Periodische Vorgänge
Periodic processes
Ein periodischer Vorgang wird mit f(t) = a · sin(b(t + c)) + d modelliert: d ist der Mittelwert, a die halbe Schwankung, b = 2π/T aus der Periodendauer T und c aus dem Startzeitpunkt. Mit dem Modell berechnet man Werte (Rechner im RAD-Modus) und löst Gleichungen wie h(t) = 30, die je Periode zwei Lösungen haben. Der Abschnitt räumt aus, d als Maximum zu nehmen, die Periode in der falschen Einheit einzusetzen und die zweite Lösung zu vergessen (Blum und Leiß 2007 betonen das Validieren). Er bereitet Ableitung und Extremwerte von Sinusmodellen in Jgst. 12 vor.
Das Riesenrad als Modell
Aus dem Text des Riesenrads liest man die vier Zahlen ab. Der Radius 20 m ist die
Wann ist die Gondel auf 30 m?
Aus
Voraussetzungen (1)
Der Wasserstand in einem Hafen schwankt zwischen 1,0 m und 4,2 m, eine Periode dauert 12,4 h (t in Stunden). Welche Werte haben a, d und b im Ansatz a · sin(b(t + c)) + d?
Ein Pendel schwingt in 2 s einmal hin und her (t in Sekunden). Welchen Wert hat b in sin(b(t + c))?
Die Höhe einer Gondel wird durch h(t) = 20 · sin(π/5 · (t + c)) + 22 beschrieben (t in Minuten). Welchen Wert hat c nach dem Graphen?
Es ist h(t) = 20 · sin(π/5 · (t − 2,5)) + 22. Welcher Ausdruck gibt die Höhe zur Zeit t = 4?
Im Modell h(t) = 20 · sin(π/5 · (t − 2,5)) + 22 ist die Gondel nach 5 Minuten am höchsten Punkt (42 m).
Im Riesenrad-Modell ist die Gondel bei t ≈ 3,15 min zum ersten Mal auf 30 m (Umlaufzeit 10 min, höchster Punkt bei t = 5). Wann ist sie in der ersten Runde ein zweites Mal auf 30 m?
Wie oft erreicht die Gondel in den ersten 20 Minuten die Höhe 15 m (Schnittpunkte des Graphen mit der gestrichelten Linie)?
Der Graph zeigt die Höhe h einer Gondel (in m) über der Zeit t (in min). Welcher Term gehört dazu?
Der tiefste Punkt eines Riesenrads liegt 5 m, der höchste 65 m über dem Boden. Wie hoch liegt die Mittellinie d (in m)?
Berechne im Modell h(t) = 20 · sin(π/5 · (t − 2,5)) + 22 die Höhe nach 6 Minuten (in m, auf 0,1 m genau; Rechner im RAD-Modus).
Rechner im RAD-Modus: Es gilt sin z = 0,5. Der Rechner liefert z = sin⁻¹(0,5) = ___ (auf zwei Dezimalstellen).
Ein Riesenrad braucht für eine Umdrehung 8 Minuten (t in Minuten). Wie groß ist b in sin(b(t + c)) (auf zwei Dezimalstellen)?
Die Temperatur an einem Sommertag wird durch T(t) = 8 · sin(π/12 · (t − 9)) + 14 beschrieben (t in Stunden, T in °C). Wie warm ist es um 12 Uhr (auf 0,1 °C genau; Rechner im RAD-Modus)?
Der Graph zeigt die Höhe einer Gondel (in m) über der Zeit (in min). Lies ab: Wie hoch ist die Gondel nach 4,5 Minuten?
Im Riesenrad-Modell h(t) = 20 · sin(π/5 · (t − 2,5)) + 22 ist die Gondel zum ersten Mal auf 40 m. Wann (in min, auf zwei Dezimalstellen; Rechner im RAD-Modus)?
Ein Riesenrad hat den Radius 15 m, die Nabe liegt 17 m hoch, eine Umdrehung dauert 6 Minuten. Bei t = 0 (in Minuten) ist die Gondel am tiefsten Punkt. Stelle einen Term h(t) = a · sin(b(t + c)) + d auf und begründe jeden der vier Werte. Berechne h(2) und bestimme, wann die Gondel in der ersten Runde 25 m hoch ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Der Wasserstand w (in m) in einem Hafen wird durch w(t) = 1,6 · cos(2π/12,4 · t) + 2,6 beschrieben (t in Stunden, t = 0 ist Hochwasser). Bestimme Hochwasser, Niedrigwasser und Mittelwasser des Modells und berechne, wann der Wasserstand nach dem Hochwasser zum ersten Mal auf 2 m sinkt. Der Rechner steht im RAD-Modus. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.