Zerfall und Halbwertszeit

Decay and half-life

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben

ExponentiellHalbwertszeitModellieren

Nimmt ein Bestand pro Schritt um p % ab, rechnet man mit dem Zerfallsfaktor a = 1 − p/100 zwischen 0 und 1; der Bestand b · aᵗ fällt, wird aber nie null. Die Halbwertszeit T ist die Zeit, in der sich der Bestand halbiert, unabhängig vom Anfangsbestand: f(t) = b · 0,5^(t/T). Der Abschnitt räumt aus, dass der Zerfallsfaktor der Prozentsatz sei (0,2 statt 0,8) und dass nach zwei Halbwertszeiten alles zerfallen sei (Confrey und Smith 1995). Er bereitet das Modellieren von Abklingvorgängen und die Funktion e^(−kt) in Jahrgangsstufe 12 vor; die Kernphysik der Jahrgangsstufe 10 nutzt ihn.

Der Zerfallsfaktor

Ein Wirkstoff im Blut nimmt stündlich um 20 % ab. Dann bleiben 80 % übrig: Der Zerfallsfaktor ist 0,8 und nicht 0,2. Von 100 mg bleiben nacheinander 100, 80, 64 und 51,2 mg.

Bei Abnahme um p % gilt $a = 1 - \frac{p}{100}$ mit $0 < a < 1$ , und der Bestand nach t Stunden ist $f (t) = b \cdot a^{t}$ . Er wird immer kleiner, aber nie null: Auch von einem winzigen Rest bleiben nach jedem Schritt noch 80 %. Die t-Achse ist die Asymptote des fallenden Graphen.

Verkleinere den Zerfallsfaktor a. Wie ändert sich der Rest nach 3 Schritten, und erreicht die Kurve jemals die t-Achse?

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit T ist die Zeit, in der sich ein Bestand halbiert. Jod-131 hat $T = 8$ Tage. Von 80 mg sind nach 8 Tagen noch 40 mg da, nach 16 Tagen 20 mg, nach 24 Tagen 10 mg. Jede Halbwertszeit multipliziert mit 0,5, ganz gleich, wie viel gerade da ist: Von 40 mg auf 20 mg dauert es wieder 8 Tage.

Nach zwei Halbwertszeiten ist darum nicht alles zerfallen, sondern ein Viertel übrig. Nach t Tagen sind es $t /8$ Halbwertszeiten:

$f (t) = 80 \cdot 0, 5^{t / 8}$

Ändere T. Welche Werte zeigen die Punkte bei T, 2T und 3T, und was hängt von T ab?

Voraussetzungen (1)

Prozent und Faktor

Klasse 10

›

Ermöglicht (1)

Wachstum modellieren

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Farbstoff im Wasser nimmt stündlich um 30 % ab. Mit welchem Faktor rechnet man pro Stunde?

● 0,7
○ 0,3
○ 1,3

Nach einer Stunde bleiben 100 % − 30 % = 70 % übrig, also der Faktor 0,7. Der Faktor 0,3 gehörte zu einer Abnahme um 70 %, der Faktor 1,3 zu einer Zunahme um 30 %.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Der Bestand geht pro Stunde um denselben Anteil zurück (Balken). Wie groß ist der Zerfallsfaktor?

● 0,9
○ 0,1
○ 0,81

90 : 100 = 81 : 90 = 72,9 : 81 = 0,9. Der Bestand nimmt um 10 % ab. Der Faktor 0,1 wäre der Prozentsatz als Faktor gelesen, 0,81 der Faktor für zwei Stunden.

Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Die Balken zeigen eine Abnahme um 15 % pro Stunde.

✓ Wahr

170 : 200 = 144,5 : 170 = 0,85 und 122,8 : 144,5 ≈ 0,85, und 1 − 0,85 = 0,15. Der Faktor 0,85 bedeutet eine Abnahme um 15 %.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Ein Stoff hat die Halbwertszeit 5 Stunden. Die Balken zeigen den Bestand zu Beginn und nach 5 Stunden. Wie viel mg sind nach 10 Stunden noch da?

● 16 mg
○ 0 mg
○ 32 mg

10 Stunden sind zwei Halbwertszeiten: 64 → 32 → 16 mg. Bei 0 mg hätte man gerechnet, dass nach zwei Halbwertszeiten alles weg ist; 32 mg wäre erst eine Halbwertszeit.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Stoff hat die Halbwertszeit 5 Stunden. Von 32 mg dauert es länger als 5 Stunden, bis nur noch 16 mg da sind.

✓ Falsch

Die Halbwertszeit hängt nicht vom Bestand ab: Auch von 32 mg auf 16 mg dauert es 5 Stunden, genau wie von 64 mg auf 32 mg.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph zeigt den Bestand eines Stoffes (t in Tagen). Wie groß ist die Halbwertszeit?

● 5 Tage
○ 10 Tage
○ 40 Tage

Der Bestand startet bei 80 und ist bei t = 5 Tagen auf 40 gefallen, die Hälfte. Also ist T = 5 Tage. Die 40 ist der Wert und keine Zeit; bei 10 Tagen ist der Bestand erst auf 20 gefallen.

Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

Beide Stoffe starten bei 100 (Graphen A und B). Stoff B hat die größere Halbwertszeit als Stoff A.

✓ Wahr

Der Graph B fällt langsamer: Er braucht 6 Tage, um auf 50 zu kommen, A nur 2 Tage. Je länger das Halbieren dauert, desto größer ist die Halbwertszeit.

Wahr / Falsch #8 25s ▶ Testen

Die Halbwertszeit des Stoffes in den Balken beträgt 4 Stunden.

✓ Falsch

Der Bestand halbiert sich von Balken zu Balken (64 → 32 → 16 → 8), und zwischen zwei Balken liegen 2 Stunden. Die Halbwertszeit ist also 2 Stunden.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein Bestand nimmt pro Tag um 35 % ab. Wie groß ist der Zerfallsfaktor pro Tag?

✓ Antwort: 0.65

Es bleiben 100 % − 35 % = 65 % übrig, also der Faktor 0,65.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Nach 3 Halbwertszeiten sind wie viel Prozent des Anfangsbestands noch da?

✓ Antwort: 12.5

0,5³ = 0,125 = 12,5 %. Nach 1, 2, 3 Halbwertszeiten sind es 50 %, 25 %, 12,5 %.

Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Ein Bestand fällt in 7 Tagen von 200 auf 100. Wie groß ist die Halbwertszeit in Tagen?

✓ Antwort: 7

Von 200 auf 100 ist die Hälfte, die dafür nötige Zeit ist die Halbwertszeit: 7 Tage.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Bestand von 250 nimmt jeden Tag um 20 % ab. Wie viel ist nach 3 Tagen noch da?

✓ Antwort: 128

250 · 0,8³ = 250 · 0,512 = 128. Wer 3 · 20 % = 60 % abzieht, bekommt 100 und rechnet linear.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Jod-131 hat die Halbwertszeit 8 Tage. Wie viel mg sind von 80 mg nach 40 Tagen noch da?

✓ Antwort: 2.5

40 Tage sind 5 Halbwertszeiten: 80 : 2⁵ = 80 : 32 = 2,5 mg.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Jod-131 hat die Halbwertszeit 8 Tage. Wie viel mg sind von 80 mg nach 20 Tagen noch da? (auf 0,1 mg genau)

✓ Antwort: 14.142136

20 Tage sind 20 : 8 = 2,5 Halbwertszeiten: 80 · 0,5^2,5 ≈ 80 · 0,1768 ≈ 14,1 mg. Das liegt zwischen 20 mg (16 Tage) und 10 mg (24 Tage).

Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Von 96 mg sind nach 15 Tagen noch 12 mg da. Wie groß ist die Halbwertszeit in Tagen?

✓ Antwort: 5

96 → 48 → 24 → 12: Der Bestand hat sich 3-mal halbiert, denn 96 : 12 = 8 = 2³. Also passen 3 Halbwertszeiten in 15 Tage, T = 15 : 3 = 5 Tage.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Jod-131 hat die Halbwertszeit 8 Tage. Zu Beginn sind 80 mg im Körper. Stelle eine Tabelle für t = 0, 8, 16, 24, 32 Tage auf und gib den Funktionsterm an. Nach wie vielen vollen Halbwertszeiten ist erstmals weniger als 1 mg da, und nach wie vielen Tagen ist das? Begründe, warum der Stoff nie ganz verschwindet. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Tabelle: 80, 40, 20, 10, 5 mg. Term f(t) = 80 · 0,5^(t/8). Nach 6 Halbwertszeiten sind es 80 : 64 = 1,25 mg, nach 7 Halbwertszeiten 80 : 128 = 0,625 mg, also erstmals weniger als 1 mg nach 7 Halbwertszeiten = 56 Tagen. Der Bestand wird in jedem Schritt mit 0,5 multipliziert, ein positiver Rest bleibt also immer positiv.

Jeder Schritt von 8 Tagen multipliziert mit 0,5. Nach 6 Schritten sind 1,25 mg da, nach 7 Schritten 0,625 mg, also nach 56 Tagen erstmals unter 1 mg. Ein positiver Rest mal 0,5 ist wieder positiv.