Magnetfeld von Leiter und Spule

Bevor wir Felder ausmessen, ein kurzer Blick zurück auf die Bilder, die du seit der Unterstufe kennst — mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht. Beim Stabmagneten laufen die Feldlinien außen vom Nord- zum Südpol und drängen sich an den Polen; zwischen den Schenkeln eines Hufeisenmagneten dagegen verlaufen sie parallel und gleich dicht — dort ist das Feld näherungsweise homogen.

Zwei Eigenheiten unterscheiden diese Bilder grundlegend vom elektrischen Feld: Es gibt nur magnetische Dipole — niemand hat je einen einzelnen Nord- oder Südpol isoliert —, und die Feldlinien sind geschlossene Linien ohne Anfang und Ende: Was außen von N nach S läuft, schließt sich im Inneren des Magneten. Und noch etwas kennst du aus der Unterstufe: Magnetismus braucht gar keinen Dauermagneten.

1820 bemerkte Hans Christian Ørsted, dass eine Kompassnadel unter einem stromdurchflossenen Draht ausschlägt: Auch elektrische Ströme erzeugen Magnetfelder. Da ein Strom aus bewegten Ladungen besteht, heißt das — die magnetische Wechselwirkung ist im Kern eine Kraftwirkung zwischen bewegten Ladungen. Sage voraus, bevor du weiterliest: Welches Muster zeigen Eisenfeilspäne um einen langen, geraden, stromdurchflossenen Draht?

Konzentrische Kreise. Die Feldlinien laufen ringförmig um den Leiter, und ihren Umlaufsinn liefert die Rechte-Hand-Faustregel: Daumen in die technische Stromrichtung, dann zeigen die gekrümmten Finger den Feldlinien nach. Im Applet kommt der Strom aus der Zeichenebene heraus (Symbol $\odot$; in die Ebene hinein schreibt man $\otimes$). Wie stark das Feld ist, misst eine Hall-Sonde — genau das Messgerät, das der Hall-Effekt uns geschenkt hat. Lege dich fest: Wenn du den Abstand zur Leitung verdoppelst, fällt $B$ dann auf die Hälfte oder auf ein Viertel?

Die Messreihen mit der Sonde geben ein klares Bild: Bei festem Abstand ist $B\propto I$, bei festem Strom $B\propto \frac{1}{r}$ — nicht $\frac{1}{r^2}$! Die Coulomb-Analogie greift hier nicht: Die Quelle ist kein Punkt, sondern ein unendlich langer Draht. Zusammengefasst:

$$B=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\cdot \frac{I}{r}\text{mit}{\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}\approx 1,257\cdot 10^{-6}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}$$

Die Konstante ${\mu }_0$ heißt magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums). Ihr auffällig glatter Wert ist kein Zufall — er kommt aus der historischen Definition des Ampere. Hängen zwei parallele Leitungen nebeneinander, sitzt jede im Kreisfeld der anderen und erfährt dort die Kraft $F=B\cdot I\cdot l$: Bei gleicher Stromrichtung ziehen sie sich an, bei entgegengesetzter stoßen sie sich ab. Pro Meter Leiterlänge ergibt das

$$\frac{F}{l}=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi r}=\frac{4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 1}{2\pi \cdot 1}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}=2\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$$

für $I=1\mathrm{A}$ und $r=1\mathrm{m}$. Genau andersherum wurde das Ampere festgelegt: Fließt durch zwei unendlich lange, parallele Leiter im Abstand $1\mathrm{m}$ ein Strom, der pro Meter die Kraft $2\cdot 10^{-7}\mathrm{N}$ bewirkt, dann beträgt er $1\mathrm{A}$ — und ${\mu }_0$ bekommt seinen glatten Wert.

Jetzt zur Spule: viele Kreisfelder hintereinander. Wickelt man den Draht zu einer langen Spule auf, überlagern sich die Ringfelder der einzelnen Windungen — außen entsteht das Feldbild eines Stabmagneten, innen addieren sich alle Beiträge zu einem parallelen, gleichmäßigen Feld.

Wieder tastet die Hall-Sonde das Feld ab, diesmal im Inneren, und wieder eine Vorhersage vorab: Macht der Spulendurchmesser einen Unterschied? Die systematische Messreihe an der langgestreckten Spule ($l\gg d$) ergibt: $B\propto I$, $B\propto N$, $B\propto \frac{1}{l}$ — und vom Durchmesser unabhängig. Also:

$$B={\mu }_0\cdot \frac{N}{l}\cdot I$$

Der Quotient $N/l$ heißt Windungsdichte: Es zählt nicht, wie viele Windungen die Spule insgesamt hat, sondern wie dicht sie gewickelt ist. Ein Kern aus ferromagnetischem Material verstärkt das Feld um die Permeabilitätszahl ${\mu }_r$ — für Eisen groß, aber nicht konstant: $B={\mu }_0{\mu }_r\frac{N}{l}I$.

Ein Zahlenbeispiel zum Verankern: Eine Spule mit $N=600$ Windungen und $l=15\mathrm{cm}$ führt $I=2,0\mathrm{A}$:

$$B=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}\cdot \frac{600}{0,15\mathrm{m}}\cdot 2,0\mathrm{A}\approx 1,0\cdot 10^{-2}\mathrm{T}=10\mathrm{mT}$$

Das ist zweihundertmal stärker als das Erdmagnetfeld ($\approx 48\mu \mathrm{T}$) — mit nichts als aufgewickeltem Draht. Leiterfeld und Spulenfeld sind damit die ersten Magnetfelder, die du vollständig berechnen kannst; die Induktion, der Elektromotor und der Transformator bauen alle drei darauf auf.