einem 2,4 m langen Stab werden Stücke zu je 0,5 m gesägt. Die Rechnung 2,4 : 0,5 = 4,8 bedeutet: Es entstehen 4 volle Stücke, und ein Rest von 0,4 m bleibt.

✓ Wahr

0,5 m passt 4-mal in 2,4 m, und 4 · 0,5 = 2 m; es bleiben 0,4 m, das ergibt kein volles Stück. Die 0,8 hinter dem Komma sind kein Stück – im Sachzusammenhang rundet man hier ab (5 volle Stücke wären falsch).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Streifen stellt 240 € dar und ist in 8 gleiche Teile geteilt. Wie viel Euro gehören zu einem Teil?

✓ Antwort: 30

240 : 8 = 30, ein Teil steht für 30 €. Drei Teile wären 3 · 30 = 90 €, das ist 3/8 von 240.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kuchen wiegt 2 1/2 kg und wird in Stücke zu je 1/4 kg geschnitten. Wie viele Stücke sind das?

✓ Antwort: 10

2 1/2 : 1/4 = 5/2 · 4 = 10. Anders: Ein Kilogramm hat 4 Viertel, 2 1/2 kg haben 10 Viertel.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine gefundene Angabe lautet „2500 m“. Schreibe sie in Kilometern (als Zahl).

✓ Antwort: 2.5

1 km = 1000 m, also 2500 m = 2500 : 1000 km = 2,5 km. Vor dem Rechnen sollten alle Angaben in derselben Einheit stehen.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Überschlage 3,9 · 5,1: Runde beide Faktoren auf ganze Zahlen und rechne.

✓ Antwort: 20

3,9 ≈ 4 und 5,1 ≈ 5, also 4 · 5 = 20. Der genaue Wert 19,89 liegt nah dabei; ein Ergebnis wie 1,989 oder 198,9 hat das Komma falsch gesetzt.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Von einer 2,4 m langen Latte werden zuerst 3/8 abgesägt, vom Rest 2/3. Wie viel Meter sind der zweite Abschnitt?

✓ Antwort: 1

Erster Abschnitt: 3/8 von 2,4 m = 0,9 m. Rest: 2,4 − 0,9 = 1,5 m. Zweiter Abschnitt: 2/3 von 1,5 m = 1 m.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Schulgarten ist 12 m lang und 7 1/2 m breit. Ein Drittel der Fläche wird Kräuterbeet. Wie viel m² ist das Kräuterbeet?

✓ Antwort: 30

Fläche: 12 · 7 1/2 = 90 m²; ein Drittel: 90 : 3 = 30 m². Die Skizze zeigt: Das Rechteck wird zuerst berechnet, dann der Anteil davon gebildet.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Fahrt zum Schulgarten kostet 18,50 € pro Person. Es fahren 24 Kinder und 2 Begleitpersonen mit. Berechne die Gesamtkosten in Euro.

✓ Antwort: 481

Die fehlende Angabe ist die Zahl der Personen: 24 + 2 = 26. Dann 26 · 18,50 = 481 (Euro).

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Blech Kuchen liefert 12 Stücke. Wie viele Bleche braucht man für 50 Gäste, wenn jeder ein Stück bekommt?

✓ Antwort: 5

50 : 12 ≈ 4,17. Mit 4 Blechen gibt es nur 48 Stücke, zwei Gäste hätten keines – man rundet auf 5 Bleche.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Der Schulgarten soll 1200 € kosten. Die Stadt übernimmt 1/4 der Kosten, vom Rest übernimmt der Elternverein 2/5; den Rest bringt die Klasse selbst auf. Zeichne eine Streifenskizze, berechne, wie viel Euro der Elternverein und wie viel die Klasse zahlt, prüfe dein Ergebnis mit einem Überschlag und schreibe einen Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Streifen für 1200 €, davon 1/4 = 300 € Stadt; Rest 900 €, davon 2/5 = 360 € Elternverein; Rest 540 € Klasse. Rechnung: 1200 − 1/4 · 1200 = 900; 2/5 · 900 = 360; 900 − 360 = 540. Überschlag: 2/5 von etwa 900 ist etwa 360; Probe 300 + 360 + 540 = 1200. Antwort: Der Elternverein zahlt 360 €, die Klasse 540 €.

1/4 · 1200 = 300; Rest 900; 2/5 · 900 = 360; 900 − 360 = 540. Probe: 300 + 360 + 540 = 1200.