Grad und Bogenmaß

Degrees and radians

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
TrigonometrieBogenmaßEinheitskreis

Grad und Bogenmaß sind proportional: α : 360° = x : 2π. Daraus folgen x = α · π/180° und α = x · 180°/π. Die vier Merkwinkel 30°, 45°, 60°, 90° sind π/6, π/4, π/3, π/2. Der Abschnitt räumt den vertauschten Umrechnungsfaktor aus und den Rechnerfehler, sin 30 im falschen Modus zu tippen (Weber 2005 beschreibt, wie schwer der Wechsel der Darstellung fällt). Er bereitet die Werte am Kreis für reelle Zahlen und den Rechnermodus beim Modellieren vor.

Der Vollwinkel hat 360° und das Bogenmaß 2π, der gestreckte Winkel 180° und π. Beide Maße wachsen im gleichen Verhältnis: . Daraus folgen zwei Umrechnungen. Von Grad ins Bogenmaß: , zum Beispiel . Vom Bogenmaß in Grad: , zum Beispiel . Vier Winkel merkt man sich am besten als Brüche von π: 30° = π⁠/⁠6, 45° = π⁠/⁠4, 60° = π⁠/⁠3 und 90° = π⁠/⁠2. Sie sind Bruchteile des Vollwinkels: 30° ist ein Zwölftel davon, also 2π : 12 = π⁠/⁠6. Aus ihnen bekommt man weitere Winkel ohne Rechner, zum Beispiel 135° = 3 · 45° = 3π⁠/⁠4. Dabei lässt man π als Symbol stehen und rechnet nur mit dem Bruch.

Der Taschenrechner kennt beide Maße und fragt über den Modus: DEG liest die Eingabe als Grad, RAD als Bogenmaß. Dieselbe Eingabe liefert im DEG-Modus 0,5, im RAD-Modus aber −⁠0,99, denn dort sind es 30 Radiant, knapp fünf Umläufe.

Stelle 30°, 60° und 90° ein und lies x : π ab. Bei welchen Winkeln ist x : π ein einfacher Bruch?

Voraussetzungen (1)

Winkel als Bogenlänge
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Werte für reelle Zahlen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Winkel von 120° soll ins Bogenmaß umgerechnet werden. Welcher Ansatz führt zum Ziel?

  • ● 120 · π/180
  • ○ 120 · 180/π
  • ○ 120 : 360
Ins Bogenmaß rechnet man mit dem Faktor π/180° um: x = 120 · π/180 = 2π/3. Der Faktor 180/π kehrt die Richtung um, und 120 : 360 ist nur der Bruchteil des Vollwinkels (ohne 2π).
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welches Bogenmaß hat der markierte Winkel von 75° (auf zwei Dezimalstellen)?

  • ● 1,31
  • ○ 4297,18
  • ○ 0,21
x = 75 · π/180 ≈ 1,309, gerundet 1,31. Die Zahl 4297,2 entsteht mit dem falschen Faktor 180/π, und 0,21 ist nur 75 : 360.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Winkel hat das Bogenmaß 1,5. Welcher Ansatz liefert den Winkel in Grad?

  • ● 1,5 · 180°/π
  • ○ 1,5 · π/180°
  • ○ 1,5 · 180°
Vom Bogenmaß ins Gradmaß multipliziert man mit 180°/π: α = 1,5 · 180°/π ≈ 85,9°. Der Faktor π/180° gehört zur Gegenrichtung, und 1,5 · 180° würde π als 1 behandeln.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welcher Winkel in Grad hat das Bogenmaß 2π/3?

  • ● 120°
  • ○ 60°
  • ○ 240°
2π/3 · 180°/π = 2 · 180°/3 = 120°. 60° wäre π/3 (der Faktor 2 wurde vergessen), 240° wäre 4π/3.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welches Bogenmaß hat ein Winkel von 45°?

  • ● π/4
  • ○ π/2
  • ○ π/6
45° ist ein Achtel des Vollwinkels, also 2π : 8 = π/4. π/2 gehört zu 90°, π/6 zu 30°.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welches Bogenmaß hat der markierte Winkel von 60°?

  • ● π/3
  • ○ π/6
  • ○ π/4
60° ist ein Sechstel des Vollwinkels: 2π : 6 = π/3. Bei π/6 wären es 30°, bei π/4 wären es 45°.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Taschenrechner steht auf RAD. Du tippst sin 30. Welcher Wert erscheint?

  • ● −0,99
  • ○ 0,5
  • ○ 0,52
Im RAD-Modus sind 30 Radiant gemeint (knapp fünf Umläufe): sin 30 ≈ −0,988. Die 0,5 erscheint im DEG-Modus. Und 0,52 ist der Wert von 30° im Bogenmaß, nicht von sin.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Im DEG-Modus liefert der Rechner für sin 1 den Wert 0,84.

✓ Falsch
Im DEG-Modus ist 1 ein Grad: sin 1° ≈ 0,017. Der Wert 0,84 ≈ sin 1 gehört zum RAD-Modus (1 Radiant).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Winkel misst 108°. Wie groß ist sein Bogenmaß x (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 1.88
x = 108 · π/180 = 3π/5 ≈ 1,885, gerundet 1,88.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Winkel hat das Bogenmaß 2,5. Wie viel Grad sind das (auf ganze Grad gerundet)?

✓ Antwort: 143
α = 2,5 · 180°/π ≈ 143,2°, gerundet 143°.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

Ein Winkel von 30° hat das Bogenmaß π/___.

✓ Antwort: 6
30° ist ein Zwölftel des Vollwinkels: 2π : 12 = π/6.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Rechner steht im richtigen Modus für das Bogenmaß. Wie groß ist sin 2 (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 0.91
sin 2 ≈ 0,9093, gerundet 0,91. Für Zahlen ohne Gradzeichen muss RAD eingestellt sein.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Winkel von 35° schneidet aus dem Einheitskreis einen Bogen aus. Wie lang ist er (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 0.61
Am Einheitskreis ist die Bogenlänge gleich dem Bogenmaß: x = 35 · π/180 ≈ 0,611, gerundet 0,61.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kran schwenkt seinen Ausleger um 0,8 rad. Wie viele Grad sind das (auf ganze Grad gerundet)?

✓ Antwort: 46
α = 0,8 · 180°/π ≈ 45,8°, gerundet 46°.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der markierte Winkel hat das Bogenmaß 3π/4. Wie viel Grad sind das?

✓ Antwort: 135
3π/4 · 180°/π = 3 · 180°/4 = 135°. Man kann auch rechnen: π/4 ist 45°, dreimal so viel sind 135°.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Ein Schüler will sin 45° berechnen, aber der Rechner steht auf RAD und er tippt sin 45. Welchen Wert zeigt der Rechner (auf zwei Dezimalstellen)?

✓ Antwort: 0.85
Im RAD-Modus wird sin(45 rad) berechnet: sin 45 ≈ 0,8509, gerundet 0,85. Der gesuchte Wert sin 45° ≈ 0,71 erscheint nur im DEG-Modus.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Der Vollwinkel hat 360° und das Bogenmaß 2π. Leite daraus mit einem Dreisatz her, wie viel Grad 1 rad sind, und wandle damit 2,5 rad in Grad um. Rechne dann 72° ins Bogenmaß um und gib das Ergebnis als Vielfaches von π an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 2π entspricht 360°, also 1 rad = 360°/(2π) = 180°/π ≈ 57,30°. 2,5 rad = 2,5 · 180°/π ≈ 143,2°. 72° = 72 · π/180 = 2π/5 (≈ 1,26).
Aus 2π ↔ 360° folgt 1 rad = 180°/π ≈ 57,3° und umgekehrt 1° = π/180 rad. 72 · π/180 = 2π/5.