Multiplizieren und Dividieren

Multiplying and dividing

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben

AlgebraBrücheVereinfachen

Bruchterme werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert; vorher wird gekürzt, am besten nachdem Summen faktorisiert sind. Durch einen Bruchterm teilt man, indem man mit dem Kehrwert malnimmt, so wie „wie oft passt 2/3 in 2“ die Antwort 3 hat. Der Divisor darf nie null werden, auch nicht durch eine Nullstelle seines Zählers. Der Abschnitt räumt aus, Nenner oder Zähler zu addieren, den falschen Bruch umzudrehen und den Divisor ungeprüft zu lassen. Er bereitet Bruchgleichungen und die Ableitung rationaler Terme vor.

Zähler mal Zähler

Bruchterme werden wie Brüche multipliziert: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. $\frac{2}{x} \cdot \frac{3}{y} = \frac{2 \cdot 3}{x \cdot y} = \frac{6}{x y}$ . Es wird nichts addiert; 6/(x + y) wäre falsch. Eine ganze Zahl multipliziert nur den Zähler: 4 · x/5 = 4x/5. Zur Zahlenprobe: (2/2) · (3/3) = 1 und 6/(2 · 3) = 1.

Erst kürzen

Vor dem Ausmultiplizieren kürzt du gemeinsame Faktoren zwischen oben und unten, auch über Kreuz: $\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{3 x}{x + 1} = 3$ . Summen zerlegst du vorher in Faktoren, etwa x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Der Term hat den konstanten Wert 3, wie viel sich die beiden Faktoren auch ändern. Das Kürzen vor dem Multiplizieren hält die Zahlen klein und spart Fehler.

Verändere x. Was passiert mit den beiden Werten, was mit ihrem Produkt?

Durch einen Bruch teilen

Wie oft passt 2/3 in 2? Dreimal: 2 : 2/3 = 3. Das ist 2 · 3/2, du multiplizierst also mit dem Kehrwert des Divisors: $\frac{3}{x} : \frac{6}{x ^{2}} = \frac{3}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{6} = \frac{x}{2}$ . Der Divisor darf nicht 0 sein, auch nicht durch seinen Zähler: Bei (x − 2)/(x + 1) ist x = 2 verboten. Die verbotenen Zahlen bleiben auch nach dem Kürzen verboten.

Der Sprung 2/3 passt dreimal in 2.

Voraussetzungen (1)

Erweitern und Kürzen

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich (2/x) · (3/y)?

● 6/(xy)
○ 6/(x + y)
○ 5/(xy)

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: (2 · 3)/(x · y) = 6/(xy). 6/(x + y) addiert die Nenner, 5/(xy) addiert die Zähler.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich 4 · (x/5)?

● 4x/5
○ 4x/20
○ 4/(5x)

Die ganze Zahl 4 multipliziert nur den Zähler: 4 · x/5 = 4x/5. 4x/20 multipliziert auch den Nenner, 4/(5x) macht aus dem Produkt einen Quotienten.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich (x + 1)/x · 3x/(x + 1)?

● 3
○ 3x
○ 3(x + 1)

Der Faktor (x + 1) und das x stehen oben und unten und werden gestrichen: Es bleibt 3. Bleibt das x stehen (3x), wurde nur (x + 1) gekürzt.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich 4/(x² − 9) · (x + 3)/2?

● 2/(x − 3)
○ 2/(x + 3)
○ 2/(x² − 9)

x² − 9 = (x − 3)(x + 3): Der Faktor (x + 3) kürzt sich, und 4/2 = 2. Es bleibt 2/(x − 3). 2/(x + 3) kürzt den falschen Faktor, 2/(x² − 9) kürzt (x + 3) nicht.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie oft passt der Sprung 2/3 in die Strecke von 0 bis 2? Was ist 2 : 2/3?

● 3
○ 4/3
○ 1/3

Auf dem Zahlenstrahl passen drei Sprünge der Länge 2/3 bis 2. Mit dem Kehrwert: 2 · 3/2 = 3. 4/3 rechnet 2 · 2/3, 1/3 dreht das Ergebnis um.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich (3/x) : (6/x²)?

● x/2
○ 2/x
○ 18/x³

Der Divisor wird umgedreht: (3/x) · (x²/6) = 3x²/(6x) = x/2. 2/x dreht den falschen Bruch um, 18/x³ dreht nichts um.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Für welche x ist (3/x) : ((x − 2)/(x + 1)) nicht definiert?

● x = 0, x = −1 und x = 2
○ x = 0 und x = −1
○ x = 0 und x = 2

Die Nenner x und x + 1 verbieten 0 und −1. Außerdem darf der Divisor (x − 2)/(x + 1) nicht 0 sein, das gilt für x = 2. Wer nur Nenner prüft, vergisst die 2.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Der Zahlenstrahl zeigt die ausgeschlossenen Zahlen 0 und 5. Welcher Quotient hat genau diese Definitionslücken?

● (4/x) : ((x − 5)/2)
○ (4/x) : (x/2)
○ (4/x) : ((x + 5)/2)

Nenner x verbietet 0, der Divisor (x − 5)/2 ist bei x = 5 null. (4/x) : (x/2) schließt nur 0 aus, (4/x) : ((x + 5)/2) schließt −5 statt 5 aus.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne (3/x) · (4/y) für x = 2 und y = 6.

✓ Antwort: 1

(3 · 4)/(2 · 6) = 12/12 = 1. Einzeln: 3/2 · 4/6 = 3/2 · 2/3 = 1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Kürze (8/x) · (x/2). Das Ergebnis ist eine Zahl. Welche?

✓ Antwort: 4

(8/x) · (x/2) = 8x/(2x) = 4 für x ≠ 0.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne (3/x) : (6/x) für x = 5 als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.5

(3/5) : (6/5) = 3/5 · 5/6 = 15/30 = 0,5. Auch allgemein: (3/x) · (x/6) = 1/2.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für (5/x) : ((x − 4)/3) fehlen in D genau 0 und c. Welche Zahl ist c?

✓ Antwort: 4

Der Divisor (x − 4)/3 ist null für x − 4 = 0, also c = 4.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 6/x m lang und x/4 m breit. Wie groß ist seine Fläche in m² (Dezimalzahl)?

✓ Antwort: 1.5

(6/x) · (x/4) = 6x/(4x) = 6/4 = 1,5. Die Fläche ist für jedes x gleich 1,5 m².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne den Wert von (x² − 4)/x · 2x/(x + 2) für x = 4.

✓ Antwort: 4

Gekürzt: (x − 2)(x + 2)/x · 2x/(x + 2) = 2(x − 2). Für x = 4 ist das 2 · 2 = 4. Direkt: 12/4 · 8/6 = 3 · 4/3 = 4.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie oft passt 2/x in 6 für x = 3? Berechne 6 : (2/x) mit x = 3.

✓ Antwort: 9

6 : (2/3) = 6 · 3/2 = 9. Allgemein 6 : (2/x) = 6x/2 = 3x, für x = 3 also 9.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für (1/(x + 1)) : ((x − 2)/(x − 3)) sind genau n Zahlen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen. Welche Zahl ist n?

✓ Antwort: 3

Ausgeschlossen sind x = −1 und x = 3 (Nenner) sowie x = 2 (Divisor ist 0): drei Zahlen.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Vereinfache (x² − 4)/x : ((x − 2)/(3x)). Zerlege, wo es hilft, drehe den Divisor um, kürze und gib alle Zahlen an, die für x nicht eingesetzt werden dürfen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (x² − 4)/x : ((x − 2)/(3x)) = (x − 2)(x + 2)/x · 3x/(x − 2) = 3(x + 2) = 3x + 6. Ausgeschlossen sind x = 0 (Nenner), x = 2 (Divisor null) — die Definitionsmenge ist ℚ \ {0, 2}.

Der zweite Bruch wird umgedreht, x² − 4 zerlegt und gekürzt: 3(x + 2). Der Divisor (x − 2)/(3x) ist bei x = 2 null, deshalb ist 2 ausgeschlossen, dazu 0.