Sachaufgaben lösen

Solving word problems

Mathematik Klasse 5 16 Aufgaben

SachaufgabenProblemlösenSchätzen

Sachaufgaben mit ganzen Zahlen werden in fünf Schritten bearbeitet: Skizze, Rechenausdruck, Überschlag, Rechnung, Antwortsatz mit Einheit; das Ergebnis wird im Sachzusammenhang geprüft (Blum und Leiß 2007). Der Abschnitt räumt die Schlüsselwort-Strategie („mehr“ heißt plus) und das gedankenlose Übernehmen eines Ergebnisses aus (130 : 40 = 3 Rest 10 heißt 4 Busse; Verschaffel, Greer und De Corte 2000). Er bereitet alle späteren Sachaufgaben und den Modellierungskreislauf vor.

Erst die Skizze

Sachaufgaben löst du in Schritten. Beispiel: Die Schule kauft für das Sommerfest 19 Kisten Saft zu je 12 Flaschen, 38 Flaschen sind übrig. Wie viele Flaschen wurden getrunken? Zuerst die Skizze: 19 gleiche Portionen zu 12, gekauft, davon werden 38 übrige abgezogen. Daraus liest du den Term ab: $19 \cdot 12 - 38$ . Schlüsselwörter wie „übrig“ oder „mehr“ sagen allein noch nichts; erst die Skizze zeigt, was gerechnet wird.

Aus dem Streifenbild wird der Term 19 · 12 − 38.

Eine gute Skizze hat gleiche Portionen als gleiche Kästchen, Dazukommendes und Abgehendes in verschiedenen Farben und die gesuchte Größe als Fragezeichen. Sie ersetzt keinen Text, sie ordnet ihn.

Überschlag und Rechnung

Vor dem Rechnen schätzt du: $19 \cdot 12 - 38 \approx 20 \cdot 12 - 40 = 200$ . Dann rechnest du fortlaufend: $19 \cdot 12 - 38 = 228 - 38 = 190$ . 190 liegt nahe bei 200, das Ergebnis ist plausibel. Hättest du 1 900 oder 19 erhalten, wüsstest du sofort: Da stimmt etwas nicht. Runde dafür jede Zahl auf ihre größte Stelle, dann kannst du im Kopf rechnen. Der Überschlag ersetzt die Rechnung nicht, er fängt grobe Fehler wie eine vergessene oder überzählige Stelle ab.

Verändere die Zahl der Kisten k. Wie ändert sich, was getrunken wurde?

Antwort im Sachzusammenhang

Zum Schluss beantwortest du die Frage in einem Antwortsatz mit Einheit: „Beim Fest wurden 190 Flaschen Saft getrunken.“ Prüfe dabei, ob das Ergebnis zur Situation passt. 130 Kinder fahren Bus, in einen Bus passen 40: 130 : 40 = 3 Rest 10. Drei Busse reichen nicht, es werden 4 Busse gebraucht. Ein Rest muss im Sachzusammenhang gedeutet werden: Rechnen und Antworten sind zwei verschiedene Schritte. Wer seinen Rechenweg aufschreibt, kann ihn auch anderen erklären. Ein guter Antwortsatz wiederholt die Frage: nicht nur „190“, sondern „Es wurden 190 Flaschen getrunken.“

Fünf Schritte vom Text zur Antwort, mit dem Beispiel dieses Abschnitts.

Voraussetzungen (1)

Punkt vor Strich und Klammern

Klasse 5

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Term gehört zur Skizze?

● 5 · 14 − 9
○ 5 + 14 − 9
○ 5 · 14 + 9

Fünf gleiche Portionen zu 14 sind 5 · 14 = 70; der gestrichelte Streifen wird abgezogen: 5 · 14 − 9 = 61. 5 + 14 − 9 = 10 zählt nur einen Streifen, 5 · 14 + 9 = 79 addiert den abgezogenen Streifen.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Schulkiosk verkauft 8 Brezeln zu je 3 Euro und 4 Getränke zu je 2 Euro. Welcher Term gibt die Einnahmen?

● 8 · 3 + 4 · 2
○ 8 · 3 + 4
○ (8 + 4) · (3 + 2)

Jede Sorte hat ihren eigenen Streifen: 8 · 3 = 24 Euro und 4 · 2 = 8 Euro, zusammen 32 Euro. 8 · 3 + 4 vergisst den Preis der Getränke, (8 + 4) · (3 + 2) = 60 mischt Mengen und Preise.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Tim hat 34 Karten. Das sind 4 Karten mehr als bei Jan. Jan hat 34 + 4 Karten.

✓ Falsch

„Mehr“ ist hier keine Aufforderung zum Addieren: Jan hat 4 Karten weniger als Tim, also 34 − 4 = 30 Karten. Erst die Skizze zeigt, wer mehr hat.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Überschlag passt zu 48 · 21 + 97?

● 50 · 20 + 100
○ 50 · 2 + 100
○ 50 + 20 + 100

Jede Zahl wird auf die größte Stelle gerundet: 48 ≈ 50, 21 ≈ 20, 97 ≈ 100. 50 · 20 + 100 = 1100. Bei 50 · 2 fehlt eine Stelle, bei 50 + 20 wurde aus dem Mal ein Plus.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für 31 · 19 + 48 erhält jemand 6 370. Der Überschlag 30 · 20 + 50 = 650 zeigt, dass das nicht stimmen kann.

✓ Wahr

Der Überschlag ergibt 650; 6 370 hat eine Stelle zu viel. Richtig ist 31 · 19 + 48 = 589 + 48 = 637.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Überschlag für 42 · 18 − 55 ist 40 · 20 − 60 = 740. Welches Ergebnis ist plausibel?

● 701
○ 7010
○ 70

Der genaue Wert ist 42 · 18 − 55 = 756 − 55 = 701, nahe bei 740. 7010 hat eine Stelle zu viel, 70 eine zu wenig.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Eine Klasse spart 8 Wochen lang je 15 Euro und gibt 30 Euro aus. Welcher Antwortsatz ist richtig?

● Die Klasse hat dann 90 Euro.
○ Die Klasse hat dann 90.
○ Die Klasse spart 90 Euro.

8 · 15 − 30 = 120 − 30 = 90. Der Antwortsatz beantwortet die Frage und nennt die Einheit. „90“ allein fehlt die Einheit, und „spart“ vergisst, dass 30 Euro ausgegeben wurden.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Für 250 Würstchen werden Packungen zu je 12 Stück gekauft. Welcher Antwortsatz ist richtig?

● Es müssen 21 Packungen gekauft werden.
○ Es müssen 20 Packungen gekauft werden.
○ Es müssen 20 Rest 10 Packungen gekauft werden.

250 : 12 = 20 Rest 10. Mit 20 Packungen fehlen 10 Würstchen, also braucht man 21 Packungen. „20 Rest 10 Packungen“ ist kein sinnvoller Antwortsatz.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein Zug hat 12 Wagen mit je 78 Plätzen. Jemand rechnet 936 und antwortet „Der Zug hat 93 Plätze.“ Die Antwort passt zur Rechnung.

✓ Falsch

12 · 78 = 936, nicht 93. Beim Aufschreiben wurde die letzte Ziffer verloren; ein kurzer Überschlag (10 · 80 = 800) hätte gezeigt, dass 93 zu klein ist.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Bäckerei backt 7 Bleche zu je 24 Brötchen. 18 Brötchen bleiben übrig. Wie viele Brötchen wurden verkauft?

✓ Antwort: 150

Skizze: 7 gleiche Streifen zu 24, davon 18 abgezogen. Term 7 · 24 − 18 = 168 − 18 = 150.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Überschlage 38 · 21: Runde jede Zahl auf ihre größte Stelle und rechne mit den gerundeten Zahlen.

✓ Antwort: 800

38 ≈ 40 und 21 ≈ 20, also 40 · 20 = 4 · 2 · 100 = 800. Der genaue Wert 38 · 21 = 798 liegt nahe daran.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

In jedes Boot passen 6 Kinder. 100 Kinder wollen fahren. Wie viele Boote werden mindestens gebraucht?

✓ Antwort: 17

100 : 6 = 16 Rest 4. Die 4 restlichen Kinder brauchen noch ein Boot, also 17 Boote (16 · 6 = 96 reichen nicht).

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Verein hat 120 Euro in der Kasse. Er kauft 4 Bälle zu je 15 Euro und für alle 20 Kinder je 2 Euro Eis. Wie viel Euro bleiben übrig?

✓ Antwort: 20

Ausgaben: 4 · 15 = 60 Euro und 20 · 2 = 40 Euro. Term 120 − 4 · 15 − 20 · 2 = 120 − 60 − 40 = 20 Euro.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Zug hat 12 Wagen mit je 78 Plätzen. Überschlage die Zahl der Plätze mit auf die größte Stelle gerundeten Zahlen.

✓ Antwort: 800

Überschlag: 12 ≈ 10 und 78 ≈ 80, also 10 · 80 = 800 Plätze. Der genaue Wert 12 · 78 = 936 liegt in der Nähe.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Aufzug befördert 8 Personen pro Fahrt. 50 Personen wollen hinauf. Wie oft muss er mindestens fahren?

✓ Antwort: 7

50 : 8 = 6 Rest 2. Sechs Fahrten reichen nicht, denn 2 Personen bleiben zurück: es sind 7 Fahrten.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Der Schulkiosk kauft 24 Kisten Saft zu je 12 Flaschen. Am Ende sind 59 Flaschen übrig. Jede verkaufte Flasche bringt 2 Euro. Wie viel Euro hat der Kiosk eingenommen? Zeichne eine Skizze, stelle einen Rechenausdruck auf, mache einen Überschlag, rechne fortlaufend und schreibe einen Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: 24 Streifen zu 12, davon 59 abgezogen, alles mal 2 Euro. Term (24 · 12 − 59) · 2. Überschlag (25 · 12 − 60) · 2 = 480. Rechnung: (24 · 12 − 59) · 2 = (288 − 59) · 2 = 229 · 2 = 458. Antwort: Der Kiosk hat 458 Euro eingenommen.

Verkauft wurden 24 · 12 − 59 = 229 Flaschen, jede bringt 2 Euro: (288 − 59) · 2 = 458 Euro. Überschlag (25 · 12 − 60) · 2 = 480.