Punkt vor Strich und Klammern

Order of operations and brackets

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben

ArithmetikRechenreihenfolge

Punktrechnung geht vor Strichrechnung, Gleichrangiges wird von links nach rechts gerechnet, Klammern gehen vor, verschachtelte von innen nach außen. Die Reihenfolge ist keine Willkür, sie folgt dem Rechenbaum: Erst müssen die Teilterme fertig sein. Der Abschnitt räumt das durchgehende Rechnen von links nach rechts (3 + 4 · 5 = 35) und die Kettengleichung 3 + 4 = 7 · 5 = 35 aus (Linchevski und Livneh 1999; Kieran 1981) und übt die fortlaufende Rechnung, in der jede Zeile denselben Wert hat. Er bereitet Distributivgesetz, Rechenketten und Sachaufgaben vor.

Punkt vor Strich

Wie viel ist $3 + 4 \cdot 5$ ? Ein einfacher Taschenrechner rechnet von links nach rechts und zeigt 35, ein Schulrechner 23. Es gilt die Vereinbarung: Punktrechnung (mal und geteilt) geht vor Strichrechnung (plus und minus). Also ist $3 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23$ . Der Rechenbaum erklärt das: Der Teilterm 4 · 5 muss fertig sein, bevor der letzte Schritt, die Summe, gerechnet werden kann. Das passt zu einer kleinen Geschichte: 3 einzelne Brezeln und 4 Tüten mit je 5 Brezeln sind 3 + 4 · 5 = 23 Brezeln.

Schalte die Schritte nacheinander frei. In welchem Knoten wird zuerst gerechnet?

Stehen nur Punkt- oder nur Strichrechnungen im Term, rechnest du von links nach rechts: $18 - 7 + 4 = 11 + 4 = 15$ und $36 : 6 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$ .

Plus und Minus stehen auf derselben Stufe, ebenso Mal und Geteilt. Deshalb ist 18 − 7 + 4 nicht 18 − 11: Wer 7 + 4 zuerst rechnet, macht aus dem Minus heimlich ein Plus.

Klammern zuerst

Eine Klammer setzt die Reihenfolge außer Kraft: Was in Klammern steht, wird zuerst gerechnet. $(3 + 4) \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$ . Sind Klammern ineinander verschachtelt, rechnest du von innen nach außen: $(20 - (4 + 2)) : 2 = (20 - 6) : 2 = 14 : 2 = 7$ . Im Rechenbaum bildet jede Klammer einen Teilterm. Ohne Klammer würde aus (3 + 4) · 5 der Term 3 + 4 · 5 mit dem Wert 23; Klammern setzt du also genau dort, wo die Struktur es verlangt.

Schalte die Schritte von innen nach außen frei: erst 4 + 2, dann 20 − 6, zuletzt 14 : 2.

Fortlaufende Rechnung

Beim Ausrechnen schreibst du jeden Schritt in eine neue Zeile. Das Gleichheitszeichen heißt: Links und rechts steht derselbe Wert. Falsch ist deshalb die Kette $3 + 4 = 7 \cdot 5 = 35$ , denn 7 ist nicht 7 · 5. Richtig ist $3 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23$ : Jeder Term dieser Kette hat den Wert 23. Im Kopf darfst du abkürzen, aufgeschrieben wird aber jede Zeile. Zur Kontrolle rechnest du jede Zeile einzeln aus: Steht überall derselbe Wert, stimmt die Kette.

Rechts hat jede Zeile denselben Wert, links ändert sich der Wert mitten in der Kette.

Voraussetzungen (1)

Terme benennen

Klasse 5

›

Ermöglicht (4)

Das Distributivgesetz

Vorwärts und rückwärts

Klasse 5

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie viel ist 9 + 3 · 4?

● 21
○ 48
○ 31

Punkt vor Strich: 3 · 4 = 12, dann 9 + 12 = 21. Von links gerechnet wäre (9 + 3) · 4 = 48; wer das Malzeichen an die 9 bindet, rechnet 9 · 3 + 4 = 31.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu 7 + 6 · 3. Welchen Wert hat der Knoten mit dem Malzeichen?

● 18
○ 13
○ 39

Im Knoten mit dem Malzeichen steht 6 · 3 = 18. Es wird zuerst gerechnet, weil die Punktrechnung vorgeht; erst danach kommt 7 + 18 = 25. 13 ist 7 + 6 (Plus zuerst), 39 ist (7 + 6) · 3 (von links gerechnet).

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie viel ist 45 − 17 + 9?

● 37
○ 19
○ 53

Nur Strichrechnungen: von links nach rechts, 45 − 17 = 28, dann 28 + 9 = 37. Wer 17 + 9 zuerst rechnet, bekommt 19; wer aus dem Minus ein Plus macht, 53.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

54 : 9 · 3 = 2

✓ Falsch

Malnehmen und Teilen gehören zur selben Stufe, also von links: 54 : 9 = 6, dann 6 · 3 = 18. Die 2 entsteht, wenn man 9 · 3 zuerst rechnet: 54 : 27.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Bei welchem Term rechnest du einfach von links nach rechts?

● 30 − 12 + 5
○ 30 − 12 · 5
○ 30 + 12 : 5

In 30 − 12 + 5 kommen nur Strichrechnungen vor. In den anderen beiden Termen steht eine Punktrechnung (12 · 5 bzw. 12 : 5), die zuerst gerechnet wird.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu (30 − (6 + 4)) : 5. Welcher Teilterm wird zuerst berechnet?

● 6 + 4
○ 30 − 6
○ 30 : 5

Die innerste Klammer wird zuerst berechnet: 6 + 4 = 10. Erst dann folgt 30 − 10 = 20 und zuletzt 20 : 5 = 4. 30 − 6 ignoriert die innere Klammer.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Wie viel ist (7 + 3) · 4?

● 40
○ 19
○ 31

Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10, dann 10 · 4 = 40. Ohne Klammer wäre 7 + 3 · 4 = 19; wer nur die 7 mit 4 malnimmt, rechnet 7 · 4 + 3 = 31.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Rechnung ist richtig aufgeschrieben?

● 4 + 3 · 6 = 4 + 18 = 22
○ 4 + 3 · 6 = 4 + 3 = 7 · 6 = 42
○ 4 + 3 · 6 = 4 + 18 = 22 · 2 = 44

Richtig ist die Kette, in der jedes Gleichheitszeichen zwei gleiche Werte verbindet: 4 + 3 · 6 = 4 + 18 = 22. In den anderen beiden Ketten stehen hinter dem Gleichheitszeichen andere Werte (7 ≠ 4 + 3 · 6 bzw. 44 ≠ 22).

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

8 + 2 = 10 · 3 = 30 ist eine richtige fortlaufende Rechnung.

✓ Falsch

Es stimmt zwar 8 + 2 = 10, aber 10 ist nicht gleich 10 · 3 = 30. Das Gleichheitszeichen darf nur zwischen Termen mit demselben Wert stehen; richtig wären zwei getrennte Zeilen.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne: 14 + 6 · 5

✓ Antwort: 44

6 · 5 = 30, dann 14 + 30 = 44.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne: 50 − 15 − 5

✓ Antwort: 30

Von links: 50 − 15 = 35, dann 35 − 5 = 30. Zuerst 15 − 5 zu rechnen ergäbe 40.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne den Wert des Terms, dessen Rechenbaum du siehst.

✓ Antwort: 4

Der Baum gehört zu (26 − 14) : 3. Erst 26 − 14 = 12, dann 12 : 3 = 4.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

In der fortlaufenden Rechnung fehlt eine Zahl: 50 − 4 · 8 = 50 − ___. Welche Zahl gehört auf den Strich?

✓ Antwort: 32

Punkt vor Strich: 4 · 8 = 32. Die zweite Zeile 50 − 32 hat denselben Wert wie der Anfang, nämlich 18.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Berechne den Wert des Terms, dessen Rechenbaum du siehst.

✓ Antwort: 43

Der Baum gehört zu 5 + 6 · 7 − 8 : 2. Punkt vor Strich: 6 · 7 = 42 und 8 : 2 = 4, dann 5 + 42 − 4 = 43.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne: 48 : 6 · 2 − 4

✓ Antwort: 12

48 : 6 = 8, dann 8 · 2 = 16 (gleiche Stufe, von links), zuletzt 16 − 4 = 12.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Berechne: 100 − (30 − (5 + 5)) · 2

✓ Antwort: 60

Innen: 5 + 5 = 10, dann 30 − 10 = 20. Punkt vor Strich: 20 · 2 = 40, zuletzt 100 − 40 = 60.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ergänze die fortlaufende Rechnung: 6 · (5 + 3) − 20 = 6 · 8 − 20 = 48 − 20 = ___

✓ Antwort: 28

Klammer zuerst 5 + 3 = 8, dann 6 · 8 = 48, zuletzt 48 − 20 = 28.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne 90 − (8 + 4) · 5 + 12 : 3 in einer fortlaufenden Rechnung. Schreibe jeden Schritt in eine neue Zeile, sodass hinter jedem Gleichheitszeichen ein Term mit demselben Wert steht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 90 − (8 + 4) · 5 + 12 : 3 = 90 − 12 · 5 + 4 = 90 − 60 + 4 = 30 + 4 = 34.

Klammer 8 + 4 = 12, Punktrechnungen 12 · 5 = 60 und 12 : 3 = 4, dann von links 90 − 60 = 30 und 30 + 4 = 34.