Kondensator und Kapazität

Capacitor and Capacitance

Physik Klasse 12 15 Aufgaben

KondensatorElektrisches FeldKerncurriculum

Der Kondensator speichert Ladung: Q wächst proportional zur Spannung U, und der Quotient C = Q/U heißt Kapazität (Farad, praktisch µF, nF, pF). Für den Plattenkondensator gilt C ∝ A und C ∝ 1/d, zusammengefasst C = ε₀εr·A/d; ein Dielektrikum (εr Wasser ≈ 81, Glas ≈ 5) vergrößert die Kapazität. Die Flächenladungsdichte σ = ε₀E verknüpft Ladungsbelag und Feldstärke. Reihen- und Parallelschaltung folgen aus gleicher Ladung bzw. gleicher Spannung, und der RC-Auf- und Entladevorgang verläuft exponentiell. Trägt die Feldenergie und den Cavendish-Influenzversuch.

Können & Üben

Kondensator-Werkstatt — Potential, Kapazität, Energie

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90 min · once

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Vier Stationen nach dem Prinzip Vermuten – Beobachten – Erklären in Kleingruppen, Rotation nach etwa 20 Minuten. Jede Gruppe führt eine Messtabelle; Vermutungen werden vor dem Messen notiert. Station 1 — Flammensonde und Äquipotentiallinien. Vermuten: Wie ändert sich das Potential zwischen den Kondensatorplatten von Ort zu Ort — und wie im Feld einer geladenen Kugel? Beobachten: Die Flammensonde liefert im Plattenfeld ein Potential, das linear mit dem Abstand von der geerdeten Platte wächst; auf Bahnen parallel zu den Platten bleibt es konstant, bei der Kugel fällt es mit dem Abstand. Erklären: Punkte gleichen Potentials bilden Flächen senkrecht zu den Feldlinien; die Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Flächen. Modellgrenze: Die Flamme selbst stört das Feld leicht — die Sonde misst gut, aber nicht rückwirkungsfrei. Sicherheitshinweis: offene Flamme, Abstand zu Papier und Haaren. Station 2 — Wovon hängt C ab? Vermuten: Verdoppelt sich die gespeicherte Ladung mit der Spannung? Was macht der Plattenabstand, was die Fläche? Beobachten: Messreihen mit dem Elektrometer — Q wächst proportional zu U; bei festem U sinkt Q mit wachsendem d (C proportional 1/d) und wächst mit der überlappenden Fläche A. Erklären: Q/U ist die Kapazität C, eine Bauteilgröße mit C = ε0·A/d. Sicherheitshinweis: Hochspannung! Umbauten nur spannungsfrei, Platten vor jedem Verstellen entladen. Station 3 — Dielektrikum. Vermuten: Ändert eine Glasplatte zwischen den Platten die Kapazität, obwohl sie nicht leitet? Beobachten: Beim Einschieben steigt die aufgenommene Ladung bei gleicher Spannung — mit Glas etwa um den Faktor 5, mit Kunststoff weniger. Erklären: Die im Dielektrikum ausgerichteten Dipole schwächen das Feld im Inneren; εr fasst das als Materialkonstante (C = εr·ε0·A/d). Modellgrenze: εr ist keine Naturkonstante, sondern material- und frequenzabhängig. Station 4 — Der Kondensator als Energiespeicher. Vermuten: Hebt der auf doppelte Spannung geladene Kondensator die Last doppelt oder vierfach so hoch? Beobachten: Der Kondensator treibt über den Motor ein Gewicht am Faden nach oben; bei 2U ist die Hubhöhe rund viermal so groß — W wächst mit U². Danach am Interface die Auf- und Entladekurven über einen Widerstand aufnehmen. Erklären: W = ½·C·U² als Fläche im Q-U-Diagramm; die RC-Kurven zeigen, wie Ladung und Spannung exponentiell laufen. Modellgrenze: Motor- und Reibungsverluste machen die Energiebilanz nur näherungsweise sichtbar. Abschluss in der Runde: Von der Potentiallandkarte (Station 1) über die Bauteilgröße C (Stationen 2 und 3) zum Energiespeicher (Station 4) — wo steckt die Energie? Im Feld zwischen den Platten, nicht "in den Platten".

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4–16

Zwei Metallplatten, getrennt durch einen Spalt Luft — mehr ist ein Plattenkondensator nicht. Legt man eine Spannung an, sammelt sich auf der einen Platte Ladung +Q, auf der anderen −Q. Der Kondensator ist ein Ladungsspeicher. Die erste Frage an jeden Speicher: Wie viel passt hinein — und wovon hängt das ab?

Der Messaufbau beantwortet das sauber. In Schalterstellung I lädt die Quelle den Kondensator auf die Spannung U; in Stellung II entlädt er sich über einen Messverstärker, der die abgeflossene Ladung Q misst:

Stellung I: Laden auf die Spannung U. Stellung II: Entladen über den Messverstärker, der die geflossene Ladung Q anzeigt.

Sage das Ergebnis voraus: Verdoppelt man U, was macht Q? Die Messreihe liefert eine saubere Proportionalität — $Q \propto U$ . Der Quotient ist also eine Kenngröße des Kondensators selbst. Er heißt Kapazität:

$C = \frac{Q}{U} [C] = 1 \frac{C}{V} = 1 F (Farad)$

Ein ganzes Farad ist riesig; üblich sind $1 μ F = 1 0^{- 6} F$ , $1 nF = 1 0^{- 9} F$ und $1 pF = 1 0^{- 12} F$ .

Wovon hängt C ab? Drei Messreihen bei konstantem U, eine Variable nach der anderen: Doppelte Plattenfläche A — doppelte Ladung, also $C \propto A$ . Doppelter Abstand d — halbe Ladung, also $C \propto 1/ d$ . Und schiebt man ein Dielektrikum (etwa eine Glasplatte) zwischen die Platten, steigt Q noch einmal. Zusammengefasst:

$C = ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d} ε_{0} = 8, 854 \cdot 1 0^{- 12} \frac{As}{Vm}$

Die elektrische Feldkonstante $ε_{0}$ fällt dabei als Messwert ab; die Dielektrizitätszahl $ε_{r}$ des Zwischenmaterials reicht von 1 (Vakuum, Luft fast genau) über etwa 5 bis 12 (Glas) bis zu 81 (Wasser). Kombiniert man $Q = C U$ , $C = ε_{0} A / d$ und $U = E d$ , bleibt eine bemerkenswert kompakte Beziehung übrig — die Grundgleichung des elektrischen Feldes: Die Flächenladungsdichte $σ = Q / A = ε_{0} E$ bestimmt die Feldstärke, und umgekehrt.

Was, wenn ein Kondensator nicht reicht? Zwei Bauarten der Zusammenschaltung — sage vor dem Weiterlesen voraus, welche die Gesamtkapazität erhöht:

Links: beide Kondensatoren an derselben Spannung. Rechts: dieselbe Ladung auf beiden, die Spannungen teilen sich auf.

Parallel liegt an beiden dieselbe Spannung U, die Ladungen addieren sich: $Q = C_{1} U + C_{2} U = (C_{1} + C_{2}) U$ — die Kapazitäten addieren sich, $C_{ges} = C_{1} + C_{2}$ . Anschaulich vergrößert man einfach die Plattenfläche. In Reihe erzwingt die Influenz auf beiden dieselbe Ladung Q, die Spannungen addieren sich: $U = Q / C_{1} + Q / C_{2}$ — es addieren sich die Kehrwerte, $1/ C_{ges} = 1/ C_{1} + 1/ C_{2}$ , und die Gesamtkapazität ist kleiner als jede einzelne: wie ein vergrößerter Plattenabstand.

Womit sich der Kondensator im nächsten Abschnitt als mehr entpuppt als ein Ladungsspeicher: Beim Trennen der Ladungen wurde Arbeit verrichtet — und die steckt jetzt als Energie im Feld.

Materialien (1)

Physische Manipulativa, die dieses Konzept konkret verankern — optional, gebrückt zum Symbol.

Plattenkondensator-Aufbau prop

Voraussetzungen (1)

Potential und Spannung

Klasse 12

›

Ermöglicht (2)

Der elektromagnetische Schwingkreis

Klasse 12

›

Energie des elektrischen Felds

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Der Lade-/Entladeversuch zeigt, dass die gespeicherte Ladung Q eines Kondensators proportional zur Spannung U wächst. Welche Größe definiert man daraus?

● Die Kapazität C = Q/U als ladungsunabhängige Kenngröße des Kondensators
○ Den Widerstand R = U/Q des Kondensators
○ Die Feldstärke E = Q·U zwischen den Platten
○ Die Energie W = Q/U des Kondensators

Weil Q ∝ U gilt, ist der Quotient Q/U für einen gegebenen Kondensator konstant — er beschreibt das Bauteil, nicht den Ladezustand. Widerstand, Feldstärke und Energie haben andere Definitionsgleichungen.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Halbiert man bei einem Plattenkondensator den Plattenabstand d, so verdoppelt sich seine Kapazität.

✓ Wahr

Die Messreihe liefert C ∝ 1/d — halber Abstand bedeutet doppelte Kapazität. Zusammen mit C ∝ A ergibt das die Formel C = ε₀·A/d.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Bei konstanter Spannung und konstantem Abstand wird die Plattenfläche eines Kondensators verdoppelt. Was passiert mit Ladung und Kapazität?

● Beide verdoppeln sich, denn C ∝ A
○ Beide halbieren sich, denn C ∝ 1/A
○ Die Ladung verdoppelt sich, die Kapazität bleibt gleich
○ Beide bleiben gleich, weil die Spannung konstant ist

Auf der doppelten Fläche findet bei gleicher Spannung die doppelte Ladung Platz, also verdoppelt sich auch C = Q/U. Kapazität und Ladung sind hier über die konstante Spannung fest gekoppelt.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Zwischen die Platten eines geladenen Kondensators wird bei konstanter Spannung eine Glasplatte geschoben. Was beobachtet man?

● Der Kondensator nimmt zusätzliche Ladung auf — seine Kapazität ist um εr gewachsen
○ Die Ladung fließt ab, weil Glas leitet
○ Nichts, denn Glas ist ein Isolator
○ Die Spannung steigt um den Faktor εr

Ein Dielektrikum vergrößert die Kapazität um die Dielektrizitätszahl εr (Glas ≈ 5), bei fester Spannung wächst also Q = C·U. Gerade weil Glas nicht leitet, bleibt die Ladung gespeichert — seine Polarisierbarkeit schwächt das Feld zwischen den Platten.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Von zwei Kondensatoren an derselben Spannungsquelle speichert der mit der größeren Kapazität die größere Ladung.

✓ Wahr

Q = C·U — bei gleicher Spannung entscheidet allein die Kapazität über die gespeicherte Ladung. Genau das leistet die Kapazität als Kenngröße "Fassungsvermögen pro Volt".

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Schaltet man zwei Kondensatoren in Reihe, so ist die Gesamtkapazität kleiner als die kleinere der beiden Einzelkapazitäten.

✓ Wahr

In Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/C = 1/C₁ + 1/C₂. Weil 1/C größer ist als jeder einzelne Kehrwert, ist C kleiner als jede Einzelkapazität — anders als in der Parallelschaltung, wo sich die Kapazitäten addieren.

Mittel

Lückentext #1 15s ▶ Testen

Die Einheit der Kapazität, 1 C/V, trägt den Namen ___.

✓ Antwort: Farad

1 F = 1 C/V = 1 As/V. Ein Farad ist riesig — in der Praxis rechnet man mit µF, nF und pF.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kondensator trägt bei der Spannung U = 200 V die Ladung Q = 4·10⁻⁴ C. Berechne seine Kapazität. (Antwort in µF)

✓ Antwort: 2

C = Q/U = 4·10⁻⁴ C / 200 V = 2·10⁻⁶ F = 2 µF. Auf die Umrechnung in Mikrofarad achten — 2·10⁻⁶ F, nicht 2·10⁻⁴ F.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Berechne die Kapazität eines Plattenkondensators mit Plattenfläche A = 1 m² und Plattenabstand d = 1 mm im Vakuum. (ε₀ = 8,85·10⁻¹² As/Vm; Antwort in nF)

✓ Antwort: 8.85

C = ε₀·A/d = 8,85·10⁻¹² · 1 / 0,001 F = 8,85·10⁻⁹ F = 8,85 nF. Selbst ein quadratmetergroßer Kondensator liefert nur Nanofarad — deshalb braucht Technik Dielektrika und gewickelte Bauformen.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein Plattenkondensator hat im Vakuum die Kapazität C = 2 µF. Der Zwischenraum wird vollständig mit Glas (εr = 5) gefüllt. Berechne die neue Kapazität. (Antwort in µF)

✓ Antwort: 10

C = ε₀·εr·A/d wächst linear mit εr, also 2 µF · 5 = 10 µF. Wasser mit εr ≈ 81 würde die Kapazität sogar ver-81-fachen.

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Zwei Kondensatoren mit C₁ = 3 µF und C₂ = 6 µF werden parallel geschaltet. Berechne die Gesamtkapazität. (Antwort in µF)

✓ Antwort: 9

Bei Parallelschaltung liegt an beiden dieselbe Spannung, die Ladungen addieren sich — also Cges = C₁ + C₂ = 9 µF. Die Kehrwertformel gilt nur für die Reihenschaltung.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Ein geladener Kondensator wird über einen Widerstand entladen und der Strom gemessen. Beschreibe den Verlauf.

● Der Strom ist anfangs am größten und nimmt immer langsamer ab
○ Der Strom ist konstant, bis der Kondensator leer ist
○ Der Strom steigt zunächst an und fällt dann plötzlich auf null
○ Es fließt gar kein Strom, weil der Stromkreis durch den Kondensator unterbrochen ist

Mit abfließender Ladung sinken Spannung und damit der Strom I = U/R — je leerer der Kondensator, desto langsamer entlädt er sich weiter. Während des Umladens fließt sehr wohl Strom; nur ein dauerhafter Gleichstrom wird blockiert.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kondensator mit C = 10 µF wird auf U = 12 V geladen. Berechne die gespeicherte Ladung. (Antwort in µC)

✓ Antwort: 120

Q = C·U = 10·10⁻⁶ F · 12 V = 1,2·10⁻⁴ C = 120 µC. Die Definitionsgleichung C = Q/U wird nach Q aufgelöst.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Zwischen den Platten eines Kondensators herrscht die Feldstärke E = 2·10⁵ V/m. Berechne die Flächenladungsdichte auf den Platten. (ε₀ = 8,85·10⁻¹² As/Vm; Antwort in µC/m²)

✓ Antwort: 1.77

σ = ε₀·E = 8,85·10⁻¹² · 2·10⁵ C/m² = 1,77·10⁻⁶ C/m² = 1,77 µC/m². Feldstärke und Ladungsbelag der Platten bestimmen sich gegenseitig — wer σ kennt, kennt E, und umgekehrt.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Dieselben Kondensatoren (C₁ = 3 µF, C₂ = 6 µF) werden nun in Reihe geschaltet. Berechne die Gesamtkapazität. (Antwort in µF)

✓ Antwort: 2

In Reihe tragen beide dieselbe Ladung und die Spannungen addieren sich, also 1/Cges = 1/3 + 1/6 = 1/2, d.h. Cges = 2 µF. Die Gesamtkapazität ist kleiner als die kleinste Einzelkapazität — wer 9 µF erhält, hat die Schaltungsarten vertauscht.

Können & Üben

Kondensator-Werkstatt — Potential, Kapazität, Energie

🧮 Materialien (1)

Voraussetzungen (1)

Ermöglicht (2)

Materialien (1)