Anteile im Sachkontext

Shares in context

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben

BrücheAnteile von AnteilenSachaufgaben

Ein Anteil gehört immer zu einem Ganzen: „1/2 des Ziels“ und „die Hälfte des Rests“ beziehen sich auf verschiedene Ganze und dürfen nicht einfach addiert werden. Ein Anteil von einem Anteil wird multipliziert (2/5 von 3/5 = 6/25 des Ganzen; im Feldermodell die doppelt gefärbten Felder), und nach einem Abzug bezieht sich der nächste Anteil auf den Rest: (1 − a) · b. Die Station räumt aus, Anteile mit verschiedenem Ganzen zu addieren (Padberg und Wartha 2017), und bereitet Prozent von Prozent und Pfadregeln in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor.

Welches Ganze?

Die 6b sammelt für den Schulgarten. Im Oktober kommt die Hälfte des Ziels zusammen, im November die Hälfte des Rests. Mia addiert 1/2 + 1/2 = 1. Das ist falsch, denn beide Hälften gehören zu verschiedenen Ganzen: Die erste ist die Hälfte des Ziels, die zweite die Hälfte des Rests – und der Rest ist nur die Hälfte des Ziels. Ein Anteil ohne sein Ganzes sagt wenig: Die Hälfte von 10 € ist etwas anderes als die Hälfte von 1000 €.

Der Streifen zeigt das Ziel als Ganzes: Die erste Hälfte (Oktober) ist gefärbt, die Hälfte des Rests (November) ist ein Viertel des Ziels, ein Viertel fehlt noch.

Bevor man rechnet, fragt man deshalb: Worauf bezieht sich der Anteil? Anteile mit verschiedenem Ganzen darf man nicht addieren.

Anteil vom Anteil

Ein Anteil von einem Anteil ist ein Produkt. In einer Schule essen 4/5 der Kinder mittags in der Mensa, davon die Hälfte vegetarisch. Im Feldermodell sind 4 von 5 Spalten blau und 2 von 4 Zeilen orange; doppelt gefärbt sind 4 · 2 = 8 von 20 Feldern. Also essen $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ aller Kinder vegetarisch in der Mensa. Man rechnet mit dem Produkt der Brüche und darf vorher kürzen: 4/5 · 1/2 = (2 · 2)/(5 · 2) = 2/5. Die beiden Brüche sind zwei Schritte: Der erste Anteil bezieht sich auf alle Kinder, der zweite auf die Kinder, die schon ausgewählt sind.

Stelle a und b ein. Wie viele Felder sind doppelt gefärbt, und welcher Anteil des Ganzen ist das?

Vom Rest

Nach einem Abzug bezieht sich der nächste Anteil auf den Rest: Hat man den Anteil a genommen, bleibt 1 − a, und der Anteil b davon ist $(1 - a) \cdot b$ . Zurück zum Schulgarten: Im Oktober 1/2, der Rest ist 1 − 1/2 = 1/2, die Hälfte davon 1/4. Zusammen $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ des Ziels – Ben hat recht, Mia nicht. Auch bei mehreren Schritten hilft der Streifen: Jedes „vom Rest“ macht den Streifen kürzer, auf den sich der nächste Anteil bezieht.

Verändere den ersten Anteil k. Wie ändern sich der Rest und die Hälfte vom Rest?

Voraussetzungen (1)

Brüche multiplizieren

Klasse 6

›

Ermöglicht (1)

Sachprobleme mit Skizze

Klasse 6

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Von den 24 Kindern einer Klasse kommen 1/4 mit dem Rad, vom Rest die Hälfte mit dem Bus. Wie viele Kinder kommen mit dem Bus?

● 9
○ 12
○ 3

Vom Rest, nicht von allen: Der Rest sind 24 − 6 = 18 Kinder, die Hälfte davon ist 9. 12 wäre die Hälfte aller Kinder, 3 die Hälfte der Radfahrer.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Im Lager sind 2/5 der Kartons mit Äpfeln gefüllt, von den übrigen Kartons ist die Hälfte mit Birnen gefüllt. Welcher Bruch aller Kartons enthält Birnen?

● 3/10
○ 1/5
○ 1/2

Die Hälfte gilt für den Rest, also für 3/5 aller Kartons: 1/2 · 3/5 = 3/10. 1/5 wäre die Hälfte der Äpfel-Kartons, 1/2 die Hälfte aller Kartons.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine Klasse sammelt im Oktober 3/5 ihres Spendenziels und im November die Hälfte des Rests. Danach ist das Ziel erreicht.

✓ Falsch

Der Rest ist 2/5 des Ziels, die Hälfte davon 1/5. Zusammen 3/5 + 1/5 = 4/5 – es fehlt noch 1/5. „Die Hälfte des Rests“ ist nicht die Hälfte des Ziels.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Feldermodell hat 5 Spalten und 4 Zeilen; 3 Spalten sind blau, 2 Zeilen orange gefärbt. Welcher Bruch aller Felder ist doppelt gefärbt?

● 6/20
○ 5/9
○ 6/9

Doppelt gefärbt sind 3 · 2 = 6 der 5 · 4 = 20 Felder: 6/20 = 3/5 · 2/4. 5/9 addiert Zähler und Nenner, 6/9 multipliziert nur die Zähler und addiert die Nenner.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

In einer Stadt sind 2/3 der Haushalte an das Fernwärmenetz angeschlossen, davon nutzen 3/4 erneuerbare Energie. Welcher Bruch aller Haushalte nutzt erneuerbare Fernwärme?

● 1/2
○ 5/7
○ 1 5/12

3/4 von 2/3: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2 aller Haushalte. 5/7 addiert Zähler und Nenner; 1 5/12 addiert die Brüche (das ist mehr als alle Haushalte).

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

3/4 von 2/5 ist kleiner als 2/5.

✓ Wahr

3/4 · 2/5 = 6/20 = 3/10, und 3/10 < 2/5 = 4/10. Ein Anteil (kleiner als 1) von einem Anteil ist ein noch kleinerer Anteil des Ganzen.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Von 60 Karten werden 1/5 vormittags verkauft und vom Rest 3/4 nachmittags. Wie viele Karten werden nachmittags verkauft?

● 36
○ 45
○ 12

Vormittags 12 Karten, Rest 48, davon 3/4: 36. 45 wäre 3/4 aller Karten, 12 sind die Karten vom Vormittag.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Nach dem ersten Tag ist noch 2/3 des Vorrats übrig. Am zweiten Tag wird 1/4 des Rests verbraucht. Welcher Bruch des Vorrats bleibt übrig?

● 1/2
○ 5/12
○ 1/6

Am zweiten Tag bleiben 3/4 des Rests: 2/3 · 3/4 = 1/2. 5/12 zieht 1/4 vom Vorrat ab (ein anderes Ganzes), 1/6 ist der Teil, der am zweiten Tag verbraucht wird.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Wird erst 1/4 und dann 1/4 des Rests verbraucht, sind insgesamt 1/2 verbraucht.

✓ Falsch

Das zweite Viertel gilt für den Rest 3/4: 3/4 · 1/4 = 3/16. Insgesamt 1/4 + 3/16 = 7/16 – weniger als 1/2.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ein Viertel wird verbraucht. Der Rest ist ___ des Ganzen (als Bruch).

✓ Antwort: 3/4

Der Rest ist das Ganze minus der verbrauchte Anteil: 1 − 1/4 = 3/4. Auf diesen Rest bezieht sich ein folgender Anteil.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne 2/3 von 3/5 (als Dezimalbruch).

✓ Antwort: 0.4

2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5 = 0,4. Man kann vorher kürzen: 2/3 · 3/5 = 2/5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Von 90 kg Kartoffeln wird 1/3 verkauft. Wie viel kg bleiben übrig?

✓ Antwort: 60

1/3 von 90 = 30 kg werden verkauft; 90 − 30 = 60 kg bleiben. Oder direkt: 2/3 von 90 = 60.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Von 80 kg Äpfeln wird 1/4 verkauft, von den übrigen Äpfeln ein Drittel gegessen. Wie viele kg werden gegessen?

✓ Antwort: 20

Der Rest nach dem Verkauf: 80 − 20 = 60 kg. Ein Drittel davon: 20 kg. Rechnung mit einem Term: 1/3 · (1 − 1/4) · 80 = 1/3 · 3/4 · 80 = 20.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Von den 600 Schülern einer Schule fahren 2/5 mit dem Rad, davon tragen 3/4 einen Helm. Wie viele Schüler fahren mit Rad und Helm? (Das Bild zeigt die Bruchteile im Feldermodell.)

✓ Antwort: 180

2/5 von 600 = 240 Radfahrer, davon 3/4 = 180. Oder mit dem Produkt der Anteile: 2/5 · 3/4 = 3/10 der Schüler, und 3/10 · 600 = 180.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Klasse hat ein Spendenziel von 800 €. Im Oktober kommen 3/8 des Ziels zusammen, im November 2/5 des Rests. Wie viel Euro sind das im November?

✓ Antwort: 200

Rest nach dem Oktober: 800 − 300 = 500 €. Davon 2/5: 200 €. Als Term: 2/5 · (1 − 3/8) · 800 = 2/5 · 5/8 · 800 = 200.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

In einer Gemeinde (Übungsbeispiel) sind 2000 Personen wahlberechtigt. 3/5 davon gehen zur Wahl. Von den abgegebenen Stimmen erhält die Liste A 2/5, von den übrigen Stimmen erhält die Liste B die Hälfte. Zeichne eine Skizze (Streifen oder Feldermodell). Welchen Bruch aller Wahlberechtigten macht die Liste B aus, und wie viele Personen sind das? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Streifen der Wahlberechtigten, davon 3/5 Wählende (1200); von den Wählenden 2/5 für A (480), Rest 3/5 (720), davon die Hälfte für B. Anteil von B: 1/2 · 3/5 · 3/5 = 9/50 aller Wahlberechtigten; 9/50 · 2000 = 360 Personen (Probe: 1200 − 480 = 720, 720 : 2 = 360).

1/2 · (1 − 2/5) · 3/5 = 9/50; 9/50 · 2000 = 360 Personen.