Der Kegel und sein Netz

The Cone and Its Net

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
GeometrieRaumgeometrieKegelKörpernetzSatz des Pythagoras

Ein gerader Kreiskegel hat einen Grundkreis mit dem Radius r, eine Spitze, die Körperhöhe h und Mantellinien der Länge s. Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck: s² = r² + h². Das Netz besteht aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt, dessen Radius die Mantellinie ist. Räumt aus, s = r + h zu setzen und den Ausschnitt mit dem Radius r oder h zu zeichnen. Bereitet die Herleitung des Kegelmantels und das Kegelvolumen vor.

Ein gerader Kreiskegel steht auf einem Grundkreis mit dem Radius r. Seine Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M; der Abstand ist die Körperhöhe h. Jede Strecke von der Spitze zu einem Punkt des Kreisrandes ist eine Mantellinie s; beim geraden Kegel sind alle gleich lang.

Schrägbild eines Kegels (Radius 3, Höhe 4); hervorgehoben: Radius, Höhe und Mantellinie r h s
Kegel mit Radius r (blau), Höhe h (rot) und Mantellinie s (violett).

Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse: . Beispiel r = 3 cm, h = 4 cm: s = 5 cm. Die Mantellinie ist länger als h und als r, aber kürzer als r + h. Der Gedanke ist derselbe wie bei der Seitenhöhe der Pyramide, nur steht die Hypotenuse jetzt über dem Radius und nicht über der halben Grundkante.

Verändere r und h. Wie lang ist s im Vergleich zu r + h?

Das Netz des Kegels besteht aus einem Kreis mit dem Radius r (der Boden) und einem Kreisausschnitt (der Mantel). Der Radius des Ausschnitts ist die Mantellinie s – nicht r und nicht h.

Ermöglicht (2)

Der Kegel als Grenzfall
Klasse 10
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Mantel und Oberfläche des Kegels
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Strecke ist eine Mantellinie dieses Kegels?

  • ● SP
  • ○ SM
  • ○ MP
Eine Mantellinie verbindet die Spitze S mit einem Punkt P des Grundkreisrandes: SP. SM ist die Körperhöhe (senkrecht zur Grundfläche), MP der Radius.
Im Bild tippen #2 15s ▶ Testen

Tippe auf die Körperhöhe des Kegels.

✓ Antwort: SM
Die Körperhöhe geht von der Spitze senkrecht zum Mittelpunkt des Grundkreises (SM). SP ist eine Mantellinie, MP ein Radius.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Im geraden Kreiskegel sind die Mantellinien SP und SQ gleich lang.

✓ Wahr
Beim geraden Kegel steht die Spitze senkrecht über der Mitte M des Grundkreises. Jeder Randpunkt hat von M denselben Abstand r, also sind alle Mantellinien gleich lang (SP = SQ).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie lang ist die Mantellinie s dieses Kegels?

  • ● 13 cm
  • ○ 17 cm
  • ○ √119 cm ≈ 10,9 cm
Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse: s² = r² + h² = 25 + 144 = 169, also s = 13 cm. 17 cm addiert die Längen, √119 zieht die Quadrate ab.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 8 cm. Seine Mantellinie ist 7 cm lang.

✓ Falsch
Die Mantellinie ist die Hypotenuse und damit länger als die Höhe 8 cm und länger als der Radius. Richtig: s = √(36 + 64) = 10 cm.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 8 cm und h = 6 cm. Für die Mantellinie gilt s = 8 + 6 = 14 cm.

✓ Falsch
Die Längen werden nicht addiert: s² = r² + h² = 64 + 36 = 100, also s = 10 cm. Der Weg über r und h ist ein Umweg: s ist kürzer als 14 cm.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welchen Radius hat der Kreisausschnitt im Netz dieses Kegels?

  • ● 10 cm
  • ○ 6 cm
  • ○ 8 cm
Der Kreisausschnitt entsteht aus dem Mantel; sein Radius ist die Mantellinie s = √(6² + 8²) = 10 cm. 6 cm ist der Radius des Grundkreises, 8 cm die Höhe.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Dieses Netz lässt sich zu einem Kegel zusammenrollen.

✓ Wahr
Ein Kreisausschnitt, dessen Bogen um den Grundkreis gerollt wird, und ein Kreis als Boden: Das ist das Netz eines Kegels.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Dieses Netz lässt sich zu einem Kegel zusammenrollen.

✓ Falsch
Ein Rechteck mit zwei Kreisen ergibt einen Zylinder. Beim Kegel gäbe es nur einen Kreis und einen Kreisausschnitt statt des Rechtecks.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Grundkreis eines Kegels hat den Durchmesser 14 cm. Wie lang ist der Radius r (in cm)?

✓ Antwort: 7
Der Radius ist der halbe Durchmesser: r = 14 : 2 = 7 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat den Radius 9 cm und die Höhe 12 cm. Berechne die Mantellinie s (in cm).

✓ Antwort: 15
s² = r² + h² = 81 + 144 = 225, also s = 15 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 15 cm und h = 20 cm. Welchen Radius hat der Kreisausschnitt in seinem Netz (in cm)?

✓ Antwort: 25
Der Radius des Kreisausschnitts ist die Mantellinie: s = √(15² + 20²) = √625 = 25 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kegel steht auf dem Tisch. Seine Spitze ist 11 cm über der Tischplatte, eine Mantellinie ist 20 cm lang. Wie groß ist die Körperhöhe (in cm)?

✓ Antwort: 11
Die Körperhöhe ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche: 11 cm. Die 20 cm der Mantellinie verlaufen schräg.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein kegelförmiges Zirkuszelt hat den Radius 8 m und ist 15 m hoch. Wie lang ist ein Zeltseil von der Spitze zum Boden entlang der Zeltwand (in m)?

✓ Antwort: 17
Das Seil liegt auf einer Mantellinie: s = √(8² + 15²) = √289 = 17 m.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Ein Kegel hat die Mantellinie s = 26 cm und den Radius r = 10 cm. Wie hoch ist der Kegel (in cm)?

✓ Antwort: 24
Umgestellt: h² = s² − r² = 676 − 100 = 576, also h = 24 cm.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Aus Papier soll ein Kegelhut mit dem Grundkreisradius 12 cm und der Höhe 35 cm gebastelt werden. Welchen Radius muss der Kreisausschnitt haben (in cm)?

✓ Antwort: 37
Der Ausschnitt hat den Radius s = √(12² + 35²) = √1369 = 37 cm.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius r = 4 cm und die Höhe h = 3 cm. Skizziere den Achsenschnitt und das Netz mit allen Maßen und berechne die Mantellinie. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Achsenschnitt: gleichschenkliges Dreieck mit Grundlinie 8 cm und Höhe 3 cm. Mantellinie s = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm. Netz: Kreis mit Radius 4 cm und ein Kreisausschnitt mit Radius s = 5 cm, dessen Bogen so lang ist wie der Grundkreis.
s = 5 cm; Netz: Kreis r = 4 cm und Kreisausschnitt mit Radius 5 cm.