Sachaufgaben und Näherung

Word problems and estimates

Mathematik Klasse 5 15 Aufgaben
GeometrieFlächeninhaltModellierenSchätzen

Eine Sachaufgabe beginnt mit der Frage an die Situation: Ist der Rand oder das Innere gefragt, Zaun oder Saat? Eine Skizze mit den Maßen macht das sichtbar. Krumme Flächen wie ein Teich lassen sich durch Rechtecke nähern: Ein Rechteck innen liefert einen zu kleinen, ein Rechteck außen einen zu großen Wert. Das Ergebnis bekommt Einheit, Antwortsatz und eine Plausibilitätsprüfung, bei Packungen wird aufgerundet. Räumt aus: die falsche Größe zu berechnen, abzurunden und den Näherungswert für exakt zu halten (Blum und Leiß 2007). Bereitet das Modellieren in den Jahrgangsstufen 6 bis 8 vor.

Eine Sachaufgabe beginnt mit der Frage: Ist der Rand oder das Innere gemeint? Zaun, Randstein und Leiste gehören zum Umfang, Rasen, Pflaster und Farbe zum Flächeninhalt. Eine Skizze mit allen Maßen macht das sichtbar. Beim Beet (10 m × 4 m) ist für den Zaun der Umfang gefragt, 2 · (10 + 4) = 28 m; für den Rasen der Flächeninhalt, 10 · 4 = 40 m². Zum Ergebnis gehören die Einheit und ein Antwortsatz. Bei Packungen rundet man auf: 10,8 Packungen heißen 11 Packungen. Schreibe die Rechnung mit Einheiten: 10 m · 4 m = 40 m². Prüfe zuletzt mit Stützpunkten, ob das Ergebnis möglich ist: Ein Beet mit 4 000 m² wäre größer als ein halbes Fußballfeld, viel zu groß für den Schulgarten.

Nicht jede Fläche ist ein Rechteck. Einen Teich nähert man durch Rechtecke: Ein Rechteck innen liegt ganz im Teich und ist zu klein, ein Rechteck außen umschließt ihn und ist zu groß. Der wirkliche Flächeninhalt liegt dazwischen: Beim Teich unten sind es mindestens 36 m² und höchstens 77 m².

Schalte zwischen den Rechtecken um. Welches ist zu klein, welches zu groß?

Voraussetzungen (2)

Reihen mal Spalten
Klasse 5
›
Flächeneinheiten
Klasse 5
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Beet (14 m × 6 m) soll ringsherum mit Randsteinen eingefasst werden. Welche Rechnung passt?

  • ● 2 · (14 + 6)
  • ○ 14 · 6
  • ○ 14 + 6
Randsteine liegen am Rand entlang, gefragt ist also der Umfang: 2 · (14 m + 6 m) = 40 m. 14 · 6 wäre der Flächeninhalt (84 m²), 14 + 6 erfasst nur zwei Seiten.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Boden des Klassenzimmers (9 m × 7 m) soll neu belegt werden. Welche Rechnung passt?

  • ● 9 · 7
  • ○ 2 · (9 + 7)
  • ○ 9 + 7
Ein Bodenbelag deckt die Fläche ab, gefragt ist der Flächeninhalt: 9 m · 7 m = 63 m². 2 · (9 + 7) = 32 wäre der Umfang (für Fußleisten).
Wahr / Falsch #3 25s ▶ Testen

Für die Bande um ein Handballfeld (40 m × 20 m) braucht man den Umfang des Feldes.

✓ Wahr
Die Bande läuft am Rand entlang, also ist der Umfang gefragt: 2 · (40 m + 20 m) = 120 m. Der Flächeninhalt (800 m²) wäre für den Bodenbelag wichtig.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Der Flächeninhalt des Teichs wird durch das innere Rechteck genähert. Wie groß ist der wirkliche Flächeninhalt im Vergleich?

  • ● größer als der des Rechtecks
  • ○ kleiner als der des Rechtecks
  • ○ genau so groß wie der des Rechtecks
Das innere Rechteck liegt ganz im Teich (18 m²) und lässt Randstücke aus. Der Teich ist deshalb größer: Der Wert des Rechtecks ist ein Mindestwert.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Der Teich liegt ganz im umschließenden Rechteck. Was gilt für den Flächeninhalt des Teichs?

  • ● höchstens 60 m²
  • ○ mindestens 60 m²
  • ○ genau 60 m²
Das umschließende Rechteck (10 m · 6 m = 60 m²) enthält den ganzen Teich und noch etwas mehr. Der Teich ist also höchstens 60 m² groß.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Für 25 m² Rasen wird Saat gekauft. Eine Packung reicht für 6 m². Wie viele Packungen kauft man?

  • ● 5 Packungen
  • ○ 4 Packungen
  • ○ 4,2 Packungen
25 : 6 = 4,17: Vier Packungen decken nur 24 m² ab, es fehlt 1 m². Man kauft 5 Packungen. Eine Packung kann man nicht in Teilen kaufen.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Ein Klassenzimmer hat einen Flächeninhalt von 60 cm².

✓ Falsch
60 cm² sind weniger als eine Postkarte (etwa 150 cm²), viel zu klein für ein Zimmer. Ein Klassenzimmer hat etwa 60 m².
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Fußballfeld ist 105 m lang und 68 m breit. Welche Angabe gibt seinen Flächeninhalt richtig an?

  • ● 7 140 m²
  • ○ 7 140 m
  • ○ 7 140 cm²
105 · 68 = 7 140. Der Flächeninhalt hat die Einheit m² (nicht m, das wäre eine Länge). 7 140 cm² wären nur etwa 0,7 m².
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Beet ist 5 m lang und 3 m breit. Wie viel Meter Randsteine braucht man ringsherum?

✓ Antwort: 16
Gefragt ist der Rand: 2 · (5 m + 3 m) = 16 m.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein Teich liegt ganz in einem Rechteck (10 m × 6 m) und enthält ein Rechteck (7 m × 4 m). Wie groß ist der Teich höchstens in m²?

✓ Antwort: 60
Die Obergrenze liefert das umschließende Rechteck: 10 m · 6 m = 60 m². Das innere Rechteck (28 m²) ist die Untergrenze.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Beet ist 6 m lang und 4 m breit. Eine Dose Dünger reicht für 5 m². Wie viele Dosen muss man kaufen?

✓ Antwort: 5
Flächeninhalt: 6 · 4 = 24 m². 24 : 5 = 4,8. Vier Dosen decken nur 20 m² ab, man kauft 5 Dosen.
Schwer
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Der Schulhof (30 m × 18 m) wird ganz eingezäunt. Ein Meter Zaun kostet 4,50 €. Wie viel Euro kostet der Zaun?

✓ Antwort: 432
Zaunlänge: 2 · (30 m + 18 m) = 96 m. Kosten: 96 · 4,50 € = 432 € (96 · 4 = 384 und 96 · 0,50 = 48).
Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Eine Insel wird durch ein Rechteck (300 m × 120 m) genähert, bei dem an einer Ecke ein Rechteck (100 m × 40 m) fehlt. Wie groß ist die Insel ungefähr in ha?

✓ Antwort: 3.2
Näherung: 300 · 120 − 100 · 40 = 36 000 − 4 000 = 32 000 m². Mit 1 ha = 10 000 m² sind das 3,2 ha.
Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Ein Wohnzimmer ist 6 m lang und 5 m breit. Eine Rolle Bodenbelag deckt 4 m² ab. Wie viele Rollen braucht man mindestens?

✓ Antwort: 8
Flächeninhalt: 6 · 5 = 30 m². 30 : 4 = 7,5, also 7 Rollen (28 m²) reichen nicht. Man braucht 8 Rollen.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Der Schulgarten ist ein Rechteck mit 18 m Länge und 12 m Breite. Er soll ganz eingezäunt und mit Rasen besät werden. Ein Meter Zaun kostet 6 €. Eine Packung Saat reicht für 20 m² und kostet 9 €. Zeichne eine Skizze, berechne die Gesamtkosten und schreibe einen Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit 18 m und 12 m. Zaun (Umfang): 2 · (18 m + 12 m) = 60 m, Kosten 60 · 6 € = 360 €. Saat (Flächeninhalt): 18 m · 12 m = 216 m²; 216 : 20 = 10,8, also 11 Packungen, Kosten 11 · 9 € = 99 €. Gesamtkosten: 360 € + 99 € = 459 €. Antwort: Der Zaun und die Saat kosten zusammen 459 €.
Zaun: Umfang 60 m, 360 €. Saat: 216 m², 11 Packungen (aufgerundet), 99 €. Zusammen 459 €.