Mit Würfeln messen
Measuring with cubes
Das Volumen eines Körpers misst man, indem man ihn lückenlos mit Einheitswürfeln füllt und zählt: 24 Würfel zu je 1 cm³ sind 24 cm³, auch die Würfel, die man im Bild nicht sieht. Umbauen ändert das Volumen nicht, wohl aber die Oberfläche, und die Maßzahl hängt von der Einheit ab. Räumt aus, nur die sichtbaren Würfel oder Flächen zu zählen und das Volumen mit der Oberfläche zu verwechseln (Battista und Clements 1996). Bereitet die Schichtenformel für den Quader und das Umrechnen der Volumeneinheiten vor.
Wie groß ist ein Körper? Um das zu messen, legen wir ein Maß fest: den
Ein Quader aus 24 Einheitswürfeln hat also das Volumen 24 cm³. Lege mit dem Regler Würfel für Würfel aus: Zuerst füllt eine Schicht den Boden, dann kommt die nächste darauf. Gezählt wird alles, auch was man von außen nicht sieht.
Das gilt auch für Bilder von Würfelbauten: Wer nur die sichtbaren Würfel zählt, verschätzt sich. Vom Quader im Bild aus 24 Würfeln sieht man von außen nur 18, sechs Würfel bleiben verdeckt. Zähle deshalb Schicht für Schicht, von unten nach oben.
Baut man die Würfel um, bleibt das Volumen gleich, denn keiner kommt dazu und keiner fällt weg. Eine Platte, ein Turm und eine Treppe aus je 12 Würfeln haben alle 12 cm³. Ihre Oberflächen dagegen sind verschieden groß: Volumen und Oberfläche sind zwei verschiedene Größen.
Die Maßzahl hängt von der Einheit ab. Ein Würfel mit der Kante 1 dm ist ein Kubikdezimeter (1 dm³) und viel größer als einer mit der Kante 1 cm. Füllen 6 solcher Würfel eine Kiste, hat sie das Volumen 6 dm³, nicht 6 cm³: Zu jeder Zahl gehört ihre Einheit.
Ermöglicht (1)
Ein Körper wird lückenlos mit 18 Würfeln zu je 1 cm³ gefüllt. Welches Volumen hat er?
Ein Körper wird mit 9 Würfeln zu je 1 cm³ gefüllt, zwischen denen kleine Lücken bleiben. Sein Volumen ist genau 9 cm³.
Die drei Körper bestehen aus Einheitswürfeln. Welche zwei Körper haben dasselbe Volumen?
Aus einer Platte aus 20 Würfeln (je 1 cm³) wird ein hoher Turm gebaut, ohne dass ein Würfel wegfällt oder dazukommt. Der Turm hat dasselbe Volumen wie die Platte.
Der Quader besteht aus Einheitswürfeln (je 1 cm³) ohne Hohlräume. Wie viele Würfel hat er?
Der Würfel besteht aus Einheitswürfeln (je 1 cm³) ohne Hohlräume. Im Bild sieht man 7 Würfel. Sein Volumen ist deshalb 7 cm³.
Ein Körper ist mit 12 Würfeln zu je 1 cm³ gefüllt. Man füllt ihn stattdessen mit Würfeln zu je 2 cm³. Wie viele braucht man?
Ein Körper hat das Volumen 12 cm³. Füllt man ihn mit Würfeln zu je 2 cm³ statt mit Würfeln zu je 1 cm³, ist die Maßzahl kleiner als 12.
Ein Körper hat das Volumen 35 cm³. Aus wie vielen Würfeln zu je 1 cm³ besteht er?
Aus einem Quader aus 12 Würfeln (je 1 cm³) wird durch Umbauen die Treppe im Bild. Kein Würfel kommt dazu oder fällt weg. Wie groß ist das Volumen der Treppe in cm³?
Ein Würfelbau hat 3 Schichten übereinander, jede Schicht besteht aus 6 Würfeln (je 1 cm³). Wie groß ist sein Volumen in cm³?
Eine Kiste wird mit 5 Würfeln zu je 8 cm³ gefüllt. Wie viele Würfel zu je 1 cm³ füllen dieselbe Kiste?
Eine Schicht besteht aus 3 Reihen zu je 5 Würfeln (je 1 cm³). Wie groß ist ihr Volumen in cm³?
Ein Turm aus 10 Würfeln (je 1 cm³) wird zu einer Reihe umgebaut. Dabei werden 2 Würfel entfernt. Wie groß ist das Volumen der Reihe in cm³?
Der Würfelbau besteht aus Einheitswürfeln (je 1 cm³) ohne Hohlräume. Wie groß ist sein Volumen in cm³?
Der Würfel besteht aus Einheitswürfeln (je 1 cm³), die Gitterlinien zeigen sie. Wie groß ist sein Volumen in cm³?
Der Quader ist lückenlos mit Würfeln zu je 1 cm³ gefüllt. Wie viele Würfel zu je 8 cm³ (Kante 2 cm) füllen ihn?
Ein Quader ist 4 Würfel lang, 3 Würfel breit und 2 Würfel hoch (Würfel zu je 1 cm³). Skizziere die unterste Schicht und bestimme, wie viele Würfel der Quader hat. Alle Würfel werden nun zu einem einzigen Turm aufeinandergestapelt. Wie hoch ist der Turm, und wie groß ist sein Volumen? Begründe, warum sich das Volumen nicht ändert. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.