Vorwärts und rückwärts

Forwards and backwards

Mathematik Klasse 5 16 Aufgaben
ArithmetikStrategienGleichungen

Rechenketten lassen sich vorwärts (Start bekannt, Ende gesucht) und rückwärts (Ende bekannt, Start gesucht) durcharbeiten. Beim Rückwärtsarbeiten wird jeder Schritt durch seine Umkehroperation ersetzt, und zwar von hinten nach vorn (Malle 1993); die Probe geht vorwärts. Der Abschnitt räumt aus, die Schritte in derselben Reihenfolge oder mit derselben Rechenart umzukehren, und lässt die Strategie wählen und begründen. Er bereitet Gleichungen, Äquivalenzumformungen und Sachaufgaben vor.

Vorwärts

Viele Aufgaben sind Rechenketten: Du denkst dir eine Zahl, multiplizierst sie mit 3 und addierst 4. Startest du bei 7, arbeitest du vorwärts: 7 · 3 = 21, dann 21 + 4 = 25. Für den unbekannten Start schreibst du einen Buchstaben, zum Beispiel x. Als Term steht die Kette dann in einer Zeile: . Kommt zuerst ein Plus und dann ein Mal, brauchst du eine Klammer: erst + 4, dann · 3 ergibt .

Verändere den Start x und lies die Zahlen nach jedem Schritt ab.

Eine Rechenkette ist ein Term in Stationen: Jede Station ist ein Teilterm, und das Ergebnis der einen ist der Start der nächsten. Genau deshalb kommt bei „erst + 4, dann · 3“ eine Klammer ins Spiel.

Rückwärts

Bekannt ist das Ergebnis 25, gesucht der Start. Jetzt arbeitest du rückwärts: Du kehrst jeden Schritt um und beginnst hinten. Die Umkehrung von + 4 ist − 4, die von · 3 ist : 3, also und . Kehrst du die Schritte in der falschen Reihenfolge um, kommt etwas anderes heraus: 25 : 3 geht nicht einmal auf. Die Probe zeigt sofort, ob du richtig zurückgerechnet hast.

Verändere das Ergebnis y. Welche Zahl entsteht am Ende als Start?

Welche Richtung passt? Ist der Start bekannt und das Ende gesucht, rechnest du vorwärts. Ist das Ende bekannt und der Start gesucht, rechnest du rückwärts. Zur Probe rechnest du danach mit dem gefundenen Start vorwärts.

Voraussetzungen (1)

Punkt vor Strich und Klammern
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Term gehört zur Rechenkette?

  • ● (9 + 7) · 4
  • ○ 9 + 7 · 4
  • ○ 9 · 4 + 7
Zuerst wird 7 addiert, danach mit 4 multipliziert: Die Summe braucht eine Klammer, (9 + 7) · 4 = 16 · 4 = 64. 9 + 7 · 4 = 37 würde zuerst multiplizieren, 9 · 4 + 7 = 43 kehrt die Schritte um.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Zahl steht im mittleren Kasten, nach dem ersten Schritt?

  • ● 30
  • ○ 22
  • ○ 11
Nach dem ersten Schritt ist 6 · 5 = 30 erreicht. 22 steht erst am Ende der Kette, 11 wäre 6 + 5.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Kette 6 → · 3 → + 2 hat den Term 6 · 3 + 2.

✓ Wahr
Erst wird mit 3 multipliziert, dann 2 addiert: 6 · 3 + 2 = 20. Wer 6 · (3 + 2) = 30 schreibt, rechnet zuerst 3 + 2.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Rechnung kehrt den letzten Schritt der Kette um?

  • ● 37 − 5
  • ○ 37 : 4
  • ○ 37 + 5
Der letzte Schritt war „+ 5“, seine Umkehrung ist „− 5“: 37 − 5 = 32. Danach folgt 32 : 4 = 8. 37 : 4 kehrt zuerst den ersten Schritt um und 37 + 5 wiederholt den Schritt statt ihn umzukehren.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Start wurde mit 5 multipliziert, dann wurde 10 addiert: Ergebnis 60. Welche Rechnung findet den Start?

  • ● 60 − 10 = 50, dann 50 : 5 = 10
  • ○ 60 : 5 = 12, dann 12 − 10 = 2
  • ○ 60 + 10 = 70, dann 70 : 5 = 14
Rückwärts wird zuerst der letzte Schritt umgekehrt: 60 − 10 = 50, dann 50 : 5 = 10. Probe: 10 · 5 + 10 = 60. Die Umkehrung in gleicher Reihenfolge liefert 2, die gleiche Rechenart (+ 10) liefert 14.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Zu „: 3, dann + 8“ gehört rückwärts „− 8, dann · 3“.

✓ Wahr
Die Schritte werden von hinten umgekehrt: die Umkehrung von „+ 8“ ist „− 8“ und kommt zuerst, dann die von „: 3“, also „· 3“.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Tom hat 3 Hefte zu je 4 Euro gekauft und hat noch 14 Euro. Welcher Term gibt sein Startgeld?

  • ● 14 + 3 · 4
  • ○ 14 − 3 · 4
  • ○ 14 : 3 + 4
Gesucht ist der Start, also rückwärts: Die Ausgabe 3 · 4 = 12 Euro kommt zu den 14 Euro dazu, 26 Euro. Wer 14 − 3 · 4 rechnet, arbeitet vorwärts, obwohl der Start gesucht ist.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Start 9, dann · 2, dann − 5, gesucht ist das Ende. Hier musst du rückwärts arbeiten.

✓ Falsch
Der Start ist bekannt und das Ende gesucht: vorwärts, 9 · 2 = 18, dann 18 − 5 = 13. Rückwärts arbeitest du, wenn das Ende bekannt und der Start gesucht ist.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Aufgabe löst du am besten rückwärts?

  • ● Ich denke mir eine Zahl, mal 3, plus 4: Ergebnis 25. Welche Zahl?
  • ○ Start 7, dann mal 3, dann plus 4. Welches Ergebnis?
  • ○ Start 7, dann mal 3, dann plus 4 gleich 25. Stimmt das?
Nur in der ersten Aufgabe ist der Start gesucht und das Ende bekannt. Die zweite rechnest du vorwärts, die dritte ist eine Probe und wird ebenfalls vorwärts gerechnet.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Start 12, dann : 4, dann · 5. Welche Zahl steht am Ende?

✓ Antwort: 15
12 : 4 = 3, dann 3 · 5 = 15.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Das Ergebnis 29 entstand durch „· 3, dann + 5“. Welche Zahl war der Start?

✓ Antwort: 8
29 − 5 = 24, dann 24 : 3 = 8. Probe: 8 · 3 + 5 = 29.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Probe vorwärts: Der Start 9 wird mit 4 multipliziert, dann wird 6 abgezogen. Welche Zahl erhältst du?

✓ Antwort: 30
Vorwärts: 9 · 4 = 36, dann 36 − 6 = 30.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Mia hat 50 Euro. Sie kauft 3 Hefte zu je 4 Euro und bekommt danach 10 Euro geschenkt. Wie viel Euro hat sie am Ende?

✓ Antwort: 48
Vorwärts: 3 · 4 = 12 Euro ausgegeben, 50 − 12 = 38, dann + 10 = 48 Euro. Als Term: 50 − 3 · 4 + 10.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ich denke mir eine Zahl, verdopple sie, addiere 9 und erhalte 31. Welche Zahl habe ich mir gedacht?

✓ Antwort: 11
Rückwärts: 31 − 9 = 22, dann 22 : 2 = 11. Probe: 11 · 2 + 9 = 31.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Lena denkt sich eine Zahl, teilt sie durch 4, addiert 11 und erhält 20. Welche Zahl war es?

✓ Antwort: 36
Rückwärts: 20 − 11 = 9, dann 9 · 4 = 36. Probe: 36 : 4 + 11 = 20.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Zahl wird mit 6 multipliziert, dann wird 15 addiert, dann wird durch 3 geteilt. Das Ergebnis ist 17. Zeichne die Rechenkette, kehre jeden Schritt in der richtigen Reihenfolge um, finde die Zahl und mache die Probe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Kette: Start → · 6 → + 15 → : 3 → 17. Rückwärts: 17 · 3 = 51, dann 51 − 15 = 36, dann 36 : 6 = 6. Start 6. Probe: 6 · 6 + 15 = 51, 51 : 3 = 17.
Rückwärts: 17 · 3 = 51, 51 − 15 = 36, 36 : 6 = 6. Probe vorwärts: 6 · 6 + 15 = 51, dann : 3 = 17.