Winkel in Figuren berechnen
Calculating angles in figures
In Figuren mit mehreren Geraden sind nur wenige Winkel gegeben; die übrigen folgen in einer Kette aus Nebenwinkeln, Scheitelwinkeln, Stufen- und Wechselwinkeln und der Winkelsumme im Dreieck. Die Station übt, jeden Schritt mit seinem Grund aufzuschreiben, und leitet als neue Beziehung ab, dass sich Winkel zwischen Parallelen auf derselben Seite zu 180° ergänzen. Sie räumt aus, Winkel aus der Skizze abzulesen (sieht wie 90° aus, also 90°), und das Verwechseln der Beziehungen. Bereitet die Prüfung auf Parallelität und die Beweise in Jahrgangsstufe 8 vor.
Winkelketten
In Figuren mit mehreren Geraden sind meist nur wenige Winkel gegeben. Die übrigen erschließt du Schritt für Schritt: Aus einem bekannten Winkel
folgt mit einer Beziehung ein neuer, aus dem wieder ein nächster. Im Bild sind g und h parallel; die Punkte P und R liegen auf g, der Punkt Q auf h. Es gilt
Zuerst der dritte Winkel im Dreieck PQR:
Noch eine Beziehung, eine Warnung
Zwischen zwei Parallelen liegen auf derselben Seite der Schneidenden zwei Winkel, die sich zu 180° ergänzen. Das folgt aus Bekanntem: Der eine ist der Nebenwinkel
des Stufenwinkels des anderen. Ist
Und noch eine Warnung: Eine Skizze ist nicht maßstabsgetreu. Ein Winkel, der wie 90° aussieht, ist keiner, solange es nicht dasteht; zwei Geraden, die parallel wirken, sind es nur, wenn es angegeben oder bewiesen ist. Benutzen darfst du nur, was gegeben ist oder was du begründet hast.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
g ∥ h. Oben rechts bei g misst der Winkel 64°. Wie groß ist der Winkel x oben links bei h?
g ∥ h und α = 64° oben rechts bei g. Der Winkel unten links bei h misst ebenfalls 64°.
Im Dreieck PQR sind ∠P = 64° und ∠Q = 50°. Lena schreibt: „∠R = 66°, weil …“ Welcher Grund passt?
Im Schritt „x = 180° − 64° = 116°“ ist der Grund „Wechselwinkel“.
g ∥ h. Die Winkel α = 110° und β liegen zwischen den Parallelen auf derselben Seite der Schneidenden. Wie groß ist β?
g ∥ h. Zwischen den Parallelen liegen auf derselben Seite der Schneidenden die Winkel 125° und 55°.
In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) sind α = 40° und β = 55° angegeben. Wie groß ist γ?
Zwei Geraden in einer Skizze sehen parallel aus. Deshalb darf man Stufenwinkel an ihnen als gleich groß benutzen.
Ein Winkel misst 40°. Gehe über seinen Scheitelwinkel zu dessen Nebenwinkel. Wie groß ist dieser Nebenwinkel (in °)?
g ∥ h. Es gilt x = 64°, weil x und der Winkel 64° in der Figur ___winkel sind.
g ∥ h. Ein Winkel zwischen den Parallelen misst 125°. Wie groß ist der Winkel zwischen den Parallelen auf derselben Seite der Schneidenden (in °)?
In einer Skizze sieht der Winkel γ wie 90° aus. Gegeben sind α = 47° und β = 41°. Berechne γ (in °).
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. Zwei Winkel liegen zwischen g und h auf derselben Seite der dritten Geraden. Einer misst 115°. Wie viel Grad misst der andere?
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. Zwei Winkel liegen zwischen g und h auf derselben Seite der dritten Geraden. Einer misst 70°. Wie viel Grad misst der andere?
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. An g misst ein Winkel 130°. Wie viel Grad misst der Nebenwinkel seines Stufenwinkels an h?
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. An g misst ein Winkel 105°. Wie viel Grad misst der Nebenwinkel seines Wechselwinkels an h?
g ∥ h. Im Dreieck PQR mit P und R auf g und Q auf h gilt ∠RPQ = 64° und ∠PQR = 50°. Wie groß ist der Winkel zwischen h (rechts von Q) und der Geraden QR (in °)?
g ∥ h. Bei g liegt oben links ein Winkel von 112°. Wie groß ist der Winkel unten rechts bei h (in °)?
Die Geraden g und h sind parallel. Die Punkte P und R liegen auf g, der Punkt Q liegt auf h. Im Dreieck PQR gilt ∠RPQ = 64° und ∠PQR = 50°. Bestimme ∠PRQ und den Winkel zwischen der Geraden h (rechts von Q) und der Geraden QR. Fertige eine Skizze an und begründe jeden Schritt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Zwei Regalbretter sind parallel und werden von einer Strebe geschnitten. Auf der linken Seite liegen zwischen den Brettern die Winkel α und β; α = 72°. Wie groß ist β (in °)?
Ein Dreieck hat α = 50° und β = 60°. Die Skizze wirkt gleichschenklig. Wie groß ist γ (in °)?