Die Nullhypothese wählen

Choosing the null hypothesis

Mathematik Klasse 12 19 Aufgaben
WahrscheinlichkeitHypothesentestSignifikanztest

Was der Test belegen soll, wird zur Gegenhypothese H₁; die Nullhypothese H₀ ist das Gegenteil und enthält den Randwert p₀, etwa H₀: p ≤ 0,2 gegen H₁: p > 0,2. Bei gleichen Zahlen wechselt H₀, sobald das Ziel wechselt (Hersteller gegen Verbraucherportal). Räumt aus, die Behauptung selbst zur Nullhypothese zu machen oder den Randwert zu H₁ zu zählen. Bereitet den Ablehnungsbereich vor: p₀ ist der Rechenfall, die Richtung von H₁ legt die Seite fest.

Ein Hersteller von Kopfhörern behauptet: „Höchstens 20 % der Geräte werden zurückgeschickt.“ Ein Verbraucherportal will mit einer Stichprobe belegen, dass die Quote höher ist. Was soll die Stichprobe belegen? Die Aussage, die die Daten stützen sollen, wird zur Gegenhypothese H₁: . Die Nullhypothese H₀ ist das Gegenteil: . Der Grund: Ein Test kann H₀ nur ablehnen. Eine Ablehnung ist die starke Aussage, und die soll die Behauptung sein, die wir belegen wollen.

Warum nicht umgekehrt? „Nicht abgelehnt“ heißt nur, dass die Daten nicht gegen H₀ ausreichen, und ist kein Beweis für H₀. Stünde die Behauptung „mehr als 20 %“ in H₀, könnte der Test sie also nie belegen. Als H₁ dagegen muss sie sich durch die Daten durchsetzen: Nur wenn das Ergebnis deutlich gegen H₀ spricht, gilt sie als gestützt.

Der Randwert gehört zu H₀. Das ist wichtig, weil wir später mit rechnen: Es ist der ungünstigste Fall, in dem H₀ gerade noch gilt.

Das Ziel bestimmt also die Nullhypothese. Will dagegen der Hersteller belegen, dass seine Quote unter 20 % liegt, dann ist und . Mit denselben Zahlen wechselt H₀, sobald das Ziel wechselt. Ein Test mit heißt rechtsseitig, einer mit linksseitig; beide zusammen sind die einseitigen Tests.

Schiebe z: 1 steht für „mehr als 20 %“ belegen, 0 für „weniger als 20 %“. Was passiert mit H₀ und H₁, und wohin gehört der Randwert?

Ermöglicht (1)

Der Ablehnungsbereich
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine Bäckerei will mit einer Umfrage belegen, dass mehr als 30 % der Kunden ihr neues Brot kaufen würden. Welche Aussage über p ist H₁?

  • ● p > 0,3
  • ○ p ≤ 0,3
  • ○ p = 0,3
Was die Umfrage belegen soll, wird zur Gegenhypothese H₁: p > 0,3. Die Nullhypothese H₀ ist das Gegenteil, p ≤ 0,3. Der Punktwert p = 0,3 allein wäre nur ein Teil davon.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Verein will mit einer Umfrage belegen, dass mehr als 40 % der Mitglieder ein Sommerfest wünschen. Seine Gegenhypothese lautet p > 0,4.

✓ Wahr
Was belegt werden soll, wird zur Gegenhypothese H₁: p > 0,4. Die Nullhypothese ist das Gegenteil: p ≤ 0,4.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Prüfer will belegen, dass weniger als 90 % der Batterien länger als 10 Stunden halten. Welche Aussage über p ist H₁?

  • ● p < 0,9
  • ○ p ≥ 0,9
  • ○ p > 0,9
Belegt werden soll „weniger als 90 %“, das ist H₁: p < 0,9. p ≥ 0,9 ist die Nullhypothese; p > 0,9 zeigt in die falsche Richtung.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Test soll belegen, dass die Heilungsquote eines Medikaments über 60 % liegt. Welches Paar ist richtig?

  • ● H₀: p ≤ 0,6 und H₁: p > 0,6
  • ○ H₀: p < 0,6 und H₁: p ≥ 0,6
  • ○ H₀: p > 0,6 und H₁: p ≤ 0,6
H₁ ist die Behauptung p > 0,6, H₀ das Gegenteil p ≤ 0,6. Der Randwert 0,6 gehört zu H₀: In der zweiten Zeile gehört er zu H₁, in der dritten sind die Rollen vertauscht.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Test soll belegen, dass weniger als 5 % der Teile Ausschuss sind. Welches Paar ist richtig?

  • ● H₀: p ≥ 0,05 und H₁: p < 0,05
  • ○ H₀: p ≤ 0,05 und H₁: p > 0,05
  • ○ H₀: p > 0,05 und H₁: p ≤ 0,05
Belegt werden soll p < 0,05, das ist H₁. H₀ ist das Gegenteil, p ≥ 0,05 mit dem Randwert.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt Nullhypothese (blau) und Gegenhypothese (gelb) auf der p-Achse. Welches Paar gehört dazu?

  • ● H₀: p ≤ 0,35 und H₁: p > 0,35
  • ○ H₀: p ≥ 0,35 und H₁: p < 0,35
  • ○ H₀: p < 0,35 und H₁: p ≥ 0,35
Blau reicht von 0 bis 0,35 und enthält den Randwert: H₀: p ≤ 0,35. Gelb liegt rechts davon: H₁: p > 0,35. Der Randwert gehört zu H₀.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei H₀: p ≤ 0,3 und H₁: p > 0,3 gehört der Wert p = 0,3 zur Nullhypothese.

✓ Wahr
Der Randwert p₀ steht in H₀ (≤). H₁ enthält nur Werte größer als 0,3.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Hersteller sagt: Höchstens 20 % der Geräte werden zurückgeschickt. Ein Verbraucherportal will belegen, dass die Quote höher ist. Welches Paar wählt das Portal?

  • ● H₀: p ≤ 0,2 und H₁: p > 0,2
  • ○ H₀: p ≥ 0,2 und H₁: p < 0,2
  • ○ H₀: p > 0,2 und H₁: p ≤ 0,2
Das Portal will „mehr als 20 %“ belegen, also H₁: p > 0,2 und H₀: p ≤ 0,2. Das zweite Paar gehört zum Ziel des Herstellers, das dritte vertauscht die Rollen.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Derselbe Hersteller will mit einer Stichprobe belegen, dass seine Rücksendequote unter 20 % liegt. Welches Paar wählt er?

  • ● H₀: p ≥ 0,2 und H₁: p < 0,2
  • ○ H₀: p ≤ 0,2 und H₁: p > 0,2
  • ○ H₀: p < 0,2 und H₁: p ≥ 0,2
Sein Ziel ist „unter 20 %“, also H₁: p < 0,2. Die Nullhypothese ist das Gegenteil, p ≥ 0,2. Bei gleichen Zahlen wechselt mit dem Ziel auch H₀.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Hersteller (Ziel: Quote unter 20 %) und Verbraucherportal (Ziel: Quote über 20 %) wählen verschiedene Nullhypothesen.

✓ Wahr
Der Hersteller wählt H₀: p ≥ 0,2, das Portal H₀: p ≤ 0,2. Das Ziel bestimmt, welche Aussage belegt werden soll und damit die Nullhypothese.
Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt H₀ (blau) und H₁ (gelb) auf der p-Achse. Wer verfolgt dieses Ziel?

  • ● der Hersteller mit dem Ziel „Quote unter 20 %“
  • ○ das Portal mit dem Ziel „Quote über 20 %“
  • ○ keiner von beiden
Gelb (H₁) liegt links von 0,2: p < 0,2. Das ist die Behauptung, die der Hersteller belegen will. Das Portal hätte H₁ rechts von 0,2.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Test soll belegen, dass mehr als 35 % der Befragten das Angebot nutzen. Dann lautet H₁: p > ___ (als Dezimalzahl).

✓ Antwort: 0.35
Die Behauptung „mehr als 35 %“ wird zu H₁: p > 0,35. Die Zahl 0,35 heißt p₀.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Test soll belegen, dass p < 0,25. Dann lautet H₀: p ≥ ___ (als Dezimalzahl).

✓ Antwort: 0.25
H₁ ist p < 0,25. H₀ ist das Gegenteil: p ≥ 0,25, mit dem Randwert.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Portal will belegen, dass die Rücksendequote über 20 % liegt. Wie viele der Werte p = 0,1; p = 0,2; p = 0,3 gehören zu seiner Nullhypothese?

✓ Antwort: 2
Belegt werden soll p > 0,2, das ist H₁. Also ist H₀: p ≤ 0,2, dazu gehören 0,1 und der Randwert 0,2, nicht 0,3. Es sind 2 Werte.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Eine Münze soll fair sein. Welcher Wert p₀ steht in der Nullhypothese H₀: p = p₀?

✓ Antwort: 0.5
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Vier Aussagen: (1) Ausschuss höchstens 5 %, (2) Ausschuss über 5 %, (3) Ausschuss genau 5 %, (4) Ausschuss unter 5 %. Ein Kunde will belegen, dass mehr als 5 % der Teile ausfallen. Welche Nummer ist H₁?

✓ Antwort: 2
Belegt werden soll „über 5 %“. Das ist Aussage (2): p > 0,05. Aussage (1) ist die Nullhypothese.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zur Nullhypothese H₀: p ≤ 0,08 gehören von den Werten 0,05; 0,08; 0,10; 0,15 wie viele?

✓ Antwort: 2
0,05 und 0,08 sind höchstens 0,08. Der Randwert 0,08 gehört dazu, 0,10 und 0,15 sind zu groß. Es sind also 2 Werte.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Reisebüro behauptet: Mindestens 70 % der Kunden empfehlen uns weiter. Ein Konkurrent will belegen, dass weniger als 70 % weiterempfehlen. In seiner Nullhypothese H₀: p ≥ ___ steht welche Zahl (als Dezimalzahl)?

✓ Antwort: 0.7
Der Konkurrent belegt „weniger als 70 %“: H₁: p < 0,7 und H₀: p ≥ 0,7.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Hersteller von Kopfhörern behauptet, dass höchstens 20 % der Geräte zurückgeschickt werden. Ein Verbraucherportal will mit einer Stichprobe belegen, dass die Quote höher ist. Der Hersteller will mit einer anderen Stichprobe belegen, dass sie niedriger ist. Formuliere für beide jeweils H₀ und H₁ mit p und begründe in einem Satz, warum die Behauptung, die belegt werden soll, als H₁ gewählt wird. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Portal: H₁: p > 0,2 (belegen), H₀: p ≤ 0,2. Hersteller: H₁: p < 0,2 (belegen), H₀: p ≥ 0,2. Begründung: Ein Test kann H₀ nur ablehnen. Nur eine Ablehnung ist die starke Aussage, und die soll die Behauptung sein, die man belegen will; H₀ ist das Gegenteil, der Normalfall.
Das Ziel bestimmt H₁: Wer „mehr“ belegen will, wählt H₁: p > 0,2, wer „weniger“ belegen will, H₁: p < 0,2. H₀ ist jeweils das Gegenteil mit dem Randwert.