Die Formel anwenden

Using the formula

Mathematik Klasse 6 17 Aufgaben
GeometrieVolumenQuader

Die Quaderformel lässt sich in beide Richtungen nutzen: Aus V und zwei Kanten folgt die dritte durch Teilen, h = V : (l · b). Vor dem Multiplizieren müssen alle Kanten in derselben Einheit stehen; 60 · 30 · 0,4 mischt cm und m. Verdoppelt man eine Kante, verdoppelt sich das Volumen, verdoppelt man alle drei, wird es achtmal so groß. Räumt aus, eine fehlende Kante durch Abziehen zu suchen, Einheiten zu mischen und linear zu schließen (De Bock u. a. 2002). Bereitet das Umrechnen der Volumeneinheiten und das Schätzen vor.

Fehlende Kante

Manchmal ist das Volumen bekannt und eine Kante gesucht. Ein Quader mit V = 60 cm³ ist 5 cm lang und 3 cm breit. Seine Grundschicht hat 5 · 3 = 15 Würfel, und in 60 Würfel passen 60 : 15 = 4 Schichten: Der Quader ist h = 4 cm hoch. Man rechnet rückwärts durch Teilen, h = V : (l · b), und prüft mit der Probe 5 · 3 · 4 = 60. Abziehen führt nicht zum Ziel, denn V ist ein Produkt.

Stelle die Höhe so ein, dass das Volumen 60 cm³ beträgt.

Gleiche Einheit

Vor dem Multiplizieren müssen alle drei Kanten in derselben Einheit stehen. Das Aquarium aus dem Laden ist 60 cm lang, 30 cm breit und 0,4 m hoch. Rechnet man 0,4 m zuerst in 40 cm um, ist das Volumen V = 60 · 30 · 40 cm³ = 72 000 cm³. Die Rechnung 60 · 30 · 0,4 dagegen mischt cm und m und liefert nur 720, eine Zahl ohne brauchbare Einheit, um den Faktor 100 zu klein. Schreibe deshalb die Einheit an jede Kante: So fällt der Wechsel zwischen cm und m sofort auf.

Aquarium mit den Kanten 60 cm, 30 cm und 0,4 m 60 cm 30 cm 0,4 m
Ein Maß in m, zwei in cm: Erst umrechnen, dann multiplizieren.

Kanten verdoppeln

Wird nur eine Kante verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen: Es sind doppelt so viele gleiche Schichten. Werden alle drei Kanten verdoppelt, wird das Volumen 2 · 2 · 2 = 8-mal so groß: Die Grundschicht wird 2 · 2 = 4-mal so groß, und es liegen doppelt so viele Schichten übereinander. Ein Würfel mit der Kante 1 cm hat 1 cm³, einer mit der Kante 2 cm schon 8 cm³ und einer mit 3 cm sogar 27 cm³. Sind alle Kanten k-mal so lang, ist das Volumen k³-mal so groß.

Verdopple und verdreifache die Kante. Wie viele Einheitswürfel füllen den Würfel jeweils?

Voraussetzungen (1)

Schichten mal Höhe
Klasse 6
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Quader hat das Volumen 60 cm³. Welche Rechnung gibt die Höhe h?

  • ● 60 : (5 · 3)
  • ○ 60 − (5 + 3)
  • ○ 60 · 5 · 3
Aus V = l · b · h folgt h = V : (l · b) = 60 : 15 = 4 cm. Abziehen (60 − 8 = 52) ist der typische Fehler, und Malnehmen macht die Zahl noch größer.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Quader ist 4 cm lang und 3 cm breit und hat das Volumen 48 cm³. Er ist 4 cm hoch.

✓ Wahr
Die Grundschicht hat 4 · 3 = 12 Würfel. Es passen 48 : 12 = 4 Schichten, also h = 4 cm. Probe: 4 · 3 · 4 = 48.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Der Quader ist 30 cm lang, 20 cm breit und 1 m hoch. Welche Rechnung gibt sein Volumen in cm³?

  • ● 30 · 20 · 100
  • ○ 30 · 20 · 1
  • ○ 30 · 20 · 10
1 m sind 100 cm, also ist V = 30 · 20 · 100 cm³ = 60 000 cm³. Mit 30 · 20 · 1 werden cm und m gemischt, und 10 ist der falsche Umrechnungsfaktor.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Ein Quader ist 2 m lang, 50 cm breit und 40 cm hoch. Sein Volumen in cm³ ist 2 · 50 · 40 = 4000.

✓ Falsch
2 m sind 200 cm. Das Volumen ist 200 · 50 · 40 cm³ = 400 000 cm³. Die 4000 mischt m und cm.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Würfel hat die Kante 1 cm. Man verdoppelt die Kante. Wie viele Einheitswürfel (1 cm³) füllen den neuen Würfel?

  • ● 8
  • ○ 2
  • ○ 4
Der neue Würfel hat die Kante 2 cm: V = 2 · 2 · 2 = 8 cm³, also 8 Einheitswürfel. Die 2 wäre linear gerechnet, die 4 ist nur eine Schicht.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Verdoppelt man nur die Höhe eines Quaders, verdoppelt sich sein Volumen.

✓ Wahr
Es liegen doppelt so viele gleiche Schichten übereinander: V = l · b · (2h) = 2 · (l · b · h).
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Verdoppelt man alle drei Kanten eines Quaders, verdoppelt sich sein Volumen.

✓ Falsch
Jede der drei Kanten bringt den Faktor 2: 2 · 2 · 2 = 8. Das Volumen wird 8-mal so groß.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Der Quader hat das Volumen 150 cm³. Wie hoch ist er (h in cm)?

✓ Antwort: 5
h = 150 : (6 · 5) = 150 : 30 = 5 cm.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Quader ist 2 m lang, 30 cm breit und 10 cm hoch. Berechne sein Volumen in cm³.

✓ Antwort: 60000
2 m = 200 cm. V = 200 · 30 · 10 = 60 000, also 60 000 cm³.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Man verdoppelt die Kante des Würfels. Wie groß ist das Volumen des neuen Würfels in cm³?

✓ Antwort: 216
Die neue Kante ist 6 cm. V = 6 · 6 · 6 = 216, also 216 cm³. (Der alte Würfel hatte 27 cm³, und 27 · 8 = 216.)
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Das Aquarium fasst 60 000 cm³. Wie hoch ist es (h in cm)?

✓ Antwort: 40
Die Grundfläche hat 50 · 30 = 1500 cm². Dann ist h = 60 000 : 1500 = 40 cm.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Der Quader hat das Volumen 72 cm³. Wie hoch ist er (h in cm)?

✓ Antwort: 4
h = 72 : (6 · 3) = 72 : 18 = 4 cm. Probe: 6 · 3 · 4 = 72.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Das Aquarium ist 60 cm lang, 30 cm breit und 0,4 m hoch. Berechne sein Volumen in cm³.

✓ Antwort: 72000
0,4 m = 40 cm. V = 60 · 30 · 40 = 72 000, also 72 000 cm³.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Ein Zimmer ist 4 m lang, 3 m breit und 250 cm hoch. Wie viel m³ Luft enthält es?

✓ Antwort: 30
250 cm = 2,5 m. V = 4 · 3 · 2,5 = 12 · 2,5 = 30, also 30 m³.
Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Ein Quader hat das Volumen 20 cm³. Alle drei Kanten werden verdreifacht. Wie groß ist das Volumen des neuen Quaders in cm³?

✓ Antwort: 540
Jede Kante mal 3: 3 · 3 · 3 = 27. Das Volumen wird 27-mal so groß: 20 · 27 = 540, also 540 cm³.
Zahleneingabe #6 35s ▶ Testen

Ein kleines Aquarium fasst 15 000 cm³. Ein zweites ist in Länge, Breite und Höhe doppelt so groß. Wie viel cm³ fasst das zweite?

✓ Antwort: 120000
Alle drei Kanten sind doppelt so lang, also wird das Volumen 8-mal so groß: 15 000 · 8 = 120 000, also 120 000 cm³.
KI-bewertete Rechnung #7 240s ▶ Testen

Ein Aquarium fasst 72 000 cm³ und ist 60 cm lang und 30 cm breit. Skizziere es, berechne die Höhe und mache die Probe mit der Volumenformel. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze des Quaders mit l = 60 cm, b = 30 cm und h gesucht. Grundfläche 60 · 30 = 1800 cm². h = V : (l · b) = 72 000 : 1800 = 40 cm. Probe: 60 · 30 · 40 = 72 000 cm³, das stimmt.
h = V : (l · b) = 72 000 : (60 · 30) = 72 000 : 1800 = 40 cm. Probe: 60 · 30 · 40 = 72 000.