Das Haus der Vierecke

The house of quadrilaterals

Mathematik Klasse 7 17 Aufgaben
GeometrieViereckeSymmetrie

Die Symmetrie ordnet die Vierecke: Das Quadrat hat vier Achsen und ein Zentrum, Rechteck und Raute je zwei Achsen und ein Zentrum, der Drachen und das gleichschenklige Trapez eine Achse, das Parallelogramm nur ein Zentrum. Im Haus der Vierecke ist ein Viereck mit mehr Eigenschaften ein Spezialfall der Vierecke mit weniger – das Quadrat ist Raute und Rechteck. Räumt die Fehlbilder aus, die Diagonalen des Rechtecks seien Achsen, das Parallelogramm sei achsensymmetrisch und das Quadrat sei kein Rechteck (de Villiers 1994). Zeigt Symmetrie als Gestaltungsprinzip in Natur, Kunst und Design. Bereitet Beweise an Vierecken und die Flächenberechnung vor.

Symmetrien der Vierecke

Das Quadrat hat vier Achsen: die beiden Diagonalen und die beiden Mittellinien durch die Seitenmitten. Beim Rechteck bleiben nur die beiden Mittellinien, die Diagonalen sind keine Achsen. Bei der Raute mit vier gleich langen Seiten ist es umgekehrt: Ihre Achsen sind die beiden Diagonalen. Der Drachen (keine Raute) hat eine Achse, die Diagonale zwischen den gleich langen Seitenpaaren. Das gleichschenklige Trapez (kein Rechteck) hat eine Achse durch die Mitten der beiden parallelen Seiten. Das Parallelogramm (weder Rechteck noch Raute) hat keine Achse.

Ein Zentrum haben Parallelogramm, Rechteck, Raute und Quadrat: Es ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Drachen und gleichschenkliges Trapez sind im allgemeinen Fall nicht punktsymmetrisch.

Verändere den Winkel der Raute. Bei welchem Winkel kommen zwei weitere Achsen dazu? n ist die Zahl der Achsen.

Das Haus der Vierecke

Ordnet man die Vierecke nach ihren Eigenschaften, entsteht das Haus der Vierecke. Ein Viereck mit mehr Eigenschaften ist ein Spezialfall der Vierecke mit weniger: Das Quadrat hat alle Symmetrien von Raute und Rechteck und ist deshalb beides. Die Raute ist zugleich Parallelogramm und Drachen, das Rechteck ein Parallelogramm und ein gleichschenkliges Trapez.

„Ein Quadrat ist kein Rechteck“ ist ein häufiger Irrtum: Er verwechselt das Ordnen nach Eigenschaften mit dem Sortieren in getrennte Schubladen. Symmetrie ist auch ein Gestaltungsprinzip: Schmetterlingsflügel, Blüten, Kirchenfenster, Ornamente und Logos nutzen Achsen und Zentren.

Haus der Vierecke: Viereck, darunter Drachen, gleichschenkliges Trapez und Parallelogramm, darunter Raute und Rechteck, darunter das Quadrat; Pfeile fĂĽhren vom allgemeineren zum spezielleren Viereck Viereck Drachen 1 Achse gleichschenkliges Trapez 1 Achse Parallelogramm Zentrum Raute 2 Achsen, Zentrum Rechteck 2 Achsen, Zentrum Quadrat 4 Achsen, Zentrum
Ein Pfeil fĂĽhrt vom allgemeineren zum spezielleren Viereck. Unter jedem Namen stehen die Symmetrien des allgemeinen Falls.

Voraussetzungen (3)

Symmetrieachse und Mittelsenkrechte
Klasse 7
›
Punktsymmetrie
Klasse 7
›
Die besonderen Vierecke
Klasse 5
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s â–¶ Testen

Wie viele Symmetrieachsen hat die abgebildete Raute (kein Quadrat)?

  • â—Ź 2
  • â—‹ 4
  • â—‹ 1
Bei einer Raute sind die beiden Diagonalen die Achsen: 2. Vier Achsen hat nur das Quadrat, eine Achse der Drachen.
Wahr / Falsch #2 15s â–¶ Testen

Das abgebildete Rechteck (kein Quadrat) hat vier Symmetrieachsen.

âś“ Falsch
Es hat nur zwei Achsen, die beiden Mittellinien durch die Seitenmitten. Die Diagonalen sind keine Achsen; vier Achsen hat nur das Quadrat.
Multiple Choice #3 20s â–¶ Testen

Welche Gerade ist eine Symmetrieachse des Rechtecks ABCD?

  • â—Ź Gerade MN
  • â—‹ Gerade AC
  • â—‹ Gerade BD
Die Achsen des Rechtecks laufen durch die Mitten gegenĂĽberliegender Seiten: MN. Bei einer Spiegelung an einer Diagonale wĂĽrde ein Eckpunkt nicht auf einen Eckpunkt fallen, weil die Seiten verschieden lang sind.
Im Bild tippen #4 15s â–¶ Testen

Tippe auf eine Symmetrieachse der Raute (die kein Quadrat ist).

âś“ Antwort: AC
Die Achsen einer Raute sind ihre Diagonalen. MN und PQ verbinden Seitenmitten – bei der Raute sind das keine Achsen, nur beim Quadrat.
Multiple Choice #5 25s â–¶ Testen

Welches dieser Vierecke ist punktsymmetrisch?

  • â—Ź Raute (kein Quadrat)
  • â—‹ Drachen (keine Raute)
  • â—‹ gleichschenkliges Trapez (kein Rechteck)
Die Raute ist ein Parallelogramm und hat als Zentrum den Schnittpunkt der Diagonalen. Drachen und gleichschenkliges Trapez haben eine Achse, aber kein Zentrum.
Wahr / Falsch #6 15s â–¶ Testen

Der abgebildete Drachen (keine Raute) ist punktsymmetrisch.

âś“ Falsch
Nach einer halben Drehung um die Mitte der Achse steht die Spitze unten, die stumpfe Ecke oben – der Drachen fällt nicht auf sich. Er hat kein Symmetriezentrum.
Multiple Choice #7 25s â–¶ Testen

Ein Viereck hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Was ist es?

  • â—Ź Ein Quadrat – und damit auch eine Raute und ein Rechteck
  • â—‹ Ein Quadrat, aber weder Raute noch Rechteck
  • â—‹ Eine Raute, aber kein Rechteck
Vier gleich lange Seiten machen es zur Raute, vier rechte Winkel zum Rechteck; beides zusammen ist das Quadrat. Das Quadrat ist ein Spezialfall von beiden.
Wahr / Falsch #8 15s â–¶ Testen

Jedes Rechteck ist auch eine Raute.

âś“ Falsch
Ein Rechteck hat vier rechte Winkel, aber seine Seiten sind nur paarweise gleich lang. Nur das Quadrat ist zugleich Rechteck und Raute.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s â–¶ Testen

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat?

âś“ Antwort: 4
Zwei Diagonalen und zwei Mittellinien durch die Seitenmitten: 4.
Zahleneingabe #2 25s â–¶ Testen

Wie viele der Symmetrieachsen eines Rechtecks (kein Quadrat) sind Diagonalen?

âś“ Antwort: 0
Die beiden Achsen des Rechtecks sind seine Mittellinien; die Diagonalen sind keine Achsen. Also 0.
Zahleneingabe #3 25s â–¶ Testen

Wie viele der Vierecke Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachen und gleichschenkliges Trapez (jeweils ohne Sonderfall) haben ein Symmetriezentrum?

âś“ Antwort: 4
Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm sind punktsymmetrisch; Drachen und gleichschenkliges Trapez nicht. Zusammen: 4.
LĂĽckentext #4 20s â–¶ Testen

Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten heiĂźt ___.

âś“ Antwort: Quadrat
Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten hat zusätzlich die Eigenschaft der Raute: Es ist ein Quadrat.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s â–¶ Testen

Wie viele Symmetrieachsen haben ein Quadrat, ein Rechteck (kein Quadrat) und eine Raute (kein Quadrat) zusammen?

âś“ Antwort: 8
Quadrat 4, Rechteck 2, Raute 2: 4 + 2 + 2 = 8.
Zahleneingabe #2 25s â–¶ Testen

Der Drachen ABCD hat die Symmetrieachse AC, es ist AB = AD = 5 cm und CB = 4,2 cm. Wie lang ist CD (in cm)?

âś“ Antwort: 4.2
Die Spiegelung an AC bildet B auf D ab und C auf sich; also ist CD = CB = 4,2 cm.
Zahleneingabe #3 35s â–¶ Testen

Wie viele der sechs Vierecke Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachen und gleichschenkliges Trapez haben sowohl ein Symmetriezentrum als auch mindestens eine Symmetrieachse?

âś“ Antwort: 3
Zentrum haben Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm; davon hat das Parallelogramm keine Achse. Bleiben Quadrat, Rechteck und Raute: 3.
Zahleneingabe #4 30s â–¶ Testen

Wie viele der Vierecke Quadrat, Rechteck, Raute, Drachen und Parallelogramm sind Spezialfälle eines Parallelogramms?

âś“ Antwort: 3
Quadrat, Rechteck und Raute haben zwei Paare paralleler Seiten und sind Parallelogramme mit mehr Eigenschaften. Der Drachen ist keines. Zusammen: 3.
KI-bewertete Rechnung #5 240s â–¶ Testen

Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm und alle seine Symmetrieachsen sowie sein Symmetriezentrum. Zeichne dann ein Rechteck (4 cm mal 3 cm) und eine Raute (Seitenlänge 4 cm, ein Winkel 60°) mit ihren Achsen. Vergleiche die Zahl und die Lage der Achsen und begründe damit, dass das Quadrat ein Spezialfall von Rechteck und Raute ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Quadrat: 4 Achsen (2 Diagonalen, 2 Mittellinien durch die Seitenmitten), Zentrum im Schnittpunkt der Diagonalen. Rechteck 4 × 3: 2 Achsen (die Mittellinien). Raute mit 60°: 2 Achsen (die Diagonalen). Das Quadrat hat alle Achsen des Rechtecks (Mittellinien) und alle der Raute (Diagonalen) und außerdem das Zentrum; es erfüllt also die Eigenschaften beider und ist ein Spezialfall von Rechteck und Raute.
Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten und eine Raute mit rechten Winkeln – die Symmetrien von beiden zusammen ergeben die vier Achsen.