Geschickt rechnen

Calculating cleverly

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben
ArithmetikDistributivgesetzKopfrechnen

Viele Kopfrechenstrategien sind das Distributivgesetz: Zerlegen (13 · 6 = 10 · 6 + 3 · 6), Ergänzen zur runden Zahl (7 · 29 = 7 · 30 − 7 · 1) und, rückwärts gelesen, Ausklammern (36 · 7 + 36 · 3 = 36 · 10). Der Abschnitt räumt aus, den Faktor beim Ergänzen nur auf die runde Zahl anzuwenden (210 − 1), und lässt entscheiden, ob Vertauschen, Umklammern oder Verteilen den Rechenvorteil liefert; Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nur für Plus und Mal. Er bereitet das Kopfrechnen mit Dezimalzahlen und das Ausklammern in Termen mit Variablen vor.

Zerlegen

Das Distributivgesetz steckt hinter vielen Kopfrechenstrategien. Wie rechnest du ? Zerlege die 13 in 10 + 3: . Die Klammer darf vorn stehen, denn beim Malnehmen darfst du vertauschen. Jede Zerlegung führt zum selben Ergebnis, mit der Zehnerzahl rechnet es sich aber am leichtesten. Auch beim Teilen hilft es, wenn die Summe vor dem Geteiltzeichen steht: .

Verschiebe die Teilung s. Das Ergebnis bleibt gleich, bei welchem s rechnest du am leichtesten?

Diese Strategie kennst du aus der Grundschule als „halbschriftliches Rechnen“. Jetzt weißt du, warum sie funktioniert: Sie ist das Distributivgesetz.

Zur runden Zahl ergänzen

Liegt ein Faktor knapp unter einer runden Zahl, zerlegst du mit Minus: . Achte darauf, dass auch die Zahl nach dem Minus mit 7 malgenommen wird; 210 − 1 = 209 ist falsch.

Verändere den Streifen d. Für welches d entsteht 7 · 29?

Auch 12 · 49 rechnest du so: 12 · 50 − 12 = 600 − 12 = 588. Die runde Zahl liegt eins höher, also ziehst du nur einmal die 12 ab.

Rückwärts lesen

Das Gesetz lässt sich auch von rechts nach links lesen. Steht derselbe Faktor in beiden Produkten, klammerst du ihn aus: . Das lohnt sich besonders, wenn die Klammer eine runde Zahl ergibt, hier 7 + 3 = 10. Welches Gesetz steckt hinter welchem Schritt? Die Übersicht zeigt es. Bei Aufgaben mit drei Faktoren hilft dagegen das Vertauschen und Umklammern: 8 · 13 · 125 = (8 · 125) · 13 = 1000 · 13 = 13 000.

Drei Rechengesetze: Kommutativgesetz (vertauschen), Assoziativgesetz (umklammern), Distributivgesetz (verteilen und ausklammern), jeweils mit BeispielVertauschen: Kommutativgesetza · b = b · az. B. 7 · 25 = 25 · 7Umklammern: Assoziativgesetz(a · b) · c = a · (b · c)z. B. (25 · 4) · 7 = 25 · (4 · 7)Verteilen, Ausklammern: Distributivgesetza · (b + c) = a · b + a · cz. B. 13 · 6 = 10 · 6 + 3 · 6Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nur für + und ·, nicht für − und :.
Drei Gesetze, drei Handgriffe: vertauschen, umklammern, verteilen.

Voraussetzungen (1)

Das Distributivgesetz
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Zerlegung passt zu 16 · 5?

  • ● 10 · 5 + 6 · 5
  • ○ 10 · 5 + 6
  • ○ 10 · 6 + 5
16 = 10 + 6, also 16 · 5 = 10 · 5 + 6 · 5 = 50 + 30 = 80. 10 · 5 + 6 vergisst, dass auch die 6 mit 5 multipliziert werden muss.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das Rechteck zeigt 5 · 17. Wie viele Kästchen hat das blaue Teilrechteck?

  • ● 50
  • ○ 35
  • ○ 85
Das blaue Teilrechteck ist 5 hoch und 10 breit: 5 · 10 = 50. Das orange hat 5 · 7 = 35, zusammen 5 · 17 = 85.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Rechnung passt zu 6 · 99?

  • ● 6 · 100 − 6 · 1
  • ○ 6 · 100 − 1
  • ○ 6 · 100 + 6 · 1
99 = 100 − 1, also 6 · 99 = 6 · 100 − 6 · 1 = 600 − 6 = 594. 6 · 100 − 1 = 599 zieht nur einmal 1 ab, 6 · 100 + 6 · 1 = 606 macht aus dem Minus ein Plus.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

8 · 19 = 8 · 20 − 8

✓ Wahr
19 = 20 − 1, also 8 · 19 = 8 · 20 − 8 · 1 = 160 − 8 = 152.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Term hat denselben Wert wie 48 · 3 + 48 · 7?

  • ● 48 · (3 + 7)
  • ○ 48 · 3 + 7
  • ○ 48 · 3 · 7
Der Faktor 48 steht in beiden Produkten: 48 · 3 + 48 · 7 = 48 · (3 + 7) = 48 · 10 = 480. 48 · 3 + 7 = 151 und 48 · 3 · 7 = 1008 sind andere Werte.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Beide Rechtecke sind gleich hoch. Die Gesamtfläche ist 4 · 7 + 4 · 3 = 4 · (7 + 3).

✓ Wahr
Beide Teile sind 4 hoch, also kann die 4 ausgeklammert werden: 4 · (7 + 3) = 4 · 10 = 40. Einzeln: 28 + 12 = 40.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welches Gesetz erlaubt 17 · 4 = 10 · 4 + 7 · 4?

  • ● Distributivgesetz
  • ○ Kommutativgesetz
  • ○ Assoziativgesetz
Die 17 wird in 10 + 7 zerlegt und der Faktor 4 auf beide Summanden verteilt: das ist das Distributivgesetz. Beide Seiten haben den Wert 68.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welches Gesetz erlaubt 25 · 7 · 4 = 25 · 4 · 7?

  • ● Kommutativgesetz
  • ○ Distributivgesetz
  • ○ Assoziativgesetz
Die Faktoren 7 und 4 wurden vertauscht: Kommutativgesetz. Das Ergebnis bleibt 700.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

20 − 8 = 8 − 20 gilt nach dem Kommutativgesetz.

✓ Falsch
Das Kommutativgesetz gilt nur für Plus und Mal. 20 − 8 = 12, aber 8 − 20 ist keine natürliche Zahl; bei : ist es genauso.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: 12 · 7 = 10 · 7 + ___ · 7

✓ Antwort: 2
12 = 10 + 2, also 12 · 7 = 10 · 7 + 2 · 7 = 70 + 14 = 84.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: 5 · 47 = 5 · 50 − 5 · ___

✓ Antwort: 3
47 = 50 − 3, also 5 · 47 = 5 · 50 − 5 · 3 = 250 − 15 = 235.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 17 · 6 + 17 · 4 = 17 · ( ___ )

✓ Antwort: 10
17 wird ausgeklammert, in der Klammer stehen die anderen Faktoren 6 + 4 = 10. Das Ergebnis ist 17 · 10 = 170.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ergänze: (2 · 5) · 9 = 2 · (5 · 9) gilt nach dem ___gesetz.

✓ Antwort: Assoziativ
Hier wurden die Klammern umgesetzt, die Reihenfolge der Zahlen blieb: Assoziativgesetz. Beide Seiten ergeben 90.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

24 Kinder zahlen jeweils 15 Euro für einen Ausflug. Wie viele Euro sind das insgesamt? (Tipp: 15 = 10 + 5)

✓ Antwort: 360
24 · 15 = 24 · 10 + 24 · 5 = 240 + 120 = 360 Euro.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne im Kopf: 4 · 198

✓ Antwort: 792
198 = 200 − 2, also 4 · 198 = 4 · 200 − 4 · 2 = 800 − 8 = 792. Wer nur 4 · 200 − 2 rechnet, erhält 798.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne geschickt: 73 · 6 + 73 · 4

✓ Antwort: 730
73 · (6 + 4) = 73 · 10 = 730. Einzeln: 438 + 292 = 730.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne geschickt: 4 · 17 · 25

✓ Antwort: 1700
Vertauschen und zusammenfassen: (4 · 25) · 17 = 100 · 17 = 1700.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne 15 · 98 im Kopf geschickt mit dem Distributivgesetz. Schreibe die Zerlegung auf, rechne die beiden Teile aus und nenne das Gesetz, das du benutzt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 98 = 100 − 2, also 15 · 98 = 15 · (100 − 2) = 15 · 100 − 15 · 2 = 1500 − 30 = 1470 (Distributivgesetz).
15 · 98 = 15 · 100 − 15 · 2 = 1500 − 30 = 1470. Die 15 wird auf beide Zahlen der Klammer verteilt.