Kreisbahn im Magnetfeld

Im Fadenstrahlrohr wird die Kreisbahn zum ersten Mal sichtbar: In einem Glaskolben mit verdünntem Gas beschleunigt eine Elektronenkanone die Elektronen mit $U_B$; senkrecht zu den Feldlinien eines Helmholtz-Spulenpaares treten sie ins homogene Magnetfeld ein. Entlang der Bahn regen sie Gasatome zum Leuchten an — die Bahn erscheint als feiner Leuchtfaden, und man kann ihren Radius mit Messmarken ablesen.

Warum ein Kreis? Die Lorentzkraft steht in jedem Augenblick senkrecht auf $v$. Sie verrichtet deshalb keine Arbeit: $|\vec{v}|$ bleibt konstant, nur die Richtung dreht sich — eine Kraft konstanten Betrags, immer quer, erzwingt einen Kreis. Bevor du am Applet drehst, zwei Vorhersagen: Was macht der Radius, wenn du $B$ erhöhst? Und was, wenn du die Elektronen mit höherem $U_B$ schneller machst?

Beobachtung eins: Stärkeres $B$, engerer Kreis. Beobachtung zwei — die Überraschung aus dem Polarlicht-Artikel, jetzt in Zahlen: Schnellere Elektronen ziehen größere Kreise, obwohl die Kraft mit $v$ wächst. Die Rechnung dahinter ist zwei Zeilen lang. Die Lorentzkraft ist die Zentripetalkraft:

$$qvB=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{mv}{qB}$$

Links wächst die Kraft nur linear mit $v$, rechts der Bedarf quadratisch — also bleibt ein Faktor $v$ im Zähler übrig: Schnelle Teilchen fliegen auf weiteren Kreisen.

Aus $r=\frac{mv}{qB}$ folgt nebenbei ein Satz, der später das Zyklotron trägt. Die Umlaufdauer ist

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$$

— $v$ kürzt sich heraus. Schnelle Teilchen laufen größere Kreise, brauchen aber exakt gleich lange für eine Runde. Merk dir das; wir kommen darauf zurück.

Die Waage für das Unwägbare: e/m

Jetzt wird das Fadenstrahlrohr zum Messinstrument. Im Applet stehen drei messbare Größen: $U_B$ (eingestellt), $B$ (aus dem Spulenstrom) und $r$ (abgelesen). Kombiniere $r=\frac{mv}{eB}$ mit dem Energieansatz $v=\sqrt{2e{U}_B/m}$ aus dem Längsfeld, und $v$ fällt heraus:

$$\frac{e}{m}=\frac{2U_B}{B^2{r}^2}$$

Genau das zeigt die orange Anzeige im Applet: Egal wie du $U_B$ und $B$ verstellst — Radius und Geschwindigkeit ändern sich, aber $2U_B/(B^2{r}^2)$ bleibt bei $1,75\cdot 10^{11}C/kg$ stehen. Diese spezifische Ladung ist ein Fingerabdruck des Elektrons (Literaturwert $1,759\cdot 10^{11}C/kg$). Zusammen mit der Elementarladung aus dem Millikan-Versuch liefert sie die Elektronenmasse: $m_e=9,109\cdot 10^{-31}\mathrm{kg}$ — gewogen mit einem Leuchtfaden.

Schräger Einschuss: die Schraubenbahn

Bisher trat der Strahl exakt senkrecht ein. Was passiert bei einem Einschusswinkel $\alpha$ zwischen Feldlinie und Geschwindigkeit? Zerlege $v$: Die Komponente $v_{\parallel }=v\cos \alpha$ längs der Linie spürt keine Kraft und driftet gleichförmig; die Komponente $v_{\perp }=v\sin \alpha$ quer dazu läuft den Kreis mit $r=\frac{m{v}_{\perp }}{qB}$. Beides zusammen ergibt eine Schraubenbahn um die Feldlinie:

Schiebe $\alpha$ einmal von 90° bis fast 0°: Kreis und Gerade sind nur die Grenzfälle derselben Bahn. Genau auf solchen Schraubenbahnen spiralen Sonnenwind-Teilchen die Erdfeldlinien entlang zu den Polen — das Polarlicht aus dem Auftakt-Artikel. Und die Anwendungen der quantitativen Formeln warten schon: Massenspektrometer und Zyklotron sortieren und beschleunigen Teilchen mit nichts als $r=\frac{mv}{qB}$ und $T=\frac{2\pi m}{qB}$.