Netz und Oberfläche

Net and surface area

Mathematik Klasse 5 23 Aufgaben
GeometrieOberflächeQuader

Das Netz legt die Oberfläche eines Körpers flach aus: Ein Quader besteht aus sechs Rechtecken in drei gleich großen Paaren, die Oberfläche ist die Summe aller sechs Flächen, O = 2 · (a · b + a · c + b · c). Im Schrägbild sind drei Flächen verdeckt, aber gleich groß wie ihre Gegenüber. Setzt man Körper zusammen, fällt die Klebefläche an beiden Körpern weg. Räumt aus: nur die sichtbaren Flächen zu zählen, die Oberfläche mit dem Produkt a · b · c zu verwechseln und die Klebefläche nur einmal abzuziehen (Weigand u. a. 2018; Battista und Clements 1996). Bereitet Volumen und Prismen in Jahrgangsstufe 6 vor.

Vom Quader zum Netz

Klappt man einen Quader auf, entsteht sein Netz: sechs Rechtecke. Sie bilden drei gleich große Paare: Boden und Deckel, vorne und hinten, links und rechts. Die Oberfläche ist die Summe aller sechs Flächen:

Für a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm ist . Im Schrägbild sieht man nur drei Flächen; die anderen drei gehören dazu. Und ist keine Fläche. Ein Netz kann verschieden aussehen, es hat aber immer sechs Rechtecke in drei Paaren.

Verändere a, b und c. Welche Rechtecke bleiben gleich groß, und wie ändert sich die Oberfläche?

Falten im Kopf

Welche Flächen sich gegenüberliegen, siehst du am Netz, ohne es auszuschneiden. Liegen zwei Flächen in einer Reihe mit genau einer Fläche dazwischen, liegen sie im gefalteten Würfel oder Quader gegenüber. Flächen, die im Netz aneinanderstoßen, liegen sich nie gegenüber. Bei verwinkelten Netzen hältst du eine Fläche als Boden fest und klappst die anderen in Gedanken Stück für Stück hoch. Dabei treffen die Randkanten paarweise aufeinander: Zwei Kanten, die an einer Ecke des Netzes einen rechten Winkel bilden, schließen sich dort zusammen.

Zusammengesetzte Körper

Klebt man zwei Körper zusammen, verschwindet die Klebefläche im Inneren. Sie fällt an beiden Körpern weg, also zweimal. Beispiel: Ein Quader (3 cm × 2 cm × 1 cm) hat 22 cm², ein Würfel mit 1 cm Kante hat 6 cm², die Klebefläche ist 1 cm². Zusammen sind es 22 + 6 − 2 · 1 = 26 cm². Plane die Rechnung Fläche für Fläche, dann zählt keine doppelt und keine fehlt.

Quader 3 cm mal 2 cm mal 1 cm mit einem Würfel der Kante 1 cm darauf
Quader mit aufgesetztem Würfel: Die Klebefläche fällt zweimal weg.

Voraussetzungen (2)

Reihen mal Spalten
Klasse 5
›
Schrägbild des Quaders
Klasse 5
›
Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Welche Fläche ist genauso groß wie seine Bodenfläche?

  • ● die Deckfläche
  • ○ die Vorderfläche
  • ○ die rechte Seitenfläche
Der Boden ist 4 cm × 3 cm = 12 cm² groß. Gegenüberliegende Flächen sind gleich, also hat die Deckfläche ebenfalls 12 cm². Die Vorderfläche misst 4 cm × 2 cm = 8 cm², die rechte Seitenfläche 3 cm × 2 cm = 6 cm².
Im Bild tippen #2 25s ▶ Testen

Tippe auf die Fläche, die im gefalteten Quader dem Boden gegenüberliegt.

✓ Antwort: deckel
Faltet man das Netz, klappen die vier Flächen rund um den Boden nach oben. Die Fläche ganz unten im Netz schließt den Quader als Deckel: Sie liegt dem Boden gegenüber.
Wahr / Falsch #3 25s ▶ Testen

Das Netz eines Quaders 6 cm × 3 cm × 3 cm enthält vier gleich große Rechtecke.

✓ Wahr
Die Flächen sind 6 cm × 3 cm (Boden und Deckel), 6 cm × 3 cm (vorne und hinten) und 3 cm × 3 cm (links und rechts). Vier Rechtecke haben 18 cm², zwei sind Quadrate mit 9 cm².
Multiple Choice #4 35s ▶ Testen

Welche Rechnung gibt die Oberfläche des Quaders?

  • ● 2 · (5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2) = 62 cm²
  • ○ 5 · 3 · 2 = 30 cm²
  • ○ 5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2 = 31 cm²
Die Oberfläche besteht aus sechs Flächen in drei Paaren: 2 · (15 + 10 + 6) = 62 cm². 5 · 3 · 2 ist das Produkt der drei Kanten und kein Flächeninhalt; 31 cm² zählt nur die drei sichtbaren Flächen.
Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Ein Würfel mit der Kante 4 cm hat die Oberfläche 64 cm².

✓ Falsch
Ein Würfel hat 6 gleiche Quadrate: 6 · 4 cm · 4 cm = 6 · 16 cm² = 96 cm². Die 64 ist 4 · 4 · 4 und misst etwas anderes.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Wie viele Rechtecke muss man für die Oberfläche eines Quaders zusammenzählen?

  • ● 6
  • ○ 3
  • ○ 4
Ein Quader ist von sechs Rechtecken umgeben. Drei sieht man im Schrägbild, die anderen drei liegen gegenüber und sind verdeckt, aber genauso groß.
Multiple Choice #7 40s ▶ Testen

Zwei Würfel mit der Kante 2 cm werden an einer Fläche zusammengeklebt. Welche Oberfläche hat der neue Körper?

  • ● 40 cm²
  • ○ 48 cm²
  • ○ 44 cm²
Jeder Würfel hat 6 · 4 = 24 cm². Die Klebefläche (2 cm · 2 cm = 4 cm²) fällt an beiden Würfeln weg: 2 · 24 − 2 · 4 = 48 − 8 = 40 cm². Ohne Abzug ergeben sich 48 cm², bei nur einem Abzug 44 cm². Kontrolle: Der neue Körper ist ein Quader 4 × 2 × 2 mit 2 · (8 + 8 + 4) = 40 cm².
Wahr / Falsch #8 25s ▶ Testen

Zwei Würfel mit der Kante 1 cm haben je 6 cm² Oberfläche. Zusammengeklebt hat der neue Körper 12 cm² Oberfläche.

✓ Falsch
Die Klebefläche (1 cm²) fällt an jedem Würfel weg: 12 cm² − 2 · 1 cm² = 10 cm².
Multiple Choice #9 50s ▶ Testen

Auf einen Quader (4 cm × 2 cm × 1 cm) wird ein Würfel mit der Kante 2 cm gesetzt. Welche Oberfläche hat der Körper?

  • ● 44 cm²
  • ○ 52 cm²
  • ○ 48 cm²
Quader: 2 · (4 · 2 + 4 · 1 + 2 · 1) = 28 cm². Würfel: 6 · 4 = 24 cm². Klebefläche: 2 cm · 2 cm = 4 cm², sie fällt zweimal weg: 28 + 24 − 2 · 4 = 44 cm². 52 cm² ist die Summe ohne Abzug, 48 cm² zieht die Klebefläche nur einmal ab.
Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Das Netz wird zu einem Würfel gefaltet. Welche Fläche liegt dann der grauen Fläche A gegenüber?

  • ● D
  • ○ E
  • ○ F
Falte mit C als Boden: B, D und F klappen als Wände hoch, E wird der Deckel. A hängt links an B und wird zur linken Wand, D ist die rechte Wand: A und D liegen sich gegenüber. E (Deckel) und F (vordere Wand) grenzen beide an A.
Wahr / Falsch #11 20s ▶ Testen

Im gefalteten Würfel liegen sich die Flächen A und F gegenüber.

✓ Wahr
In der Reihe B, C, D, E werden die vier Flächen zu den Wänden rundherum. A sitzt oben an D und F unten an B: Die eine wird Deckel, die andere Boden. Deckel und Boden liegen sich gegenüber, auch wenn A und F im Netz weit auseinander liegen.
Multiple Choice #12 25s ▶ Testen

Das Netz wird zu einem Würfel gefaltet. Auf welche nummerierte Kante trifft die rote Kante?

  • ● 2
  • ○ 1
  • ○ 3
Faltet man die mittlere Reihe zu drei Wänden und klappt die beiden oberen Quadrate um, wird das Quadrat oben rechts zur vierten Wand. Seine obere Kante 2 schließt den Würfel an der linken roten Kante. Kante 1 trifft auf die obere Kante des Quadrats links in der mittleren Reihe, Kante 3 auf die linke Kante des Quadrats unten.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Die Bodenfläche eines Quaders hat 15 cm². Wie groß ist seine Deckfläche in cm²?

✓ Antwort: 15
Boden und Deckel liegen sich gegenüber und sind gleich groß: 15 cm².
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Würfel hat die Kante 3 cm. Wie groß ist seine Oberfläche in cm²?

✓ Antwort: 54
Sechs Quadrate zu je 3 cm · 3 cm = 9 cm²: 6 · 9 = 54 cm².
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Zwei Körper werden mit einer Klebefläche von 6 cm² zusammengeklebt. Um wie viel cm² ist die Oberfläche des neuen Körpers kleiner als die Summe der beiden Oberflächen?

✓ Antwort: 12
Die Klebefläche fällt an beiden Körpern weg: 2 · 6 cm² = 12 cm².
Lückentext #4 25s ▶ Testen

Im gefalteten Würfel liegt der grauen Fläche E die Fläche ___ gegenüber.

✓ Antwort: B
E und B liegen nicht in einer Reihe, aber über eine Ecke: Falte F als Boden, dann werden E und A zu Wänden, B klappt an A hoch und wird zur Wand gegenüber von E. Kontrolle: A, C, D und F grenzen alle an E.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Das Netz wird zu einem Würfel gefaltet. Die rote Kante trifft auf eine der nummerierten Kanten. Welche Nummer hat sie?

✓ Antwort: 3
Die Reihe aus vier Quadraten wird zu den Wänden rundherum, das untere Quadrat zum Boden. Die rote Kante ist die Unterkante der Wand, die der Wand mit dem Boden gegenüberliegt. Dort schließt der Boden mit seiner gegenüberliegenden Kante an, und das ist Kante 3.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Das Netz gehört zu einem Quader mit den Kanten 5 cm, 3 cm und 2 cm. Wie groß sind die beiden kleinsten Rechtecke zusammen in cm²?

✓ Antwort: 12
Die drei Paare haben 5 · 3 = 15 cm², 5 · 2 = 10 cm² und 3 · 2 = 6 cm². Das kleinste Paar: 2 · 6 cm² = 12 cm².
Zahleneingabe #2 70s ▶ Testen

Ein Karton ist 60 cm lang, 40 cm breit und 30 cm hoch (mit Deckel). Wie viele dm² Pappe braucht man für alle sechs Flächen?

✓ Antwort: 108
Drei Paare: 60 · 40 = 2 400, 60 · 30 = 1 800, 40 · 30 = 1 200 (in cm²). O = 2 · 5 400 cm² = 10 800 cm². Mit 1 dm² = 100 cm² sind das 108 dm².
Zahleneingabe #3 70s ▶ Testen

Auf einen Quader (5 cm × 4 cm × 2 cm) wird ein Würfel mit der Kante 2 cm gesetzt. Wie groß ist die Oberfläche des Körpers in cm²?

✓ Antwort: 92
Quader: 2 · (5 · 4 + 5 · 2 + 4 · 2) = 2 · 38 = 76 cm². Würfel: 6 · 4 = 24 cm². Klebefläche 2 · 2 = 4 cm², zweimal abgezogen: 76 + 24 − 8 = 92 cm².
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Ein Quader ist 6 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Zeichne sein Netz mit allen Maßen, bestimme den Flächeninhalt jedes der sechs Rechtecke und berechne die Oberfläche. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Netz mit drei Paaren: Boden und Deckel je 6 cm · 4 cm = 24 cm², vorne und hinten je 6 cm · 3 cm = 18 cm², links und rechts je 4 cm · 3 cm = 12 cm². O = 2 · (24 + 18 + 12) cm² = 2 · 54 cm² = 108 cm².
Drei Paare gleicher Rechtecke: 24 cm², 18 cm², 12 cm². Zusammen 2 · 54 cm² = 108 cm².
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Aus dem Netz wird ein Spielwürfel. Gegenüberliegende Flächen ergeben zusammen 7. Welche Zahl gehört auf die graue Fläche?

✓ Antwort: 5
Es fehlen 4 und 5, welche wohin gehört, zeigt erst das Falten. Die graue Fläche liegt der 2 gegenüber, also 7 − 2 = 5. Die leere Fläche daneben liegt der 3 gegenüber und bekommt die 4; 1 und 6 liegen sich ebenfalls gegenüber.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Wie viele Flächen grenzen im gefalteten Würfel an die graue Fläche E, obwohl sie im Netz nicht neben ihr liegen?

✓ Antwort: 3
Im Würfel grenzt jede Fläche an vier andere, nur nicht an die gegenüberliegende. Falte C als Boden: E wird der Deckel, also liegt E der Fläche C gegenüber. E grenzt an A, B, D und F. Im Netz liegt nur F neben E, also sind es 3 (A, B und D).