Indirekte Proportionalität

Inverse proportionality

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben

FunktionenProportionalitätIndirekte Proportionalität

Zwei Größen sind indirekt (umgekehrt) proportional, wenn ihr Produkt x · y immer gleich a ist; daraus folgt der Term y = a / x. Die Station erkennt das Muster an Wertetabelle, Rechteckfläche und Sachsituation (Maler, Pumpen, Vorrat) und bestimmt a aus einem Wertepaar durch Malnehmen. Sie räumt „je mehr, desto weniger“ und das Abziehen statt Teilen als Kriterium aus (Linearitätsillusion, De Bock et al. 2002). Bereitet den Graphen y = a / x und die Modellierung in Natur und Technik vor.

Je mehr, desto weniger

Vier Maler streichen ein Haus in drei Tagen. Wie lange brauchen sechs? Die Tabelle zeigt es: Mit doppelt so vielen Malern (2 → 4) dauert die Arbeit nur halb so viele Tage (6 → 3).

Was sich nie ändert, ist das Produkt: $1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12$ , zwölf Maler-Tage Arbeit. Zwei Größen mit immer gleichem Produkt heißen indirekt proportional. „Je mehr, desto weniger“ genügt dafür nicht: Wer für jeden weiteren Maler einen Tag abzieht, bekommt auch weniger Tage, aber jedes Mal ein anderes Produkt.

Ein naheliegender Denkfehler ist „ein Maler mehr, ein Tag weniger“. Mit 5 statt 4 Malern ergäbe das 2 Tage und das Produkt 10 statt 12. Richtig ist $12 : 5 = 2, 4$ Tage.

Doppelt so viele Maler, halb so viele Tage – das Produkt bleibt 12.

Das Produkt als Rechteck

Zeichnet man Maler und Tage als Rechteck, ist seine Fläche das Produkt: immer 12 Kästchen, mal breit und flach, mal schmal und hoch. Diese feste Zahl heißt a. Aus $x \cdot y = a$ folgt der Term $y = \frac{a}{x}$

Aus einem Wertepaar findet man a, indem man die Werte multipliziert: 4 Maler und 3 Tage ergeben $a = 4 \cdot 3 = 12$ . Für 6 Maler gilt dann $y = 12 : 6 = 2$ Tage. Der Term gilt auch für Werte, die in der Tabelle fehlen, zum Beispiel für 5 Maler.

Verschiebe x. Wie ändern sich Breite und Höhe, und was bleibt an der Fläche gleich?

Ermöglicht (1)

Die Hyperbel

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Wertetabelle gehört zu zwei indirekt proportionalen Größen?

● x = 2, 4, 5 → y = 10, 5, 4
○ x = 2, 4, 5 → y = 10, 8, 7
○ x = 2, 4, 5 → y = 10, 20, 25

Nur in der ersten Tabelle ist das Produkt gleich: 2 · 10 = 4 · 5 = 5 · 4 = 20. Bei 10, 8, 7 nimmt y jeweils um 2 und 1 ab (y = 12 − x, die Produkte sind 20, 32, 35). Bei 10, 20, 25 wächst y mit x, es ist y = 5x (direkt proportional).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Größen x und y in der Tabelle sind indirekt proportional.

✓ Falsch

Die ersten beiden Paare passen: 3 · 8 = 6 · 4 = 24. Beim dritten Paar ist 9 · 2 = 18. Das Produkt ändert sich, also gilt die Regel nicht überall.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Eine Kerze brennt ab. Nach x = 1, 2, 3 Stunden ist sie noch y = 9, 8, 7 cm lang. Die Größen x und y sind indirekt proportional.

✓ Falsch

Die Länge nimmt zwar ab, aber die Produkte 1 · 9 = 9, 2 · 8 = 16 und 3 · 7 = 21 sind verschieden. Es nimmt gleichmäßig um 1 cm ab (y = 10 − x), das ist keine indirekte Proportionalität.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Größen x und y in der Tabelle sind indirekt proportional.

✓ Wahr

Das Produkt ist immer gleich: 5 · 40 = 10 · 20 = 20 · 10 = 200. Wird x verdoppelt, halbiert sich y.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Bei indirekt proportionalen Größen gehört zu x = 2 der Wert y = 18. Welcher Wert gehört zu x = 6?

● 6
○ 54
○ 14

x wird mit 3 multipliziert, also wird y durch 3 geteilt: 18 : 3 = 6 (Probe: 2 · 18 = 6 · 6 = 36). 54 wäre y mal 3 (direkt proportional), 14 subtrahiert 4 wie x wächst (Differenz statt Produkt).

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Die Größen sind indirekt proportional. Welcher Wert steht an der Stelle des Fragezeichens?

● 5
○ 80
○ 16

x wird mit 4 multipliziert, also wird y durch 4 geteilt: 20 : 4 = 5 (Probe: 2 · 20 = 8 · 5 = 40). 80 multipliziert y ebenfalls mit 4, 16 zieht 4 ab.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Indirekt proportional: Zu x = 4 gehört y = 9. Zu x = 2 gehört dann y = 4,5.

✓ Falsch

Wird x halbiert (4 → 2), verdoppelt sich y: 9 · 2 = 18. Probe: 4 · 9 = 2 · 18 = 36. Mit 4,5 wäre das Produkt 9, also ein anderes.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Zu den Wertepaaren (2 | 9), (3 | 6) und (6 | 3) gehört welcher Term?

● y = 18 / x
○ y = x / 18
○ y = 11 − x

Alle Produkte sind 18: 2 · 9 = 3 · 6 = 6 · 3. Aus x · y = 18 folgt y = 18 / x. Bei x / 18 steht das Verhältnis auf dem Kopf. y = 11 − x passt nur zum ersten Paar (2 + 9 = 11), schon (3 | 6) widerspricht.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Alle Rechtecke mit derselben Fläche wie das abgebildete haben die Breite x und die Höhe y. Welcher Term gilt?

● y = 24 / x
○ y = 24 − x
○ y = x / 24

Die Fläche ist 3 · 8 = 24, und sie soll gleich bleiben: x · y = 24, also y = 24 / x. Bei 24 − x würde die Summe gleich bleiben, nicht das Produkt. x / 24 verdreht den Bruch.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Der Term y = 24 / x gehört zu den Werten x = 8 und y = 3.

✓ Wahr

Einsetzen: 24 : 8 = 3. Das Produkt 8 · 3 ist 24.

Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Das Wertepaar (5 | 7) gehört zum Term y = 12 / x.

✓ Falsch

Einsetzen: 12 : 5 = 2,4, nicht 7. Das Produkt 5 · 7 = 35 ist nicht 12.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Größen x und y sind indirekt proportional. Die Paare (4 | 15) und (x | 10) gehören dazu. Berechne x.

✓ Antwort: 6

Das Produkt bleibt gleich: 4 · 15 = 60. Also gilt x · 10 = 60 und x = 60 : 10 = 6.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Größen sind indirekt proportional. Berechne den fehlenden Wert von y.

✓ Antwort: 12

Wird x durch 4 geteilt, wird y mit 4 multipliziert: 3 · 4 = 12. Probe: 8 · 3 = 2 · 12 = 24.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Zu dem Wertepaar (5 | 8) einer indirekten Proportionalität gehört der Term y = ___ / x.

✓ Antwort: 40

a = x · y = 5 · 8 = 40, also y = 40 / x. Nicht a = 8 : 5, das wäre die direkte Proportionalität.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Futtervorrat reicht für 12 Kaninchen 15 Tage. Wie viele Tage reicht er für 20 Kaninchen?

✓ Antwort: 9

Kaninchen mal Tage bleibt gleich: 12 · 15 = 180 Kaninchen-Tage. Für 20 Kaninchen: 180 : 20 = 9 Tage. Wer 15 − 8 = 7 Tage rechnet, zieht ab statt zu teilen.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Vier gleich starke Pumpen leeren ein Becken in 9 Stunden. Wie viele Stunden brauchen 12 solche Pumpen?

✓ Antwort: 3

Dreimal so viele Pumpen (4 → 12) brauchen ein Drittel der Zeit: 9 : 3 = 3 Stunden. Probe: 4 · 9 = 12 · 3 = 36 Pumpen-Stunden.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine indirekte Proportionalität y = a / x enthält das Wertepaar (4 | 6). Berechne y für x = 8.

✓ Antwort: 3

a = 4 · 6 = 24, also y = 24 / x. Für x = 8: y = 24 : 8 = 3.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

In einer Tabelle stehen die Paare x = 2, 3, 4, 6 und y = 18, 12, 9, 6. Zeige durch Rechnung, dass die Größen indirekt proportional sind, gib den Term y = a / x an und berechne y für x = 9. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Produkte: 2 · 18 = 36, 3 · 12 = 36, 4 · 9 = 36, 6 · 6 = 36, also indirekt proportional mit a = 36. Term y = 36 / x. Für x = 9: y = 36 : 9 = 4.

Prüfen heißt: alle Paare haben dasselbe Produkt. a = 36, y = 36 / x, und 36 : 9 = 4.