Relativistische Masse und Energie

Am Ende des Beschleuniger-Themas blieb eine Störung zurück: Oberhalb von etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit geraten Zyklotron-Teilchen aus dem Takt. Dahinter steckt ein Befund, der sich in jedem Beschleuniger wiederholt: Trotz konstanter Kraft nimmt die Beschleunigung mit wachsender Geschwindigkeit immer weiter ab — als würde die Trägheit der Teilchen mit dem Tempo zunehmen.

Walter Kaufmann (1901) und Alfred Bucherer (1909) haben das vermessen — mit einer Apparatur, die du vollständig kennst. Ein β-Präparat liefert Elektronen aller Geschwindigkeiten in einen flachen Kondensator, den senkrecht ein Magnetfeld durchsetzt: Kondensator plus Magnetfeld wirken als Geschwindigkeitsfilter, nur Elektronen mit $v=E/B$ kommen radial heraus. Draußen wirkt nur noch das Magnetfeld: Aus dem Kreisbogenradius folgt $e/m=v/(rB)$. So bekommt man $e/m$ als Funktion von $v$ — Messpunkt für Messpunkt.

Das Ergebnis: $e/m$ sinkt mit steigender Geschwindigkeit. Die Ladung hängt nicht von der Geschwindigkeit ab — also muss die Masse wachsen. Bevor du die Kurve ansiehst, überlege: Wie müsste $m(v)$ aussehen, wenn die Lichtgeschwindigkeit für ein massives Teilchen unerreichbar sein soll?

Die Messpunkte liegen exakt auf der Kurve, die Einstein 1905 — vor Bucherers Messung — vorhergesagt hatte:

$$m(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma m_0\text{mit}\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

$m_0$ ist die Ruhemasse. Zwei Warnschilder gehören an diese Formel. Erstens: Die relativistische Masse ist ein rechnerisches Hilfsmittel — das Teilchen gewinnt keine Substanz, es wird nur immer schwerer zu beschleunigen. Zweitens: Weil $\gamma$ bei $v\to c$ über alle Grenzen wächst, ist die Lichtgeschwindigkeit eine Grenzgeschwindigkeit, die kein Körper erreicht — genau das zeigt die senkrechte Wand im Applet.

Aus der Masse wird Energie: Nach Einstein trägt ein Teilchen die Gesamtenergie

$$E=m{c}^2=\gamma m_0{c}^2$$

In Ruhe bleibt die Ruheenergie $E_0=m_0{c}^2$ — für ein Elektron $511\mathrm{keV}$ —, und was darüber liegt, ist kinetische Energie: $E_{kin}=(\gamma -1)m_0{c}^2$. Die E_kin-Anzeige im Applet rechnet genau das für ein Elektron aus. Faustregel: Ab $v>0,1c$ ist die klassische Formel $\frac{1}{2}m{v}^2$ verboten. Wie sehr, zeigt Stanford 1974: Elektronen mit $20,5\mathrm{GeV}$ — klassisch gerechnet wären das $v\approx 280c$. Gemessen wurde, natürlich, knapp $c$.

Warum? Die Lichtuhr

Dass Einstein diese Kurve vorhersagen konnte, liegt an zwei Postulaten von 1905: Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form — und Licht bewegt sich im Vakuum in jedem Inertialsystem mit demselben $c$, egal wie sich die Quelle bewegt. Das zweite widerspricht dem Alltag: Geschwindigkeiten sollten sich doch addieren. Nimm beide Postulate ernst und baue die einfachste Uhr der Welt — einen Lichtblitz zwischen zwei Spiegeln, jede Ankunft ein „Tick":

Jetzt lass dieselbe Uhr mit Geschwindigkeit $v$ nach rechts fliegen und schau von außen zu. Während der Puls steigt, wandert der obere Spiegel davon — sag voraus: Wird der Lichtweg länger oder kürzer? Und was bedeutet das für die Tickdauer, wenn das Licht trotzdem mit $c$ unterwegs ist?

Der Weg wird zur Hypotenuse — länger als $d$ — und bei gleichem $c$ dauert der Tick von außen gesehen länger. Der Satz des Pythagoras macht daraus eine Formel:

$$(c\Delta t_R{)}^2=(c\Delta t_0{)}^2+(v\Delta t_R{)}^2⟹\Delta t_0=\Delta t_R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Bewegte Uhren gehen langsamer — die Eigenzeit der Uhr ist die kürzeste. Dieselbe Wurzel verkürzt bewegte Längen ($l_K=l\sqrt{1-v^2/c^2}$), und sie ist exakt der Kehrwert des $\gamma$ aus der Massenkurve: Zeitdilatation, Längenkontraktion und Massenzunahme sind drei Gesichter derselben Geometrie. Dass das keine Gedankenspielerei ist, zeigen die Myonen der Höhenstrahlung: In 10 km Höhe erzeugt, dürften sie klassisch nur ~660 m weit kommen — dank $\gamma \approx 16$ erreichen sie den Boden. Und das Zyklotron? Sein Takt bricht bei $0,1c$, weil $T=2\pi \gamma m_0/(qB)$ mitwächst — die Störung vom Anfang ist erklärt.