Energie des elektrischen Felds

Energy of the Electric Field

Physik Klasse 12 13 Aufgaben

KondensatorEnergieKerncurriculum

Im Feld eines geladenen Kondensators steckt Energie We = ½QU = ½CU² — hebt man über einen Elektromotor eine Last, wächst die Hubhöhe mit dem Quadrat der Spannung. Der Faktor ½ entkräftet die naheliegende Fehlrechnung W = QU, die jeder Ladungsportion schon die volle Endspannung zuschreibt; im Q-U-Diagramm ist We die Dreiecksfläche. Die Energiedichte ½ε₀E² verortet die Energie im Feld selbst — nicht auf den Platten — und macht sie als Zustand des Raums greifbar. Anwendungen sind Blitzgerät und nachleuchtende Fahrradlampe. Trägt Schwingkreis und Teilchenbeschleunigung.

Können & Üben

Kondensator-Werkstatt — Potential, Kapazität, Energie

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90 min · once

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Vier Stationen nach dem Prinzip Vermuten – Beobachten – Erklären in Kleingruppen, Rotation nach etwa 20 Minuten. Jede Gruppe führt eine Messtabelle; Vermutungen werden vor dem Messen notiert. Station 1 — Flammensonde und Äquipotentiallinien. Vermuten: Wie ändert sich das Potential zwischen den Kondensatorplatten von Ort zu Ort — und wie im Feld einer geladenen Kugel? Beobachten: Die Flammensonde liefert im Plattenfeld ein Potential, das linear mit dem Abstand von der geerdeten Platte wächst; auf Bahnen parallel zu den Platten bleibt es konstant, bei der Kugel fällt es mit dem Abstand. Erklären: Punkte gleichen Potentials bilden Flächen senkrecht zu den Feldlinien; die Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Flächen. Modellgrenze: Die Flamme selbst stört das Feld leicht — die Sonde misst gut, aber nicht rückwirkungsfrei. Sicherheitshinweis: offene Flamme, Abstand zu Papier und Haaren. Station 2 — Wovon hängt C ab? Vermuten: Verdoppelt sich die gespeicherte Ladung mit der Spannung? Was macht der Plattenabstand, was die Fläche? Beobachten: Messreihen mit dem Elektrometer — Q wächst proportional zu U; bei festem U sinkt Q mit wachsendem d (C proportional 1/d) und wächst mit der überlappenden Fläche A. Erklären: Q/U ist die Kapazität C, eine Bauteilgröße mit C = ε0·A/d. Sicherheitshinweis: Hochspannung! Umbauten nur spannungsfrei, Platten vor jedem Verstellen entladen. Station 3 — Dielektrikum. Vermuten: Ändert eine Glasplatte zwischen den Platten die Kapazität, obwohl sie nicht leitet? Beobachten: Beim Einschieben steigt die aufgenommene Ladung bei gleicher Spannung — mit Glas etwa um den Faktor 5, mit Kunststoff weniger. Erklären: Die im Dielektrikum ausgerichteten Dipole schwächen das Feld im Inneren; εr fasst das als Materialkonstante (C = εr·ε0·A/d). Modellgrenze: εr ist keine Naturkonstante, sondern material- und frequenzabhängig. Station 4 — Der Kondensator als Energiespeicher. Vermuten: Hebt der auf doppelte Spannung geladene Kondensator die Last doppelt oder vierfach so hoch? Beobachten: Der Kondensator treibt über den Motor ein Gewicht am Faden nach oben; bei 2U ist die Hubhöhe rund viermal so groß — W wächst mit U². Danach am Interface die Auf- und Entladekurven über einen Widerstand aufnehmen. Erklären: W = ½·C·U² als Fläche im Q-U-Diagramm; die RC-Kurven zeigen, wie Ladung und Spannung exponentiell laufen. Modellgrenze: Motor- und Reibungsverluste machen die Energiebilanz nur näherungsweise sichtbar. Abschluss in der Runde: Von der Potentiallandkarte (Station 1) über die Bauteilgröße C (Stationen 2 und 3) zum Energiespeicher (Station 4) — wo steckt die Energie? Im Feld zwischen den Platten, nicht "in den Platten".

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Dass in einem geladenen Kondensator Energie steckt, zeigt ein Versuch mit Showeffekt: Ein dicker Kondensator (10 000 µF) wird geladen und über einen kleinen Elektromotor entladen, der ein 10-g-Gewicht hochzieht. Mit 3 V geladen schafft der Motor eine bestimmte Hubhöhe. Sage voraus: Wie hoch kommt das Gewicht mit 6 V — doppelt so hoch? Die Messung sagt: viermal so hoch, und mit 9 V neunmal. Die gespeicherte Energie wächst mit dem Quadrat der Spannung. Warum?

Der naive Ansatz wäre $W = Q U$ — Ladung mal Spannung, wie bei der Definition des Potentials. Aber er überschlägt etwas: Beim Laden ist die Spannung nicht konstant. Die erste Ladungsportion wandert auf einen leeren Kondensator (U ≈ 0) und kostet fast nichts; erst die letzte Portion muss gegen die volle Endspannung anlaufen. Zerlegt man den Ladevorgang in kleine Portionen $Δ q$ , kostet jede den Beitrag $Δ W_{i} = U_{i} \cdot Δ q$ — mit der momentanen Spannung $U_{i}$ :

Jede Stufe ist ein Rechteck U·Δq. Macht man die Portionen immer kleiner, schmiegen sich die Stufen an die Gerade — übrig bleibt die Dreiecksfläche darunter.

Die Gesamtenergie ist die Summe aller Rechtecke — und im Grenzfall $Δ q \to 0$ exakt die Fläche unter der Ladegeraden im Q-U-Diagramm. Und die kannst du jetzt selbst vermessen:

Ziehe die Ladung Q am Punkt (Q|U) oder mit dem Regler. Die schraffierte Dreiecksfläche unter der Geraden U = Q/C ist die gespeicherte Energie W — verdopple Q und beobachte, dass sich W vervierfacht.

Die Dreiecksfläche ist Grundseite mal Höhe durch zwei:

$W_{e} = \frac{1}{2} Q U = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{Q ^{2}}{2 C}$

Die zweite Form (mit $Q = C U$ eingesetzt) erklärt den Motor-Versuch: doppelte Ladespannung, vierfache Energie, vierfache Hubhöhe. Der Faktor ½ ist kein Schönheitsfehler, sondern der Kern der Sache — er sagt, dass die Ladungsportionen im Mittel nur gegen die halbe Endspannung anlaufen mussten.

Zum Schluss die tiefere Frage: Wo sitzt diese Energie? Nicht „auf den Platten" — im Feld dazwischen. Für den Plattenkondensator lässt sich das umrechnen: Mit $C = ε_{0} A / d$ und $U = E d$ wird $W_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} \cdot A d$ , und $A \cdot d$ ist genau das vom Feld erfüllte Volumen. Pro Volumen trägt das Feld also die Energiedichte

$ρ_{e l} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$

— eine Aussage über den Raum selbst, ganz ohne Platten. Sie trägt den Blitzkondensator der Kamera und die nachleuchtende Fahrradlampe, und sie wird entscheidend, wenn sich Felder im Kapitel über elektromagnetische Wellen von allen Ladungen lösen und ihre Energie durch den leeren Raum tragen.

Voraussetzungen (1)

Kondensator und Kapazität

Klasse 12

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Leicht

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kondensator trägt die Ladung Q = 2·10⁻³ C bei der Spannung U = 100 V. Berechne die gespeicherte Energie. (Antwort in J)

✓ Antwort: 0.1

We = ½·Q·U = ½ · 2·10⁻³ · 100 J = 0,1 J. Ohne den Faktor ½ ergäbe sich fälschlich 0,2 J.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Die Ladespannung desselben Kondensators wird von 3 V auf 6 V verdoppelt. Um welchen Faktor wächst die gespeicherte Energie? (Antwort als Zahl)

✓ Antwort: 4

We = ½CU² hängt quadratisch von U ab, also 2² = 4. Genau das zeigt der Motorversuch an der etwa vervierfachten Hubhöhe.

Lückentext #3 15s ▶ Testen

Die auf das Volumen bezogene Energie des elektrischen Feldes, w = ½ε₀E², nennt man ___.

✓ Antwort: Energiedichte

Sie gibt an, wie viel Energie in jedem Kubikmeter Feld steckt. Für den Plattenkondensator folgt sie aus We = ½CU² mit C = ε₀A/d und U = E·d.

Mittel

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ein Kondensator (10000 µF) wird nacheinander mit 3 V, 6 V und 9 V geladen und jeweils über einen Elektromotor entladen, der eine Last hebt. Was zeigt die Messung der Hubhöhen?

● Die Hubhöhe wächst näherungsweise mit dem Quadrat der Ladespannung
○ Die Hubhöhe wächst proportional zur Ladespannung
○ Die Hubhöhe ist bei allen Spannungen gleich
○ Die Hubhöhe wächst mit der dritten Potenz der Spannung

Doppelte Spannung hebt die Last etwa viermal so hoch — die gespeicherte Energie folgt We = ½CU², also dem Quadrat der Spannung. Bei linearem Zusammenhang dürfte sich die Hubhöhe nur verdoppeln.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Beim Laden eines Kondensators steigt die Spannung im Q-U-Diagramm als Gerade von 0 auf U. Welche Größe im Diagramm gibt die gespeicherte Energie an?

○ Das Rechteck mit den Seiten Q und U
● Die Dreiecksfläche unter der Geraden
○ Die Steigung der Geraden

Jede Ladungsportion Δq wird bei der gerade herrschenden Spannung transportiert, und die steigt von 0 bis U. Aufsummiert ergibt das die Fläche unter der Geraden, ein Dreieck: We = ½·Q·U. Das Rechteck Q·U würde jeder Portion schon die volle Endspannung zuschreiben. Die Steigung U/Q = 1/C beschreibt den Kondensator, nicht seine Energie.

Wahr / Falsch #3 25s ▶ Testen

Beim Laden eines Kondensators auf die Spannung U nimmt jede transportierte Ladungsportion die Energie Δq·U auf, insgesamt also W = Q·U.

✓ Falsch

Die Spannung liegt erst am Ende bei U — frühe Ladungsportionen werden bei viel kleinerer Spannung transportiert. Deshalb ist die Gesamtenergie nur ½·Q·U, die Dreiecksfläche im Q-U-Diagramm.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Der Kondensator des Motorversuchs (C = 10000 µF) wird auf U = 3 V geladen. Berechne die gespeicherte Energie. (Antwort in J)

✓ Antwort: 0.045

We = ½·C·U² = ½ · 0,01 F · 9 V² = 0,045 J. Die 10000 µF müssen als 0,01 F eingesetzt werden; diese knappe Energiemenge reicht, um die 10-g-Last einige Dezimeter zu heben.

Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Ein Kondensator mit C = 2 µF wird auf U = 1000 V geladen. Berechne die gespeicherte Energie. (Antwort in J)

✓ Antwort: 1

We = ½·C·U² = ½ · 2·10⁻⁶ · 10⁶ J = 1 J. Hohe Spannung wiegt die kleine Kapazität quadratisch auf — das Prinzip des Blitzgeräts.

Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

Die Energie eines geladenen Kondensators ist im elektrischen Feld zwischen den Platten gespeichert — nicht als "verbrauchbare Ladungsmenge" auf den Platten.

✓ Wahr

Die Energiedichte ½ε₀E² ordnet jedem Volumenelement des Feldes Energie zu; beim Entladen wird sie aus dem Feld wieder frei. Die Ladung selbst wird dabei nicht verbraucht, sondern nur ausgeglichen.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Warum eignet sich ein Kondensator als Energiespeicher für ein Blitzgerät?

● Er gibt seine gespeicherte Energie in sehr kurzer Zeit als starken Stromstoß ab
○ Er erzeugt beim Entladen zusätzliche Energie
○ Er speichert Energie dauerhaft ohne jede Verluste
○ Er wandelt Licht direkt in Ladung um

Der Kondensator wird langsam geladen und blitzartig entladen — die gleiche Energie in kürzerer Zeit bedeutet hohe Leistung. Energie erzeugen kann er nicht, und Selbstentladung macht ihn auch nicht zum Dauerspeicher; dasselbe Prinzip lässt Fahrradlampen nachleuchten.

Zahleneingabe #8 35s ▶ Testen

Im Motorversuch hebt die 3-V-Ladung die Last 5 cm hoch. Wie hoch hebt sie näherungsweise die 9-V-Ladung bei gleichem Wirkungsgrad? (Antwort in cm)

✓ Antwort: 45

Verdreifachte Spannung bedeutet 3² = 9-fache Energie, also 9 · 5 cm = 45 cm Hubhöhe. Wer linear rechnet, erhält nur 15 cm — der Motorversuch widerlegt genau das.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

In einem auf U = 100 V geladenen Kondensator sind We = 0,2 J gespeichert. Berechne die Ladung auf den Platten. (Antwort in mC)

✓ Antwort: 4

Aus We = ½·Q·U folgt Q = 2·We/U = 2 · 0,2 / 100 C = 4·10⁻³ C = 4 mC. Der Faktor 2 wird beim Umstellen gern vergessen — dann kämen nur 2 mC heraus.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

In einem homogenen Feld herrscht die Feldstärke E = 10⁶ V/m. Berechne die Energiedichte des Feldes. (ε₀ = 8,85·10⁻¹² As/Vm; Antwort in J/m³)

✓ Antwort: 4.425

w = ½·ε₀·E² = ½ · 8,85·10⁻¹² · (10⁶)² J/m³ = 4,425 J/m³. Die Energiedichte hängt nur von der Feldstärke ab — ein Kubikmeter dieses Feldes trägt gut 4 J.