Überlagerung elektrischer Felder

Superposition of Electric Fields

Physik Klasse 12 13 Aufgaben

Elektrisches FeldCoulomb-GesetzKerncurriculum

Felder mehrerer Ladungen überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip: Die resultierende Feldstärke am betrachteten Ort ist die Vektorsumme der Einzelfeldstärken — bloß die Beträge zu addieren ist der im CSEM dokumentierte Standardfehler (Maloney et al. 2001), der an Punkten zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Ladungen systematisch auffliegt. Das Gesamtpotential dagegen ist die skalare Summe der Einzelpotentiale (gleicher Bezugspunkt vorausgesetzt) — oft der schnellere Weg. Die Feldlinienbilder des Dipols und zweier gleichnamiger Ladungen zeigen neutralen Punkt, Verdichtung und Symmetrie. Trägt die Bewegung geladener Teilchen in zusammengesetzten Feldern.

Eine Punktladung: erledigt — Radialfeld, Coulombgesetz, 1/r²-Abfall. Aber die Welt besteht selten aus einer einzigen Ladung. Was ist das Feld an einem Punkt P, wenn zwei Ladungen gleichzeitig wirken — eine positive $Q_{1}$ und eine negative $Q_{2}$ ? Lege dich fest, bevor du weiterliest: Darf man einfach die beiden Feldstärke-Beträge addieren?

Die Antwort ist das Superpositionsprinzip, und es ist strenger und einfacher zugleich: Jede Ladung baut ihr Feld auf, als wäre sie allein. Am Punkt P addieren sich die Einzelfelder — aber als Vektoren, mit Richtung, nach dem Kräfteparallelogramm:

$E = E_{1} + E_{2} + \dots + E_{n}$

Ziehe den Punkt P über die Ebene. E₁ zeigt von der positiven Ladung Q₁ weg, E₂ zur negativen Q₂ hin; das graue Parallelogramm setzt beide zum resultierenden Feldvektor E zusammen. Die Anzeigen geben die Einzelbeträge in relativen Einheiten an.

Spiele drei Stellungen durch, sie enthalten die ganze Pointe. Erstens: auf der Verbindungslinie zwischen den Ladungen zeigen E₁ und E₂ in dieselbe Richtung (weg von +, hin zu −) — hier, und nur hier, addieren sich tatsächlich die Beträge. Zweitens: ziehe P weit nach links oder rechts außen: Die Vektoren stehen fast entgegengesetzt, das resultierende Feld ist kleiner als das größere Einzelfeld. Wer Beträge addiert, liegt hier maximal daneben. Drittens: irgendwo dazwischen entsteht jede Richtung, die das Parallelogramm hergibt — folge mit P einmal einer gedachten Feldlinie von Q₁ nach Q₂: Der Vektor E ist an jedem Punkt ihre Tangente. Genau so sind die gebogenen Linien im Dipol-Feldlinienbild aus dem Feldkonzept-Abschnitt konstruiert; zwischen zwei gleichnamigen Ladungen löschen sich die Einzelfelder in der Mitte sogar vollständig aus — der neutrale Punkt.

Für das Potential ist die Rechnung gnädiger. Potentiale sind Zahlen, keine Vektoren — sie addieren sich skalar (gemeinsamer Bezugspunkt vorausgesetzt):

$φ = φ_{1} + φ_{2} + \dots + φ_{n}$

Wo Vektorgeometrie mühsam wird, rechnet man deshalb oft über das Potential und holt sich das Feld erst am Ende. Beide Wege müssen dasselbe liefern — das ist eine beliebte Kontrollrechnung.

Damit ist der Werkzeugkasten des Kapitels vollständig, und die Anfangsfrage des Gewitter-Artikels lässt sich rückwärts lesen: Wolkenbasis, Bodenladung, Kirchturmspitze — das reale Feld über München ist die Superposition all dieser Beiträge. Dass es an der Spitze am stärksten wird und dort der Blitz zündet, ist keine neue Physik, sondern Vektoraddition. Als Nächstes lassen wir geladene Teilchen durch solche Felder fliegen.

Voraussetzungen (1)

Coulombgesetz und Radialfeld

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Zwei Ladungen erzeugen an einem Punkt die Einzelfeldstärken E₁ und E₂. Wie ergibt sich die resultierende Feldstärke?

● Als Vektorsumme der Einzelfeldstärken an diesem Ort
○ Als Summe der Beträge E₁ + E₂
○ Als Mittelwert der beiden Feldstärken
○ Die stärkere Feldstärke verdrängt die schwächere

Feldstärken addieren sich wie die Kräfte, aus denen sie definiert sind — vektoriell mit Richtung. Beträge einfach zu addieren ist der Standardfehler und stimmt nur im Spezialfall gleicher Richtung; Felder verdrängen einander nicht.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei Einzelfeldstärken von 500 N/C und 200 N/C zeigen an einem Punkt in entgegengesetzte Richtungen. Berechne den Betrag der resultierenden Feldstärke. (Antwort in N/C)

✓ Antwort: 300

Antiparallele Vektoren subtrahieren sich, 500 − 200 = 300 N/C in Richtung des stärkeren Feldes. Die Addition zu 700 N/C wäre der typische Betragsfehler.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wie ergibt sich das Gesamtpotential eines von mehreren Ladungen erzeugten Feldes an einem Ort?

● Als einfache Summe der Einzelpotentiale, sofern alle denselben Bezugspunkt haben
○ Als Vektorsumme der Einzelpotentiale
○ Als Produkt der Einzelpotentiale
○ Nur über die resultierende Feldstärke berechenbar

Das Potential ist eine skalare Größe — Zahlen mit Vorzeichen werden schlicht addiert, was Rechnungen oft deutlich abkürzt. Voraussetzung ist ein gemeinsamer Bezugspunkt (beim Coulombpotential das Unendliche); eine Vektorsumme gibt es hier nicht.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

An einem Punkt erzeugt die Ladung Q₁ das Potential φ₁ = 120 V, die Ladung Q₂ das Potential φ₂ = −40 V (gleicher Bezugspunkt). Berechne das Gesamtpotential. (Antwort in V)

✓ Antwort: 80

Potentiale addieren sich skalar mitsamt Vorzeichen, φ = 120 + (−40) = 80 V. Negative Ladungen liefern negative Beiträge — hier braucht es keine Vektorzerlegung.

Lückentext #5 15s ▶ Testen

Feldstärken überlagern sich ___, Potentiale dagegen skalar.

✓ Antwort: vektoriell

Die Feldstärke erbt ihren Vektorcharakter von der Kraft, das Potential seine Skalarnatur von der Energie. Diese Arbeitsteilung macht den Potentialweg bei vielen Aufgaben zum schnelleren Rechenweg.

Mittel

Wahr / Falsch #1 25s ▶ Testen

Zeigen die Einzelfeldstärken E₁ = 300 N/C und E₂ = 400 N/C an einem Punkt in verschiedene Richtungen, so ist die resultierende Feldstärke trotzdem stets 700 N/C.

✓ Falsch

700 N/C ergibt sich nur, wenn beide Vektoren exakt gleichgerichtet sind — bei jedem Winkel dazwischen ist die Resultierende kleiner, senkrecht z.B. 500 N/C. Die Betragssumme ignoriert die Richtungen und überschätzt das Feld.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

An einem Punkt stehen die Einzelfeldstärken E₁ = 300 N/C und E₂ = 400 N/C senkrecht aufeinander. Berechne den Betrag der resultierenden Feldstärke. (Antwort in N/C)

✓ Antwort: 500

Vektoraddition senkrechter Komponenten mit Pythagoras — E = √(300² + 400²) = 500 N/C. Die Betragssumme 700 N/C wäre falsch, weil sie die Richtungen unterschlägt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Genau in der Mitte zwischen zwei gleich großen positiven Ladungen erzeugt jede Ladung die Einzelfeldstärke 800 N/C. Berechne den Betrag der resultierenden Feldstärke. (Antwort in N/C)

✓ Antwort: 0

Die beiden Feldvektoren sind gleich groß und exakt entgegengerichtet — sie heben sich auf, der Mittelpunkt ist ein neutraler Punkt des Feldes. Die Betragssumme 1600 N/C wäre grob falsch.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

In der Mitte zwischen den Ladungen +Q und −Q (Dipol) erzeugt jede Ladung die Einzelfeldstärke 1000 N/C. Berechne den Betrag der resultierenden Feldstärke. (Antwort in N/C)

✓ Antwort: 2000

Beide Feldvektoren zeigen von +Q weg bzw. zu −Q hin — also in dieselbe Richtung — und addieren sich zu 2000 N/C. Der Vergleich mit den gleichnamigen Ladungen zeigt, dass allein die Richtungen über das Ergebnis entscheiden.

Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Ein Feldlinienbild zeigt bogenförmige Linien, die alle an der linken Ladung beginnen und an der rechten enden. Welche Ladungen sind das?

○ +Q links, +Q rechts
○ −Q links, +Q rechts
● +Q links, −Q rechts

Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen. Linien, die von der einen Ladung zur anderen laufen, zeigen einen Dipol, die Quelle liegt links: +Q links, −Q rechts. Zwei gleichnamige Ladungen sähen anders aus – ihre Linien laufen voneinander weg, und dazwischen liegt ein feldfreier neutraler Punkt.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Zwei gleich große positive Ladungen liegen nebeneinander. Was zeigt ihr Feldlinienbild in der Mitte zwischen den Ladungen?

● Einen neutralen Punkt, an dem die Feldstärke null ist und keine Feldlinie verläuft
○ Besonders dichte Feldlinien von einer Ladung zur anderen
○ Feldlinien, die sich in der Mitte kreuzen
○ Ein homogenes Feld wie im Plattenkondensator

Die Felder gleichnamiger Ladungen heben sich in der Mitte auf — die Feldlinien weichen einander aus, als würden sich die Felder "wegdrücken". Verbindende dichte Linien zeigt nur der Dipol; kreuzen dürfen sich Feldlinien nie.

Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

Die Anwesenheit einer dritten Ladung verändert die Einzelfeldstärken, die die beiden anderen Ladungen an einem Punkt erzeugen.

✓ Falsch

Das Superpositionsprinzip besagt gerade, dass jede Ladung ihr Feld unabhängig von den übrigen aufbaut — die Beiträge werden erst am betrachteten Punkt vektoriell zusammengesetzt. Felder stören einander nicht, sie überlagern sich.

Schwer

Wahr / Falsch #1 30s ▶ Testen

In der Mitte zwischen den Ladungen +Q und −Q ist das Gesamtpotential null, obwohl die Feldstärke dort nicht null ist.

✓ Wahr

Die Einzelpotentiale +φ und −φ sind betragsgleich und heben sich skalar auf, während die Feldvektoren gleichgerichtet sind und sich addieren (auf der Verbindungslinie ist das sogar die kleinste Feldstärke zwischen den Ladungen, aber eben nicht null). Feldstärke null und Potential null fallen also keineswegs zusammen — beide Größen antworten auf verschiedene Fragen.