Coulombgesetz und Radialfeld

Für das homogene Feld haben wir alles: E = U/d, W = qEs. Aber das Feld einer Punktladung — einer geladenen Kugel, eines Protons — ist radial, und dort ist nichts homogen. Wie stark ist es im Abstand r? Die Antwort liefert ein Versuch von Henry Cavendish, der die Influenz zum Messinstrument macht: Über eine Kugel mit Ladung +Q stülpt man eine leitende Hohlkugel aus zwei Halbschalen.

Das Messergebnis ist der Schlüssel: Die influenzierte Ladung ist immer −Q, unabhängig vom Radius der Hohlkugel. Auf jeder gedachten Kugelfläche um Q „endet" also die gesamte Feldwirkung — nur verteilt sie sich auf eine immer größere Fläche $4\pi r^2$. Die Flächenladungsdichte ist $\sigma =Q/(4\pi r^2)$, und mit der Grundgleichung $\sigma ={\epsilon }_{0}E$ aus dem Kondensator-Abschnitt folgt der Betrag der Feldstärke:

$$E(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{r^2}$$

Jetzt setze eine zweite Ladung $Q_2$ in dieses Feld. Sie spürt $F=Q_2\cdot E_1(r)$ — ihr eigenes Feld übt auf sie selbst keine Kraft aus. Das ist das Coulomb-Gesetz:

$$F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$$

Zwei Anmerkungen, die Prüfungen entscheiden: Erstens wirkt die Kraft auf beide Ladungen gleich stark und entgegengesetzt — auch zwischen einer großen und einer winzigen Ladung. Zweitens gilt die Formel exakt für Punktladungen; eine geladene Kugel wirkt nach außen, als säße ihre gesamte Ladung im Mittelpunkt. Und in ihrem Inneren? Dort ist $E=0$ — wäre irgendwo im Leiterinneren ein Feld, würde es die frei beweglichen Elektronen so lange verschieben, bis es verschwunden ist. Dieses Gleichgewichtsargument hast du beim Faradayschen Käfig im Gewitter-Artikel schon eingesetzt.

Bleibt die Energiefrage. Wer eine positive Ladung q gegen die Abstoßung von Q von $r_2$ auf $r_1<r_2$ heranschiebt, verrichtet Arbeit — aber anders als im homogenen Feld ist die Kraft unterwegs nicht konstant, sie wächst beim Annähern. Der Ausweg ist derselbe wie beim Laden des Kondensators: kleine Schritte, und die Arbeit ist die Fläche unter der Kurve — hier der r-F-Kurve.

Die Auswertung dieser Fläche (mit Analysis: Integration; elementar plausibel über das geometrische Kraftmittel $F_g=\sqrt{F(r_1)F(r_2)}$) liefert:

$$W_{21}=\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$

Wählt man als Bezugspunkt $r\to \infty$ (Potential null im Unendlichen), wird daraus das Coulomb-Potential des Radialfelds:

$$\phi (r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{r}$$

Für die potentielle Energie einer Ladung q gilt entsprechend $W_{\mathrm{pot}}(r)=q\cdot \phi (r)$. Merke dir das Bild vom Potentialberg: Es trägt die Streuversuche der Atomphysik, die Ionisationsenergien — und die Frage, wie viel Energie es kostet, zwei Protonen im Kern zusammenzuhalten. Wie stark die elektrische Kraft dort ist, zeigt der Vergleich mit der Gravitation: Für zwei Protonen ist $F_G/F_{el}\approx 8\cdot 10^{-37}$ — unabhängig vom Abstand. Die Schwerkraft spielt zwischen Elementarteilchen schlicht keine Rolle.