Die erste Formel anwenden

Using the first formula

Mathematik Klasse 7 22 Aufgaben
AlgebraBinomische FormelnTerme

Die erste binomische Formel wird auf Terme mit Koeffizienten angewendet: In (2x + 5)² ist a = 2x und b = 5, das Quadrat 4x² + 20x + 25 entsteht aus a², 2ab und b². Der Abschnitt räumt aus, dass der Koeffizient nicht mitquadriert wird ((2x)² = 2x², Malle 1993), dass das mittlere Glied ohne den Faktor 2 oder ohne beide Summanden gebildet wird und dass 103² = 100² + 3² gelte. Er bereitet die Formelwahl und das Rechnen mit Quadraten im Kopf vor.

a und b bestimmen, das mittlere Glied

Bevor du die Formel anwendest, lies a und b ab. In (2x + 5)² ist a = 2x und b = 5. Beide gehören ganz in die Formel, mit ihrem Koeffizienten: a² = (2x)² = 4x², nicht 2x². Auch die 5 wird quadriert: b² = 25. Bei (x + 8)² ist a = x und b = 8; das x hat den Koeffizienten 1, deshalb bleibt a² = x².

Das mittlere Glied ist 2 · a · b = 2 · 2x · 5 = 20x. Es enthält beide Summanden und den Faktor 2. Oft fehlt dieser Faktor 2: 10x wäre nur ein einziges der beiden Rechtecke. Im Bild sind es zwei Rechtecke mit je 10x. Bei (3a + 2)² ist das mittlere Glied 2 · 3a · 2 = 12a.

Verändere x. Wie groß sind die beiden grünen Rechtecke zusammen?

Alles zusammen

So gehst du immer vor: a und b ablesen, a², 2ab und b² einzeln ausrechnen und zuletzt zusammenfassen.

Probe für x = 1: (2 + 5)² = 49 und 4 + 20 + 25 = 49. Auch Zahlen lassen sich so quadrieren: 103² = (100 + 3)² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609. Damit ist Lenas Rechnung geklärt. Ein zweites Beispiel: (3a + 2)² = 9a² + 12a + 4.

Das Quadrat (2x + 5)² mit a = 2x und b = 5 besteht aus drei Teilen: a² = 4x², 2ab = 20x und b² = 25(2x + 5)² = (2x)² + 2 · 2x · 5 + 5²a²(2x)² = 4x²2ab2 · 2x · 5 = 20xb²5² = 25++a = 2x, b = 5
Die drei Teile von (2x + 5)²: a², 2ab und b².

Voraussetzungen (1)

Quadrat einer Summe
Klasse 7
›

Ermöglicht (1)

Die richtige Formel wählen
Klasse 7
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Was ist a² in (3x + 4)²?

  • ● 9x²
  • ○ 3x²
  • ○ 9x
a = 3x, also a² = (3x)² = 3x · 3x = 9x². 3x² quadriert nur das x, 9x nur die 3.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Was ist b² in (2y + 7)²?

  • ● 49
  • ○ 14
  • ○ 7
b = 7, also b² = 7² = 49. 14 verdoppelt statt zu quadrieren, 7 lässt das Quadrieren weg.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

(3x)² = 6x²

✓ Falsch
(3x)² = 3x · 3x = 9x². 6x² verdoppelt statt zu quadrieren: Auch die 3 wird quadriert.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie lautet das mittlere Glied von (2x + 5)²?

  • ● 20x
  • ○ 10x
  • ○ 20
2 · 2x · 5 = 20x: beide Summanden und der Faktor 2. 10x hat den Faktor 2 vergessen (das wäre nur ein Rechteck), 20 lässt das x weg.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Das Quadrat hat die Seite 3a + 2. Wie groß ist eines der beiden gemischten Rechtecke?

  • ● 6a
  • ○ 5a
  • ○ 6
Das Rechteck ist 3a lang und 2 breit: 3a · 2 = 6a. 5a addiert 3a und 2, 6 lässt das a weg.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Das mittlere Glied von (x + 6)² ist 6x.

✓ Falsch
2 · x · 6 = 12x. 6x ist nur eines der beiden Rechtecke.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: (3a + 2)²

  • ● 9a² + 12a + 4
  • ○ 9a² + 4
  • ○ 3a² + 6a + 4
a = 3a, b = 2: a² = 9a², 2ab = 12a, b² = 4. 9a² + 4 lässt das mittlere Glied weg, 3a² + 6a + 4 quadriert den Koeffizienten nicht.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: (x + 8)²

  • ● x² + 16x + 64
  • ○ x² + 64
  • ○ x² + 8x + 64
Das mittlere Glied ist 2 · x · 8 = 16x. x² + 64 lässt es weg, x² + 8x + 64 vergisst den Faktor 2.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

(2y + 1)² = 4y² + 4y + 1

✓ Wahr
Richtig: (2y)² = 4y², 2 · 2y · 1 = 4y, 1² = 1.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Wie rechnest du 52² geschickt?

  • ● 50² + 2 · 50 · 2 + 2²
  • ○ 50² + 2²
  • ○ 50² + 2 · 50 + 2
52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704. 50² + 2² = 2504 lässt das mittlere Glied weg, 50² + 2 · 50 + 2 = 2602 rechnet es falsch.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Es gilt (5x)² = k · x². Wie groß ist k?

✓ Antwort: 25
(5x)² = 5x · 5x = 25x², also k = 25.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Es gilt (x + 6)² = x² + m · x + 36. Wie groß ist m?

✓ Antwort: 12
Das mittlere Glied ist 2 · x · 6 = 12x, also m = 12.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: (x + 5)² = x² + 10x + ___

✓ Antwort: 25
5² = 25.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

In (x + 5)² ist a = x. Wie groß ist b?

✓ Antwort: 5
Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

(x + 5)² = x² + □x + 25. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 10
Zahleneingabe #6 35s ▶ Testen

(x + 9)² = x² + □x + 81. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 18
Zahleneingabe #7 35s ▶ Testen

(2x + 3)² = 4x² + □x + 9. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 12
Zahleneingabe #8 35s ▶ Testen

(3x + 2)² = 9x² + □x + 4. Was gehört in die Lücke?

✓ Antwort: 12
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Eine quadratische Fliese hat die Seitenlänge 3x cm. Wie groß ist ihre Fläche für x = 4 in cm²?

✓ Antwort: 144
Für x = 4 ist die Seite 12 cm, die Fläche 12² = 144 cm². Mit dem Term: (3x)² = 9x² = 9 · 16 = 144.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Von (7a + 2)² wird nur das mittlere Glied gebraucht. Wie groß ist sein Koeffizient (die Zahl vor a)?

✓ Antwort: 28
2 · 7a · 2 = 28a. Der Koeffizient ist 28.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 103² im Kopf mit (100 + 3)².

✓ Antwort: 10609
(100 + 3)² = 10 000 + 2 · 100 · 3 + 9 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Multipliziere aus: (3x + 4)². Zeichne das Quadrat mit der Seite 3x + 4, beschrifte die vier Teilflächen, fasse zusammen und prüfe dein Ergebnis für x = 1. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Quadrat mit der Seite 3x + 4; Teilflächen (3x)² = 9x², zweimal 3x · 4 = 12x und 4² = 16. (3x + 4)² = 9x² + 24x + 16. Probe für x = 1: (3 + 4)² = 49 und 9 + 24 + 16 = 49.
a = 3x, b = 4: a² = 9x², 2ab = 24x, b² = 16. Probe für x = 1: 49 = 9 + 24 + 16.