Lagen am Kreis

Positions Around a Circle

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben
GeometrieKreiseTangens

Eine Gerade und ein Kreis haben null, einen oder zwei gemeinsame Punkte: Passante, Tangente (mit Berührpunkt) oder Sekante. Entscheidend ist der Abstand d(M; g) des Mittelpunkts von der Geraden, verglichen mit dem Radius r; bei der Tangente steht das Lot von M, der Berührradius, senkrecht auf ihr. Zwei Kreise unterscheidet der Abstand ihrer Mittelpunkte. Räumt aus: Tangente sei eine Gerade, die den Kreis nur "streift", und Berühren sei dasselbe wie Schneiden. Bereitet Tangentenkonstruktion, Kreisberechnung und die Kreisgleichung vor.

Kreis und Gerade

Eine Gerade g und ein Kreis begegnen sich auf drei Arten; entscheidend ist die Zahl der gemeinsamen Punkte. Hat g keinen, ist g eine Passante. Hat g genau einen, ist g eine Tangente; der Punkt heißt Berührpunkt B. Hat g zwei, ist g eine Sekante.

Welche der drei gilt, verrät der Abstand des Mittelpunkts von der Geraden, verglichen mit dem Radius: Passante, Tangente, Sekante. Bei der Tangente ist das Lot von M auf g der Berührradius : Die Tangente steht senkrecht auf ihm. Eine Gerade, die dem Kreis nur sehr nahe kommt, bleibt eine Passante.

Schiebe die Gerade g mit dem Regler. Bei welchem Abstand d berührt sie den Kreis nur noch?

Zwei Kreise

Bei zwei Kreisen und zählt der Abstand der Mittelpunkte. Ohne gemeinsamen Punkt liegen die Kreise außerhalb oder ineinander; mit genau einem berühren sie sich – von außen oder von innen; mit zwei Punkten schneiden sie sich. Bei und berühren sie sich von außen für und von innen für ; dazwischen schneiden sie sich.

Ziehe den zweiten Kreis mit dem Regler e. Bei welchen Abständen berühren sich die Kreise?

Voraussetzungen (2)

Parallel, senkrecht, Abstand
Klasse 5
›
Der Kreis
Klasse 5
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie heißt die Gerade g in Bezug auf den Kreis?

  • ● Sekante
  • ○ Tangente
  • ○ Passante
g schneidet den Kreis in zwei Punkten: eine Sekante. Eine Tangente hätte nur einen gemeinsamen Punkt, eine Passante keinen.
Im Bild tippen #2 15s ▶ Testen

Tippe auf die Tangente.

✓ Antwort: gT
Die Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt: die Gerade rechts oben. Die waagerechte Gerade schneidet den Kreis zweimal (Sekante), die senkrechte links hat keinen Punkt mit ihm gemeinsam (Passante).
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Der Kreis hat den Radius 5 cm. Der Mittelpunkt hat von der Geraden g den Abstand 3 cm. Was ist g?

  • ● Sekante
  • ○ Tangente
  • ○ Passante
Der Abstand 3 cm ist kleiner als der Radius 5 cm: Die Gerade reicht ins Kreisinnere und schneidet den Kreis in zwei Punkten. Sie ist eine Sekante.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Der Kreis hat den Radius 3 cm. Der Mittelpunkt hat von der Geraden g den Abstand 3 cm. Was ist g?

  • ● Tangente
  • ○ Sekante
  • ○ Passante
Abstand und Radius sind gleich: Die Gerade erreicht den Kreis genau am Rand, ohne hineinzuragen. Sie ist eine Tangente.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 2 cm. Der Mittelpunkt hat von g den Abstand 2,5 cm. Dann ist g eine Sekante.

✓ Falsch
Der Abstand 2,5 cm ist größer als der Radius 2 cm: Die Gerade erreicht den Kreis nicht. Sie ist eine Passante.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist die Tangente an den Kreis im Punkt B?

  • ● g1
  • ○ g2
  • ○ g3
Die Tangente steht senkrecht auf dem Berührradius [MB]. Nur g1 bildet mit [MB] einen rechten Winkel; g2 und g3 sind gegen g1 gekippt und schneiden den Kreis ein zweites Mal.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der Punkt B liegt auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M. Die Gerade g geht durch B und schließt mit dem Radius [MB] einen Winkel von 80° ein. Dann ist g die Tangente in B.

✓ Falsch
Die Tangente in B steht senkrecht auf [MB], der Winkel bei B müsste 90° betragen. Bei 80° ist g gegen die Tangente gekippt und trifft den Kreis ein zweites Mal: g ist eine Sekante.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wie liegen die beiden Kreise zueinander?

  • ● sie schneiden sich in zwei Punkten
  • ○ sie berühren sich
  • ○ sie haben keinen gemeinsamen Punkt
Die Kreise überlappen: Ihre Linien kreuzen sich in zwei Punkten. Beim Berühren hätten sie nur einen Punkt gemeinsam.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 3 cm, ein zweiter den Radius 2 cm. Ihre Mittelpunkte sind 5 cm voneinander entfernt. Wie liegen die Kreise?

  • ● sie berühren sich von außen
  • ○ sie schneiden sich
  • ○ sie haben keinen gemeinsamen Punkt
Der Abstand der Mittelpunkte ist gleich der Summe der Radien: 3 + 2 = 5. Die Kreise berühren sich von außen in einem Punkt auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Eine Gerade, die den Kreis in genau zwei Punkten schneidet, heißt ___.

✓ Antwort: Sekante
Zwei gemeinsame Punkte: Sekante. Bei einem Punkt wäre es eine Tangente, bei keinem eine Passante.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Gerade g ist Tangente an den Kreis k(M; 6 cm). Welchen Abstand hat M von g (in cm)?

✓ Antwort: 6
Bei einer Tangente ist der Abstand des Mittelpunkts gleich dem Radius: 6 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie groß ist der Winkel zwischen der Tangente in B und dem Berührradius [MB] (in °)?

✓ Antwort: 90
Der Berührradius ist das Lot von M auf die Tangente, also 90°.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Zwei Kreise mit den Radien 4 cm und 1 cm berühren sich von außen. Wie weit sind die Mittelpunkte voneinander entfernt (in cm)?

✓ Antwort: 5
Beim Berühren von außen ist der Abstand die Summe der Radien: 4 + 1 = 5 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kreis und vier Geraden: zwei Sekanten, eine Tangente und eine Passante. Wie viele gemeinsame Punkte mit dem Kreis haben die vier Geraden zusammen?

✓ Antwort: 5
Jede Sekante hat 2 Punkte, die Tangente 1, die Passante 0: 2 + 2 + 1 + 0 = 5.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Gerade berührt einen Kreis mit dem Durchmesser 10 cm. Welchen Abstand hat der Mittelpunkt von der Geraden (in cm)?

✓ Antwort: 5
Der Radius ist 10 : 2 = 5 cm. Eine berührende Gerade ist Tangente, ihr Abstand vom Mittelpunkt ist gleich dem Radius: 5 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Kreis k(M(4|5); 3) wird unten von einer waagerechten Tangente t berührt. Auf welcher Höhe y verläuft t?

✓ Antwort: 2
Der Berührradius zum untersten Punkt steht senkrecht auf t und ist 3 Einheiten lang: (4|2). Die Tangente liegt auf der Höhe y = 5 − 3 = 2.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Zwei Kreise mit den Radien 3 cm und 5 cm berühren sich von innen. Wie weit sind die Mittelpunkte voneinander entfernt (in cm)?

✓ Antwort: 2
Beim Berühren von innen ist der Abstand die Differenz der Radien: 5 − 3 = 2 cm.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Zeichne den Kreis k(M; 3 cm). Zeichne drei Geraden g1, g2 und g3, deren Abstand von M 1 cm, 3 cm und 4 cm beträgt. Benenne jede Gerade (Passante, Tangente oder Sekante) und begründe mit dem Abstand. Markiere bei der Tangente den Berührpunkt B und den Berührradius [MB] und gib den Winkel zwischen [MB] und der Tangente an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zeichnung mit Kreis (r = 3 cm) und drei Geraden. g1 (d = 1 cm < 3 cm): Sekante mit zwei gemeinsamen Punkten. g2 (d = 3 cm = r): Tangente mit Berührpunkt B; [MB] ist das Lot von M auf g2, der Winkel beträgt 90°. g3 (d = 4 cm > 3 cm): Passante ohne gemeinsamen Punkt.
Vergleich von d mit r = 3 cm: 1 < 3 Sekante, 3 = 3 Tangente (Berührradius senkrecht, 90°), 4 > 3 Passante.