Bruchterme und Definitionsmenge

Algebraic fractions and domain

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
AlgebraBrücheTerme

Ein Bruchterm hat im Nenner eine Variable. Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer: (x + 3)/x ist etwas anderes als x + 3/x. Den Termwert erhältst du, indem du x einsetzt und der Struktur folgst. Durch null darf man nicht teilen, deshalb nimmt die Definitionsmenge D = ℚ \ {…} alle Zahlen heraus, die den Nenner null machen; ein Zähler null ist erlaubt. Der Abschnitt räumt zwei Fehler aus: den Bruchstrich nicht als Klammer zu lesen und die Nullstelle des Zählers auszuschließen. Er bereitet das Kürzen, Bruchgleichungen und Polstellen vor.

Der Bruchstrich klammert

Ein Bruchterm hat im Nenner eine Variable, zum Beispiel . Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer: Zähler und Nenner werden für sich berechnet, dann wird geteilt. Bei x + 3/x wird dagegen nur die 3 durch x geteilt. Für x = 3 ist , aber x + 3/x = 3 + 1 = 4. Den Termwert erhältst du, indem du x einsetzt und der Struktur folgst. Frage dich immer: Was steht im Zähler, was im Nenner?

Rechenbaum zum Term (x + 3) : x : + x 3 x Rechenbaum zum Term x + 3 : x + x : 3 x
Links wird die ganze Summe x + 3 durch x geteilt, rechts nur die 3.

Wo der Nenner null wird

Durch null darf man nicht teilen. In einem Bruchterm sind deshalb alle Zahlen verboten, die den Nenner null machen. Bei ist das x = 2, denn . Die Definitionsmenge ist . Ein Zähler null ist erlaubt: hat bei x = 2 den Wert 0. Bei mehreren Nennerfaktoren, etwa 1/(x(x − 3)), fällt jede Nullstelle heraus: D = ℚ \ {0, 3}.

Schiebe x von 1,75 auf 2,25. Was passiert mit dem Nenner und mit dem Wert y?

Ermöglicht (1)

Erweitern und Kürzen
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat der Term (x + 4)/x für x = 2?

  • ● 3
  • ○ 4
  • ○ 6
Zuerst die Summe im Zähler: (2 + 4)/2 = 6/2 = 3. 4 ergibt sich, wenn man x + 4/x liest (2 + 2), 6 ergibt sich, wenn man den Nenner vergisst.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher Term gehört zu diesem Rechenbaum?

  • ● (x + 3)/x
  • ○ x + 3/x
  • ○ x + 3 · x
Die Wurzel des Baums ist die Division: Die Summe x + 3 wird als Ganzes durch x geteilt. x + 3/x hätte die Addition als Wurzel.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat (x + 3)/(x − 1) für x = 5?

  • ● 2
  • ○ 4,6
  • ○ 0,6
Zähler 5 + 3 = 8, Nenner 5 − 1 = 4, also 8/4 = 2. 4,6 liest x + 3/x − 1, und 0,6 zieht die 1 vom ganzen Bruch ab: 8/5 − 1.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat 6/(x + 1) für x = −3?

  • ● −3
  • ○ −1
  • ○ 3
Der Nenner ist −3 + 1 = −2, also 6/(−2) = −3. −1 liest 6/x + 1 (−2 + 1), 3 vergisst das Vorzeichen.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Für welchen Wert von x ist 5/(x − 4) nicht definiert?

  • ● 4
  • ○ −4
  • ○ 5
Der Nenner x − 4 ist null für x = 4. −4 ist die Lösung von x + 4 = 0, und 5 ist der Zähler, der nichts ausschließt.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Graph von y = 6/(x − 2) reißt an einer Stelle ab. Welche Stelle x ist das?

  • ● 2
  • ○ −2
  • ○ 6
Der Graph fehlt dort, wo der Nenner x − 2 null ist: bei x = 2. Der Zähler 6 spielt keine Rolle, und −2 wäre die Lücke von 6/(x + 2).
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Term (x − 2)/(x + 5) ist für x = 2 nicht definiert.

✓ Falsch
Für x = 2 ist der Zähler 0 und der Nenner 7: (2 − 2)/(2 + 5) = 0/7 = 0. Nur ein Nenner 0 verbietet den Wert; der Term ist nur bei x = −5 nicht definiert.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Definitionsmenge hat 6/(x − 2)?

  • ● ℚ \ {2}
  • ○ ℚ \ {−2}
  • ○ ℚ \ {0}
Ausgeschlossen wird die Nullstelle des Nenners: x − 2 = 0 gilt für x = 2. Die 0 bliebe nur bei 6/x ausgeschlossen.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Zahlenstrahl zeigt eine Definitionsmenge D = ℚ \ {0, 3}. Welcher Term hat diese Definitionsmenge?

  • ● 1/(x(x − 3))
  • ○ 1/(x − 3)
  • ○ 1/(x + 3)
Der Nenner muss bei x = 0 und bei x = 3 null werden: x · (x − 3). 1/(x − 3) schließt nur die 3 aus, 1/(x + 3) die −3.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne den Wert von x + 12/x für x = 4.

✓ Antwort: 7
Erst 12/4 = 3, dann 4 + 3 = 7. Hier wird nur die 12 durch x geteilt, nicht die Summe.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne den Wert von 12/(x − 1) für x = 5.

✓ Antwort: 3
Nenner 5 − 1 = 4, dann 12 : 4 = 3.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für welches x wird der Nenner von 8/(2x − 6) gleich null?

✓ Antwort: 3
2x − 6 = 0 ergibt 2x = 6 und x = 3.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für 3/(x + 7) gilt D = ℚ \ {a}. Welche Zahl ist a?

✓ Antwort: -7
x + 7 = 0 ergibt x = −7, also D = ℚ \ {−7}.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für x = 3 gilt (2x + 6)/x = a und 2x + 6/x = b. Berechne b − a.

✓ Antwort: 4
a = (6 + 6)/3 = 4 und b = 6 + 6/3 = 6 + 2 = 8, also b − a = 4. Die beiden Terme sind nicht gleich.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Pumpe A füllt das Becken allein in x Stunden, Pumpe B in x + 3 Stunden. Pro Stunde füllen beide zusammen 1/x + 1/(x + 3) des Beckens. Wie viel ist das für x = 3 (als Dezimalzahl)?

✓ Antwort: 0.5
Für x = 3: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5. Beide füllen pro Stunde die Hälfte, brauchen also 2 Stunden.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Von den Zahlen −2, −1, 0, 1, 2: Wie viele darf man in 4/(x² − 1) nicht für x einsetzen?

✓ Antwort: 2
x² − 1 = 0 gilt für x = 1 und für x = −1. Das sind zwei Zahlen; 0 macht den Nenner −1, das ist erlaubt.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für (x + 1)/((x − 2)(x + 4)) fehlen in der Definitionsmenge genau die Zahlen a und b. Berechne a + b.

✓ Antwort: -2
Die Nenner-Faktoren sind bei x = 2 und x = −4 null, also a + b = 2 + (−4) = −2. Die Nullstelle −1 des Zählers wird nicht ausgeschlossen.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben ist der Term (x + 5)/(x² − 9). Bestimme die maximale Definitionsmenge in ℚ. Begründe, welche Zahlen ausgeschlossen werden und warum die Zahl −5 aus dem Zähler nicht dazugehört. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Der Nenner darf nicht 0 sein: x² − 9 = 0 ergibt (x − 3)(x + 3) = 0, also x = 3 oder x = −3. D = ℚ \ {−3, 3}. Die Zahl −5 macht nur den Zähler 0; der Term hat dort den Wert 0 und ist definiert.
Nur der Nenner entscheidet: x² − 9 = 0 gilt für x = 3 und x = −3. Der Zähler x + 5 ist bei x = −5 null, dort ist der Term 0 und definiert.