Energie des Magnetfelds

Energy of the Magnetic Field

Physik Klasse 12 13 Aufgaben

SelbstinduktionEnergieKerncurriculum

Im Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule steckt Energie: Beim Abschalten blitzt die Reihenlampe noch einmal auf, weil diese Energie beim Feldabbau frei wird — quantitativ W_m = ½·L·I², als Energiedichte B²/(2μ₀). Elektrisches und magnetisches Feld stehen dabei in strenger Symmetrie: Ursache (Ladungen bzw. Ströme), Speicherelement (Kondensator bzw. Spule), Energie (½·C·U² bzw. ½·L·I²) und Energiedichte entsprechen einander. Diese Symmetrie trägt den elektromagnetischen Schwingkreis, in dem beide Speicher Energie austauschen.

Die Glimmlampe aus dem Ausschaltversuch blitzt auf, nachdem die Quelle abgetrennt ist. Woher nimmt sie die Energie? Es gibt nur eine Antwort: Sie war im Magnetfeld der Spule gespeichert. Beim Einschalten fließt ein Teil der gelieferten Energie nicht in Wärme, sondern in den Aufbau des Feldes — und beim Abschalten gibt das zusammenbrechende Feld genau diesen Betrag zurück.

Wie viel ist es? Nach dem Abschalten wirkt die Spule selbst als Quelle mit der Leistung $P = U_{i} I = - L \dot{I} I$ . Summiert über den ganzen Abklingvorgang ergibt das Integral $E_{ma g n} = - L \int_{I_{0}}^{0} I d I = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ . Es geht aber auch ohne Integral — mit demselben Flächentrick, den du vom Kondensator kennst: Trage $L \cdot I$ gegen $I$ auf.

Der Graph von L·I über I ist eine Ursprungsgerade mit Steigung L. Die gespeicherte Energie ist die grüne Dreiecksfläche darunter: E = ½·L·I². Ziehe den Punkt oder die Regler — doppelter Strom, vierfache Energie.

Die Dreiecksfläche unter der Geraden ist $\frac{1}{2} \cdot I \cdot L I$ — also gilt für die Energie des Magnetfelds:

$E_{ma g n} = \frac{1}{2} L I^{2} .$

Das ist völlig analog zur Ladeenergie des Kondensators: Dort war die Energie die Dreiecksfläche unter der Q-U-Geraden, $W = \frac{1}{2} C U^{2}$ . Und wie dort lässt sich die Energie dem Feld selbst zuschreiben: Mit $L = μ_{0} \frac{n ^{2}}{l} A$ und $B = μ_{0} \frac{n}{l} I$ folgt $E_{ma g n} = \frac{1}{2 μ _{0}} B^{2} \cdot A l$ , also für die Energiedichte im Spulenvolumen $V = A l$ :

$ρ_{ma g n} = \frac{E _{ma g n}}{V} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} .$

Damit ist das Kapitel reif für seine Abschlussbilanz. Elektrisches und magnetisches Feld sind sich Zeile für Zeile erstaunlich ähnlich — jede elektrische Größe hat einen magnetischen Zwilling:

Elektrisches Feld	Magnetisches Feld
Feldstärke $E = \frac{F}{q}$ , $[E] = 1 \frac{V}{m}$	Flussdichte $B = \frac{F}{I l}$ , $[B] = 1 T$
Ursache: Ladungen; $σ = \frac{Q}{A} = ε_{0} E$	Ursache: bewegte Ladungen (Ströme); Spule: $B = μ_{0} \frac{N}{l} I$
Feldkonstante $ε_{0}$ , Permittivitätszahl $ε_{r}$	Feldkonstante $μ_{0}$ , Permeabilitätszahl $μ_{r}$
Kraft: $F = q E$	Kraft: $F_{L} = q v B$ (für $v ⊥ B$ )
Kapazität $C = \frac{Q}{U} = ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d}$ , $[C] = 1 F$	Induktivität $L = μ_{0} μ_{r} \frac{n ^{2}}{l} A$ , $[L] = 1 H$
Energie des Kondensators $W = \frac{1}{2} C U^{2}$	Energie der Spule $E_{ma g n} = \frac{1}{2} L I^{2}$
Energiedichte $ρ_{e l} = \frac{1}{2} ε_{0} ε_{r} E^{2}$	Energiedichte $ρ_{ma g n} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0} μ _{r}}$

Diese weitreichende Symmetrie ist kein Zufall — und sie ist mehr als ein hübsches Ordnungsschema. Ein Kondensator speichert Energie im elektrischen, eine Spule im magnetischen Feld. Schaltet man beide zusammen, kann die Energie zwischen den zwei Speichern hin- und herschwingen: Das ist der elektromagnetische Schwingkreis, mit dem das nächste Kapitel beginnt.

Voraussetzungen (1)

Selbstinduktion und Induktivität

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Beim Abschalten des Spulenstroms blitzt eine parallel geschaltete Lampe noch einmal hell auf. Woher stammt diese Energie?

● Aus dem Magnetfeld der Spule, das beim Feldabbau seine Energie abgibt
○ Aus der Batterie, die noch kurz nachliefert
○ Aus der Restwärme des Spulendrahts
○ Aus dem elektrischen Feld der Lampe

Beim Einschalten wurde ein Teil der zugeführten Energie in den Aufbau des Magnetfelds gesteckt. Beim Abschalten wird dieses Feld abgebaut und der Energiebetrag W_m = ½·L·I² wieder frei.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Größe des elektrischen Felds entspricht in der Gegenüberstellung der Induktivität L der Spule?

● Die Kapazität C des Kondensators
○ Der Widerstand R
○ Die Ladung Q
○ Die Spannung U

Beide Größen beschreiben das Speichervermögen ihres Bauteils und hängen nur von dessen Geometrie (und Füllmaterial) ab — C beim Kondensator, L bei der Spule.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welches Formelpaar stellt die Energie von Kondensator und Spule korrekt gegenüber?

● W_el = ½·C·U² und W_m = ½·L·I²
○ W_el = C·U und W_m = L·I
○ W_el = ½·C·I² und W_m = ½·L·U²
○ W_el = Q·U² und W_m = Φ·I²

Der Kondensator speichert über die Spannung, die Spule über die Stromstärke — beide quadratisch mit dem Faktor ½. Diese Symmetrie trägt später den Schwingkreis.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Energie des Magnetfelds einer Spule wächst quadratisch mit der Stromstärke.

✓ Wahr

W_m = ½·L·I² — der Strom geht im Quadrat ein. Verdreifachen der Stromstärke bedeutet die neunfache Feldenergie.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie lautet die Energiedichte des magnetischen Felds?

● w = B²/(2μ₀)
○ w = ½·μ₀·B²
○ w = B/(2μ₀)
○ w = 2·μ₀·B²

Die Energie pro Volumen hängt nur von der Flussdichte ab und wächst quadratisch mit B. Sie ist das magnetische Gegenstück zur elektrischen Energiedichte ½·ε₀·E².

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Beim Abschalten geht die im Magnetfeld gespeicherte Energie verloren.

✓ Falsch

Sie wird beim Feldabbau abgegeben — als Aufblitzen der Lampe, als Wärme oder als Funke. Die Energieerhaltung gilt auch hier.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

In der Gegenüberstellung der Felder ist die Ursache des elektrischen Felds die ruhende Ladung. Was ist die Ursache des magnetischen Felds?

● Bewegte Ladungen, also Ströme
○ Ruhende Ladungen
○ Eisenkerne
○ Elektrische Spannungen

Die Tabelle der Quelle (UE 12) stellt die Ursachen gegenüber — Ladungen erzeugen elektrische Felder, Ströme erzeugen magnetische Felder.

Mittel

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Berechne die im Magnetfeld einer Spule (L = 0,50 H) gespeicherte Energie bei der Stromstärke I = 2,0 A in Joule.

✓ Antwort: 1

W_m = ½·L·I² = 0,5 · 0,50 H · (2,0 A)² = 1,0 J. Diese Energie gibt die Spule beim Abschalten wieder ab.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Das magnetische Feld speichert Energie in der Spule, das elektrische Feld im ___.

✓ Antwort: Kondensator

In der Gegenüberstellung der beiden Felder ist der Kondensator das Speicherelement des elektrischen, die Spule das des magnetischen Felds.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Eine Spule mit L = 0,20 H führt den Strom I = 3,0 A. Berechne die Feldenergie W_m = ½·L·I² in Joule.

✓ Antwort: 0.9

W_m = 0,5 · 0,20 H · (3,0 A)² = 0,5 · 0,20 · 9,0 = 0,90 J.

Schwer

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Die Stromstärke durch eine Spule wird verdoppelt. Um welchen Faktor wächst die im Magnetfeld gespeicherte Energie? (Antwort als Zahl)

✓ Antwort: 4

W_m = ½·L·I² wächst quadratisch mit der Stromstärke — doppelter Strom bedeutet vierfache Feldenergie. Das entspricht der kinetischen Energie ½·m·v² in der Mechanik.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Berechne die Energiedichte des magnetischen Felds bei B = 1,0 T in kJ/m³. (w = B²/(2μ₀) mit μ₀ = 4π·10⁻⁷ Vs/Am, auf ganze Zahl gerundet)

✓ Antwort: 398

w = B²/(2μ₀) = 1,0 / (2 · 4π·10⁻⁷) ≈ 3,98·10⁵ J/m³ ≈ 398 kJ/m³. Ein 1-Tesla-Feld speichert also knapp 0,4 MJ pro Kubikmeter.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Im Magnetfeld einer Spule mit L = 1,0 H sind W_m = 2,0 J gespeichert. Berechne die Stromstärke I in Ampere.

✓ Antwort: 2

Aus W_m = ½·L·I² folgt I = √(2·W_m/L) = √(2 · 2,0 / 1,0) = 2,0 A.