Winkel zwischen Vektoren

The angle between vectors

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

GeometrieVektorenSkalarproduktWinkel

Der Winkel φ zwischen zwei Vektoren folgt aus cos φ = a·b / (|a|·|b|); das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät, ob er spitz, recht oder stumpf ist, und der Taschenrechner liefert φ zwischen 0° und 180°. Im Dreieck liegt der Winkel bei B zwischen BA und BC, beide Vektoren beginnen am Eckpunkt. Räumt aus, im Nenner die Längen zu addieren, das Vorzeichen zu übersehen und mit AB statt BA den Nebenwinkel 180° − β zu messen (Barniol & Zavala 2014). Bereitet die Orthogonalität, Schnittwinkel und Winkel an Körpern vor.

Die Winkelformel

Zwei Vektoren, die im selben Punkt beginnen, spannen eine Ebene auf. In dieser Ebene schließen sie einen Winkel φ zwischen 0° und 180° ein, und dort sieht man ihn in wahrer Größe. Das Skalarprodukt misst, wie stark die beiden Vektoren in dieselbe Richtung zeigen:

$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ ⟺ cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$

Für $a = (1; 1; 0)$ und $b = (0; 1; 1)$ ist $a \cdot b = 1$ und $∣ a ∣ ∣ b ∣ = 2 \cdot 2 = 2$ , also $cos φ = \frac{1}{2}$ und $φ = 60°$ . Im Nenner steht das Produkt der Längen, nicht ihre Summe. Warum die Formel stimmt, zeigt der Kosinussatz im Dreieck aus a, b und b − a: $∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos φ$ . Nach den Rechengesetzen ist die linke Seite $∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ ; der Vergleich liefert die Formel.

Drehe b (|a| = 3, |b| = 2). Bei welchem Winkel wird a·b null, und wann wird es negativ?

Weil die Längen positiv sind, hat $cos φ$ das Vorzeichen von $a \cdot b$ : Bei positivem Skalarprodukt ist der Winkel spitz, bei 0 ein rechter, bei negativem stumpf. Den Winkel selbst liefert die Taste $cos^{- 1}$ ; ihr Ergebnis liegt immer zwischen 0° und 180°.

Winkel im Dreieck

Im Dreieck ABC liegt der Winkel β bei B zwischen den Vektoren $B A$ und $B C$ , denn beide beginnen in B. Für $A (5 ∣ 1 ∣ 0)$ , $B (1 ∣ 1 ∣ 0)$ und $C (4 ∣ 4 ∣ 0)$ ist $B A = (4; 0; 0)$ und $B C = (3; 3; 0)$ , also $cos β = \frac{12}{4 18} = \frac{1}{2}$ und $β = 45°$ .

Verschiebe C. Wie ändern sich β und der Nebenwinkel, wenn C nach links wandert?

Wer $A B$ statt $B A$ nimmt, misst den Nebenwinkel $180° - β = 135°$ : Die beiden Vektoren müssen am Eckpunkt zusammenstoßen. Und wann ist $β$ genau 90°? Dann ist $cos β = 0$ – davon handelt der nächste Abschnitt.

Voraussetzungen (1)

Das Skalarprodukt

Klasse 12

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Ermöglicht (1)

Orthogonale Vektoren

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

a = (1; 1; 0) und b = (0; 1; 1). Wie groß ist cos φ?

● 1/2
○ 1
○ 1/4

a·b = 1, |a|·|b| = √2·√2 = 2, also cos φ = 1/2. Die 1 ist nur der Zähler a·b, 1/4 entsteht, wenn man die Quadrate der Längen statt der Längen multipliziert.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Vektoren a = (1; 2; 2) und b = (0; 3; 0) schließen den Winkel φ ein. Wie groß ist cos φ?

● 2/3
○ 2
○ 6

a·b = 0 + 6 + 0 = 6, |a| = 3, |b| = 3, also cos φ = 6/9 = 2/3. 6 ist nur das Skalarprodukt, 2 entsteht, wenn man nur durch eine Länge teilt (6/3).

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für zwei Vektoren gilt a·b = −4. Welcher Winkel zwischen ihnen ist möglich?

● 120°
○ 60°
○ 90°

Ein negatives Skalarprodukt bedeutet cos φ < 0, also φ zwischen 90° und 180°: 120° passt. 60° hätte cos φ = 0,5 > 0, und bei 90° wäre a·b = 0.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Winkel zwischen a = (2; 1; 0) und b = (−1; −3; 4) ist spitz.

✓ Falsch

a·b = −2 − 3 + 0 = −5 < 0, also ist der Winkel stumpf.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Es ist cos φ = −0,5. Wie groß ist φ?

● 120°
○ 60°
○ 240°

cos⁻¹(−0,5) = 120°. 60° hat cos φ = +0,5 (Vorzeichen ignoriert); 240° liegt außerhalb von 0° bis 180°, so groß ist ein Winkel zwischen Vektoren nie.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Winkel zwischen a = (3; 4; 0) und b = (1; 0; 0)?

● 53,1°
○ 36,9°
○ 126,9°

cos φ = 3/(5·1) = 0,6, also φ = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,1°. 36,9° entsteht mit sin⁻¹ statt cos⁻¹, 126,9° ist der Nebenwinkel.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Im Dreieck ABC soll der Winkel β bei B berechnet werden. Welche beiden Vektoren nimmst du?

● BA und BC
○ AB und BC
○ AB und AC

Beide Vektoren müssen in B beginnen: BA und BC. Mit AB und BC misst man den Nebenwinkel 180° − β, mit AB und AC den Winkel bei A.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Im Dreieck mit P(2 | 0 | 0), Q(0 | 2 | 0) und R(0 | 0 | 2): Wie groß ist der Winkel bei Q?

● 60°
○ 120°
○ 45°

QP = (2; −2; 0), QR = (0; −2; 2): QP·QR = 4, |QP|·|QR| = √8·√8 = 8, cos = 1/2, also 60° (das Dreieck ist gleichseitig). 120° entsteht mit PQ statt QP.

Mittel

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Berechne cos φ für a = (2; 1; 2) und b = (1; 2; 2) (auf 2 Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.89

a·b = 2 + 2 + 4 = 8, |a| = |b| = 3, cos φ = 8/9 ≈ 0,889 ≈ 0,89.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Ist a·b < 0, dann ist der Winkel zwischen a und b (spitz oder stumpf): ___

✓ Antwort: stumpf

cos φ hat das Vorzeichen von a·b; cos φ < 0 gehört zu Winkeln zwischen 90° und 180°, also stumpf.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Berechne den Winkel φ zwischen a = (1; 2; 2) und b = (2; −1; 2) (auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 63.6

a·b = 2 − 2 + 4 = 4, |a|·|b| = 9, cos φ = 4/9 ≈ 0,444, φ ≈ 63,6°.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Im Dreieck A(0 | 0 | 0), B(2 | 2 | 1), C(2 | −1 | 2): Berechne cos β für den Winkel bei B (auf 2 Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.53

BA = (−2; −2; −1), BC = (0; −3; 1): BA·BC = 5, |BA| = 3, |BC| = √10, cos β = 5/(3·√10) ≈ 0,527 ≈ 0,53.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Zwei Vektoren haben die Längen 4 und 5 und schließen einen Winkel von 60° ein. Berechne ihr Skalarprodukt.

✓ Antwort: 10

a·b = |a|·|b|·cos 60° = 4·5·0,5 = 10.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Bei wie vielen der vier Paare ist der Winkel stumpf? (1; 0; 0) und (−1; 1; 0); (2; 2; 0) und (1; −1; 0); (1; 2; 3) und (3; 2; 1); (0; 1; 0) und (0; −2; 5).

✓ Antwort: 2

Skalarprodukte: −1, 0, 10, −2. Stumpf ist der Winkel bei den negativen: zwei Paare. Bei 0 ist er recht, bei 10 spitz.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Zwei Kräfte F₁ = (3; 4; 0) und F₂ = (4; 0; 3) greifen im selben Punkt an. Wie groß ist der Winkel zwischen ihnen (auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 61.3

F₁·F₂ = 12, |F₁|·|F₂| = 5·5 = 25, cos φ = 0,48, φ ≈ 61,3°.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Im Dreieck A(0 | 0 | 0), B(2 | 2 | 1), C(2 | −1 | 2): Wie groß ist der Winkel α bei A (auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 63.6

AB = (2; 2; 1), AC = (2; −1; 2): AB·AC = 4 − 2 + 2 = 4, |AB| = |AC| = 3, cos α = 4/9, α ≈ 63,6°.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme im Dreieck A(0 | 0 | 0), B(2 | 2 | 1), C(2 | −1 | 2) alle drei Innenwinkel mit dem Skalarprodukt und überprüfe deine Ergebnisse mit der Winkelsumme. Gib bei jedem Winkel an, welche zwei Vektoren du benutzt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: α: AB = (2; 2; 1), AC = (2; −1; 2), cos α = 4/9, α ≈ 63,6°. β: BA = (−2; −2; −1), BC = (0; −3; 1), cos β = 5/(3√10), β ≈ 58,2°. γ: CA = (−2; 1; −2), CB = (0; 3; −1), cos γ = 5/(3√10), γ ≈ 58,2°. Summe: 63,6° + 58,2° + 58,2° = 180°.

Für jeden Eckpunkt nimmt man die beiden Vektoren, die dort beginnen. Die drei Winkel ergeben zusammen 180°.