Die besonderen Vierecke

The Special Quadrilaterals

Mathematik Klasse 5 26 Aufgaben
GeometrieViereckeKlassifikation

Die besonderen Vierecke werden ĂŒber ihre Seiten beschrieben: Parallelogramm (gegenĂŒberliegende Seiten parallel und gleich lang), Rechteck (zusĂ€tzlich rechte Winkel), Raute (vier gleich lange Seiten), Quadrat (beides), Drachenviereck (zwei Paare gleich langer Nachbarseiten) und Trapez (mindestens ein Paar paralleler Seiten). Im Haus der Vierecke ist jede Form ein Sonderfall der darĂŒber stehenden. RĂ€umt aus: das Quadrat sei kein Rechteck, ein gedrehtes Quadrat sei eine Raute, ein Trapez habe genau ein Paar paralleler Seiten. Bereitet FlĂ€chenformeln, Symmetrie und die Winkelsumme vor.

Parallelogramm, Rechteck, Quadrat

Ein Viereck hat vier Seiten. Im Parallelogramm sind beide Paare gegenĂŒberliegender Seiten parallel – und gleich lang. Sind außerdem alle Winkel rechte Winkel, ist es ein Rechteck. Sind bei einem Rechteck auch alle vier Seiten gleich lang, ist es ein Quadrat.

Das Quadrat ist also ein besonderes Rechteck, das Rechteck ein besonderes Parallelogramm. Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat.

VerÀndere Breite und Schiefe. Wann wird aus dem Parallelogramm ein Rechteck, wann ein Quadrat, wann eine Raute?

Raute und Drachenviereck

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Bei ihr sind gegenĂŒberliegende Seiten sogar parallel; sie ist also ein besonderes Parallelogramm. Ein Drachenviereck hat zwei Paare gleich langer Nachbarseiten; gegenĂŒberliegende Seiten sind meist nicht parallel. Die Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks.

Verschiebe die untere Ecke C. Wann sind alle vier Seiten gleich lang – und was wird aus dem Drachen?

Trapez und Haus der Vierecke

Ein Trapez hat mindestens ein Paar paralleler Seiten. Nach dieser Definition ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez. Das Haus der Vierecke ordnet die Formen: Jede Form ist ein Sonderfall der Form, mit der sie nach oben verbunden ist. Ein Quadrat ist zugleich Rechteck, Raute, Parallelogramm und Trapez.

Haus der Vierecke: Viereck, darunter Trapez und Drachenviereck, unter dem Trapez das Parallelogramm, darunter Rechteck und Raute (die Raute auch unter dem Drachenviereck), zuletzt das QuadratViereckTrapezDrachenviereckParallelogrammRechteckRauteQuadrat
Das Haus der Vierecke: Von unten nach oben wird jede Form allgemeiner.

Vierecke im Kopf zerlegen

Viele Fragen ĂŒber Vierecke kannst du im Kopf beantworten: Stell dir vor, du zerschneidest die Figur, faltest sie oder legst ihre Teile neu zusammen. Schneidet man ein Quadrat entlang einer Diagonale, entstehen zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, und faltet man es an dieser Diagonale, liegen die HĂ€lften genau aufeinander. Legst du zwei gleiche Dreiecke an einer Seite wieder zusammen, achte auf die gleich langen Seiten: Liegen sie einander gegenĂŒber, ist das neue Viereck ein Parallelogramm; stoßen sie in einer Ecke zusammen, ein Drachenviereck.

Voraussetzungen (1)

Parallel, senkrecht, Abstand
Klasse 5
â€ș

Ermöglicht (1)

Das Haus der Vierecke
Klasse 7
â€ș
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Bezeichnung passt zu diesem Viereck?

  • ● Parallelogramm
  • ○ Rechteck
  • ○ Drachenviereck
GegenĂŒberliegende Seiten sind gleich lang (5 cm und 3 cm) und parallel, der Winkel bei A misst 70°: ein Parallelogramm. Ein Rechteck brĂ€uchte rechte Winkel, ein Drachenviereck gleich lange Nachbarseiten.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Das Viereck ABCD im Bild ist ein Parallelogramm.

✓ Wahr
A(1|1), B(5|1) und D(3|3), C(7|3): AB und DC sind waagerecht und je 4 Einheiten lang, AD und BC verlaufen beide 2 nach rechts und 2 nach oben. Beide Paare gegenĂŒberliegender Seiten sind parallel.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie heißt dieses Viereck?

  • ● Quadrat
  • ○ Rechteck mit ungleichen Seiten
  • ○ Raute ohne rechte Winkel
Alle vier Seiten sind 4 cm lang und alle Winkel sind rechte Winkel: ein Quadrat. Dass es auf der Spitze steht, Àndert daran nichts. Ungleiche Seiten oder fehlende rechte Winkel passen nicht zum Bild.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Ein Viereck hat vier rechte Winkel und vier Seiten von je 5 cm. Es ist auch ein Rechteck.

✓ Wahr
Vier rechte Winkel machen es zum Rechteck; dass die Seiten zusÀtzlich alle gleich lang sind, macht es zum Quadrat und nimmt ihm die Rechteck-Eigenschaft nicht. Jedes Quadrat ist ein besonderes Rechteck.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Das Rechteck mit den Seiten 6 cm und 3 cm ist ein Quadrat.

✓ Falsch
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten. Bei 6 cm und 3 cm sind die Nachbarseiten verschieden lang: Es ist ein Rechteck, aber kein Quadrat.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Bezeichnung passt zu diesem Viereck?

  • ● Raute
  • ○ Quadrat
  • ○ Rechteck
Alle vier Seiten sind 6 cm lang, aber der Winkel bei A misst 60°, nicht 90°: eine Raute. Ein Quadrat oder Rechteck brÀuchte rechte Winkel.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Bezeichnung passt zu diesem Viereck?

  • ● Drachenviereck
  • ○ Raute
  • ○ Parallelogramm
Je zwei Nachbarseiten sind gleich lang (4 cm und 4 cm oben, 7 cm und 7 cm unten): ein Drachenviereck. FĂŒr eine Raute mĂŒssten alle vier Seiten gleich lang sein, fĂŒr ein Parallelogramm gegenĂŒberliegende Seiten – hier 4 cm und 7 cm.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Bezeichnung passt zu diesem Viereck?

  • ● Trapez
  • ○ Parallelogramm
  • ○ Drachenviereck
AB (6 cm) und DC (3 cm) sind parallel, die beiden anderen Seiten nicht: ein Trapez. FĂŒr ein Parallelogramm mĂŒssten auch AD und BC parallel sein, fĂŒr ein Drachenviereck Nachbarseiten gleich lang.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Jedes Drachenviereck ist auch ein Trapez.

✓ Falsch
Ein Trapez braucht mindestens ein Paar paralleler Seiten. Ein Drachenviereck hat im Allgemeinen keins: Bei zwei Paaren gleich langer Nachbarseiten sind keine gegenĂŒberliegenden Seiten parallel (nur die Raute als Sonderfall).
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Ein Rechteck (6 cm × 4 cm) wird entlang einer Diagonale zerschnitten. Welche Teile entstehen?

  • ● zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke
  • ○ zwei gleiche Rechtecke
  • ○ zwei verschieden große Dreiecke
Die Diagonale verbindet zwei gegenĂŒberliegende Ecken. Jedes Teil hat eine Ecke des Rechtecks behalten, also einen rechten Winkel, und die kurzen Seiten 6 cm und 4 cm: Die beiden Dreiecke sind gleich. Rechtecke entstehen nur bei einem Schnitt parallel zu einer Seite.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Ein Rechteck mit den Seiten 8 cm und 3 cm wird entlang einer Diagonale gefaltet. Die beiden HĂ€lften liegen danach genau aufeinander.

✓ Falsch
Die beiden HĂ€lften sind zwar gleich groß, aber beim Falten an der Diagonale ragen zwei Spitzen ĂŒber den Rand hinaus. Die Diagonale ist beim Rechteck mit ungleichen Seiten keine Symmetrieachse; nur beim Quadrat (und bei der Raute) liegen die HĂ€lften genau aufeinander.
Multiple Choice #12 25s ▶ Testen

Zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den kurzen Seiten 3 cm und 5 cm werden an ihrer langen Seite aneinandergelegt, sodass die beiden 3-cm-Seiten in einer Ecke zusammenstoßen. Welches Viereck entsteht?

  • ● Drachenviereck
  • ○ Rechteck
  • ○ Raute
Am Viereck liegen nun zwei 3-cm-Seiten nebeneinander und zwei 5-cm-Seiten nebeneinander: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten, ein Drachenviereck. Ein Rechteck entstĂŒnde, wenn die 3-cm-Seiten einander gegenĂŒberlĂ€gen; fĂŒr eine Raute mĂŒssten alle vier Seiten gleich lang sein.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

In einem Parallelogramm ist eine Seite 8 cm lang. Wie lang ist die gegenĂŒberliegende Seite (in cm)?

✓ Antwort: 8
GegenĂŒberliegende Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang: ebenfalls 8 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die SeitenlĂ€ngen 9 cm und 5 cm. Wie lang ist die Seite, die der 9 cm langen gegenĂŒberliegt (in cm)?

✓ Antwort: 9
GegenĂŒberliegende Seiten des Rechtecks sind gleich lang: 9 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Viereck ist eine Raute. Drei seiner Seiten sind 6 cm lang. Wie lang ist die vierte Seite (in cm)?

✓ Antwort: 6
In einer Raute sind alle vier Seiten gleich lang: 6 cm.
LĂŒckentext #4 20s ▶ Testen

Ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten heißt ___.

✓ Antwort: Trapez
Mindestens ein Paar paralleler Seiten: Trapez.
Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Eine Raute wird entlang ihrer beiden Diagonalen zerschnitten. Wie viele gleiche Dreiecke entstehen?

✓ Antwort: 4
Die Diagonalen einer Raute halbieren einander und stehen senkrecht aufeinander. So entstehen 4 gleiche rechtwinklige Dreiecke.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Zwei Quadrate mit 3 cm SeitenlĂ€nge werden an einer Seite lĂŒckenlos aneinandergelegt. Wie lang ist die lĂ€ngere Seite des neuen Rechtecks (in cm)?

✓ Antwort: 6
Die beiden Quadrate liegen nebeneinander: Die lange Seite ist 3 cm + 3 cm = 6 cm, die kurze bleibt 3 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Parallelogramm hat die Seiten 7 cm und 4 cm. Wie groß ist sein Umfang (in cm)?

✓ Antwort: 22
Es gibt zwei Seiten zu 7 cm und zwei zu 4 cm: 7 + 4 + 7 + 4 = 22 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Quadrat hat den Umfang 36 cm. Wie lang ist eine Seite (in cm)?

✓ Antwort: 9
Alle vier Seiten sind gleich lang: 36 cm : 4 = 9 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Raute hat den Umfang 28 cm. Wie lang ist eine Seite (in cm)?

✓ Antwort: 7
Alle vier Seiten sind gleich lang: 28 cm : 4 = 7 cm.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Wie viele der fĂŒnf Vierecke Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck und Parallelogramm sind auch Trapeze?

✓ Antwort: 4
Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm haben zwei Paare paralleler Seiten – sie sind Trapeze. Das Drachenviereck hat im Allgemeinen kein Paar paralleler Seiten.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und trage A(1|1), B(7|1) und C(9|4) ein. ErgĂ€nze D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist, gib die Koordinaten von D an und begrĂŒnde mit den Seiten, warum ABCD ein Parallelogramm ist. Welche SeitenlĂ€ngen haben AB und DC? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zeichnung mit A, B, C und D(3|4). Von B nach C geht es 2 nach rechts und 3 nach oben; derselbe Schritt von A aus fĂŒhrt zu D(3|4). Damit sind BC und AD parallel und gleich lang; AB und DC liegen beide waagerecht. Beide Paare gegenĂŒberliegender Seiten sind parallel: Parallelogramm. |AB| = 7 − 1 = 6 und |DC| = 9 − 3 = 6.
Schritt B→C: 2 rechts, 3 hoch. Von A aus: D(3|4). AD ∄ BC und AB ∄ DC (beide waagerecht), |AB| = |DC| = 6.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Von einem Rechteck (8 cm × 6 cm) wird an einer Ecke ein Quadrat mit 2 cm SeitenlĂ€nge abgeschnitten. Wie viele Ecken hat das ReststĂŒck?

✓ Antwort: 6
Die abgeschnittene Ecke fĂ€llt weg, dafĂŒr entstehen drei neue Ecken am Rand des Schnitts: 4 − 1 + 3 = 6. Das ReststĂŒck ist eine L-Figur mit sechs Ecken.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Von einem Parallelogramm wird links ein rechtwinkliges Dreieck abgeschnitten, der Schnitt steht senkrecht auf der Grundseite. Das Dreieck wird rechts wieder angelegt. Welches Viereck entsteht?

  • ● Rechteck
  • ○ Raute
  • ○ Trapez, aber kein Parallelogramm
Der Schnitt ist senkrecht, und rechts passt das Dreieck mit seiner schrÀgen Seite genau an die schrÀge Seite des Parallelogramms. Die neue Figur hat vier rechte Winkel: ein Rechteck mit derselben Grundseite. So wird spÀter der FlÀcheninhalt des Parallelogramms bestimmt.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den kurzen Seiten 2 cm und 7 cm werden an ihrer langen Seite aneinandergelegt, sodass die beiden 2-cm-Seiten einander gegenĂŒberliegen. Welches Viereck entsteht?

  • ● Rechteck
  • ○ Drachenviereck
  • ○ Quadrat
GegenĂŒberliegende Seiten sind gleich lang (2 cm und 2 cm, 7 cm und 7 cm), und die beiden rechten Winkel liegen in gegenĂŒberliegenden Ecken. Man hat ein Rechteck 7 cm × 2 cm wieder zusammengesetzt, das entlang seiner Diagonale zerschnitten war. Ein Drachenviereck entstĂŒnde, wenn die 2-cm-Seiten in einer Ecke zusammenstießen; ein Quadrat brĂ€uchte vier gleiche Seiten.