Formeln umstellen

Rearranging formulas

Mathematik Klasse 8 14 Aufgaben

AlgebraFormelnPhysik

Eine Formel wird wie eine Gleichung mit Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe aufgelöst; die anderen Buchstaben behandelt man wie Zahlen. Steht die gesuchte Größe im Nenner, wird zuerst mit dem Nenner multipliziert, so gibt v = s/t die Zeit t = s/v. Bei 1/R = 1/R1 + 1/R2 wird erst auf einen Nenner gebracht und dann der Kehrwert gebildet. Der Abschnitt räumt aus, nur den Bruch umzudrehen (t = v/s) und jeden Summanden einzeln zu kehren (R = R1 + R2). Er bereitet Formeln in Physik und Chemie vor.

Nach einer Größe auflösen

Eine Formel löst du wie eine Gleichung, die anderen Buchstaben sind wie Zahlen. Aus $v = \frac{s}{t}$ folgt mit mal t die gesuchte Größe $s = v \cdot t$ . Steht sie im Nenner, multiplizierst du erst mit dem Nenner: v · t = s, dann durch v, also $t = \frac{s}{v}$ . Nur den Bruch umzudrehen (t = v/s) ist falsch. Zur Probe: Für s = 120 und t = 3 ist v = 40, und 120/40 = 3.

Verändere die Zeit t. Liefert die umgestellte Formel t = 120/v die Zeit zurück?

Parallelschaltung

Zwei parallele Widerstände ergeben $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , dieselbe Form wie bei den Pumpen. Rechts kommt der Hauptnenner: $\frac{1}{R} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}$ . Dann bildest du auf beiden Seiten den Kehrwert: $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ . Nicht $R = R_{1} + R_{2}$ : Die Summanden werden nicht einzeln gekehrt. Für $R_{1} = 3$ Ω und $R_{2} = 6$ Ω ist R = 18/9 = 2 Ω, und 1/3 + 1/6 = 1/2.

Verändere

R_{1}

. Wie verhält sich R im Vergleich zu

R_{1}

und zu 6 Ω?

Voraussetzungen (1)

Bruchgleichungen lösen

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Formel v = s/t gilt für gleichförmige Bewegung. Der Punkt im Diagramm hat t = 4 und s = 20. Welche Formel gibt den Weg s?

● s = v · t
○ s = v/t
○ s = t/v

Mal t: v · t = s. Der Punkt bestätigt es: v = 20/4 = 5 und 5 · 4 = 20. s = v/t teilt durch t statt mit t zu multiplizieren, s = t/v teilt zudem durch v: 4/5 ist nicht 20.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das ohmsche Gesetz lautet U = R · I. Welche Formel gibt die Stromstärke I?

● I = U/R
○ I = U · R
○ I = R/U

Durch R geteilt: U/R = I. U · R multipliziert statt zu teilen, R/U dreht den Bruch falsch.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Stelle v = s/t nach t um.

● t = s/v
○ t = v/s
○ t = s · v

Mal t: v · t = s, dann durch v: t = s/v. t = v/s dreht nur den Bruch um, t = s · v multipliziert statt zu teilen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für s = 120 km gilt v = 120/t. Der Punkt zeigt t = 3 h und v = 40 km/h. Welche Formel gibt die Zeit t?

● t = 120/v
○ t = v/120
○ t = 120 · v

Mal t und durch v: t = 120/v. Der Punkt bestätigt: 120/40 = 3. t = v/120 wäre 40/120, also nicht 3.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Aus ρ = m/V folgt V = ρ/m.

✓ Falsch

Zahlenprobe: m = 108 g und V = 40 cm³ geben ρ = 2,7 g/cm³. Dann wäre V = 2,7/108 = 0,025, aber V = 40. Richtig ist: mal V, dann durch ρ, also V = m/ρ = 108/2,7 = 40.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Stelle 1/R = 1/R1 + 1/R2 nach R um.

● R = R1 · R2/(R1 + R2)
○ R = R1 + R2
○ R = 1/R1 + 1/R2

Rechts auf den Hauptnenner: 1/R = (R2 + R1)/(R1 · R2), dann der Kehrwert beider Seiten. R = R1 + R2 kehrt jeden Summanden einzeln, R = 1/R1 + 1/R2 kehrt gar nicht.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Der Graph zeigt R in Abhängigkeit von R1 für R2 = 6 Ω. Welche Formel gehört zu den beiden Punkten?

● R = 6R1/(R1 + 6)
○ R = R1 + 6
○ R = (R1 + 6)/(6R1)

Bei R1 = 3: 6 · 3/(3 + 6) = 2, bei R1 = 6: 36/12 = 3, das passt. R1 + 6 gäbe 9 und 12, (R1 + 6)/(6R1) ist der Wert von 1/R (0,5 und 0,33).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus v = s/t folgt s = v · t. Berechne s für v = 12 (m/s) und t = 5 (s).

✓ Antwort: 60

s = 12 · 5 = 60. Probe: 60/5 = 12 = v.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Aus v = s/t folgt t = s/v. Berechne t (in h) für s = 150 km und v = 50 km/h.

✓ Antwort: 3

t = 150/50 = 3. Der Zug braucht 3 Stunden.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Zwei Widerstände R1 = 4 Ω und R2 = 12 Ω sind parallel geschaltet. Berechne R = R1 · R2/(R1 + R2) in Ω.

✓ Antwort: 3

R = 48/16 = 3. Probe: 1/4 + 1/12 = 4/12 = 1/3.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Dichte ist ρ = m/V. Berechne die Masse m eines Aluminiumstücks mit ρ = 2,7 g/cm³ und V = 40 cm³ (in g).

✓ Antwort: 108

Aus ρ = m/V folgt m = ρ · V = 2,7 · 40 = 108. Das Stück wiegt 108 g.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für die Beschleunigung gilt a = F/m. Berechne die Masse m (in kg) für F = 30 N und a = 6 m/s².

✓ Antwort: 5

Mal m: a · m = F, also m = F/a = 30/6 = 5. Nicht F · a = 180 und nicht a/F = 0,2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Widerstand R1 = 6 Ω soll mit einem zweiten R2 parallel geschaltet R = 2 Ω ergeben. Wie groß ist R2 in Ω?

✓ Antwort: 3

1/2 = 1/6 + 1/R2, also 1/R2 = 1/2 − 1/6 = 1/3 und R2 = 3. Mit der Formel: 2 = 6R2/(6 + R2) gibt 12 + 2R2 = 6R2 und R2 = 3.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt 1/R = 1/R1 + 1/R2. Stelle die Formel nach R um (Hauptnenner, dann Kehrwert), berechne R für R1 = 6 Ω und R2 = 3 Ω und erkläre, warum R kleiner als beide Einzelwiderstände ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 1/R = R2/(R1R2) + R1/(R1R2) = (R1 + R2)/(R1R2), also R = R1R2/(R1 + R2). Für R1 = 6 und R2 = 3: R = 18/9 = 2 Ω. R ist kleiner als 3 Ω, weil 1/R = 1/6 + 1/3 größer ist als 1/3; der Strom hat zwei Wege.

Erst wird rechts auf einen Nenner gebracht, dann der Kehrwert gebildet. Weil 1/R = 1/6 + 1/3 mehr ist als 1/3, ist R kleiner als 3 Ω: Zwei Wege leiten besser als einer.