Sind die Geraden parallel?
Are the lines parallel?
Die Umkehrung der Sätze an Parallelen: Sind Stufenwinkel oder Wechselwinkel gleich groß oder ergänzen sich Winkel derselben Seite zu 180°, dann sind die Geraden parallel. Die Station macht klar, dass Satz und Umkehrung verschiedene Aussagen sind, und dass Scheitel- und Nebenwinkel an einer Kreuzung nichts über die Lage der Geraden sagen. Bei mehreren Kreuzungen wird der passende Winkel zuerst in einer Kette mit Gründen berechnet und dann verglichen. Sie räumt aus, Parallelität nach Augenschein zu behaupten. Bereitet Wenn-dann und Umkehrung in den Kongruenzsätzen sowie Konstruktionen mit Winkelübertragung vor.
Die Umkehrung
Bisher galt: Wenn g ∥ h, dann sind Stufenwinkel gleich. Jetzt fragen wir umgekehrt: Sind zwei Stufenwinkel gleich groß, folgt dann g ∥ h? Ja, auch diese Umkehrung gilt: Sind Stufenwinkel oder Wechselwinkel gleich groß, sind die Geraden parallel. Ebenso gilt: Ergänzen sich die Winkel auf derselben Seite der Schneidenden zu 180°, sind g und h parallel.
Beide Richtungen sind verschiedene Aussagen, jede muss für sich begründet sein. Für einen Zimmermann bedeutet das: Er misst zwei Winkel an der Querlatte und weiß, ob die Balken parallel liegen, ohne sie bis zum Schnitt zu verlängern.
Welche Winkelpaare beweisen etwas?
Nicht jedes Winkelpaar taugt zum Prüfen. Scheitelwinkel sind an jeder Kreuzung gleich, Nebenwinkel ergänzen sich immer zu 180° – auch wenn die Geraden schief zueinander stehen. Sie sagen nichts über g und h. Nur Winkel an verschiedenen Schnittpunkten zählen: Stufenwinkel, Wechselwinkel und Winkel derselben Seite.
Bei mehreren Kreuzungen berechnest du zuerst mit einer Kette den passenden Winkel und vergleichst erst dann. Ist an h der Nebenwinkel des Stufenwinkels gegeben, bildest du zuerst die Ergänzung zu 180°. Schreibe jeden Schritt mit Grund auf.
Voraussetzungen (1)
Bei einer Doppelkreuzung messen die Stufenwinkel je 68°. Was folgt für g und h?
Bei einer Doppelkreuzung messen zwei Wechselwinkel je 57°. Dann sind g und h parallel.
Zwischen zwei Geraden g und h liegen auf derselben Seite der Schneidenden die Winkel 104° und 76°. Was gilt für g und h?
Zwei Winkel derselben Seite zwischen g und h messen 110° und 80°. Dann sind g und h parallel.
In der Skizze messen die Scheitelwinkel bei g je 70°. Folgt daraus g ∥ h?
Weil sich zwei Nebenwinkel zu 180° ergänzen, sind die beiden Geraden parallel.
In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) ist α = 64° oben rechts bei g und β = 116° unten rechts bei h. Sind g und h parallel?
Bei g misst α = 72° oben rechts, bei h misst β = 108° unten rechts. Dann ist g ∥ h.
g und h werden von t geschnitten, bei g misst der Winkel oben rechts 64°. Wie groß muss der Stufenwinkel oben rechts bei h sein, damit g ∥ h gilt (in °)?
Auf derselben Seite der Schneidenden misst ein Winkel zwischen g und h 115°. Wie groß muss der Winkel zwischen g und h auf derselben Seite sein, damit g ∥ h gilt (in °)?
Scheitel- und Nebenwinkel liegen an einem Schnittpunkt. Parallelität zeigen nur Winkel an ___ Schnittpunkten.
Ist β = 116° der Winkel unten rechts bei h, bildest du zuerst dessen ___winkel und vergleichst ihn mit α.
Ein Zimmermann prüft zwei Balken mit einer Querlatte: Die Wechselwinkel messen 82° und 79°. Um wie viel Grad muss ein Balken gedreht werden, damit die Balken parallel sind?
Zwei Regalbretter werden von einer Strebe geschnitten; auf der linken Seite zwischen den Brettern messen die Winkel 128° und 54°. Um wie viel Grad weicht ihre Summe von der Bedingung für parallele Bretter ab?
Bei g misst der Winkel oben rechts 70°, sein Scheitelwinkel ebenfalls 70°. Bei h misst der Winkel oben rechts 75°. Um wie viel Grad muss h gedreht werden, damit g ∥ h gilt?
g ∥ h. Bei g misst der Winkel α oben rechts 78°. Wie groß ist der Winkel β unten rechts bei h (in °)?
Die Geraden g und h werden von t geschnitten, in P (auf g) und in Q (auf h). Der Winkel oberhalb von g rechts von t misst 65°. Der Winkel oberhalb von h links von t misst 115°. Sind g und h parallel? Skizziere, bilde eine Winkelkette und begründe jeden Schritt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.