Der Kreis

The Circle

Mathematik Klasse 5 16 Aufgaben
GeometrieKreiseKoordinaten

Der Kreis k(M; r) ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt M genau den Abstand r haben – die Kreislinie, nicht die Fläche dahinter. Punkte mit kleinerem Abstand liegen innerhalb, mit größerem außerhalb; der Mittelpunkt gehört nicht zur Kreislinie. Radius und Durchmesser (d = 2r) beschreiben die Größe, im Koordinatensystem liefern die Achsenparallelen durch M vier Kreispunkte im Abstand r. Räumt das Bild vom Kreis als gefülltem Rund aus. Bereitet Punktmengen mit Abstandsbedingung und die Lagen von Kreis und Gerade vor.

Mit dem Zirkel entsteht ein Kreis: Spitze in den Mittelpunkt M, Radius r einstellen, einmal herum. Alle Punkte der Kreislinie haben denselben Abstand r von M. Der Kreis ist die Menge aller Punkte P mit .

Punkte mit liegen innerhalb, Punkte mit außerhalb; zur Kreislinie gehören sie nicht – der Mittelpunkt M auch nicht. Die Strecke von M zu einem Punkt der Kreislinie heißt Radius. Eine Strecke durch M von Kreispunkt zu Kreispunkt ist ein Durchmesser: .

Zieh P im Bild und stelle den Radius r ein. Wann steht bei |MP| genau dieselbe Zahl wie bei r?

Im Koordinatensystem liegen auf die vier Gitterpunkte , , und : Man geht von M aus 2 Einheiten nach rechts, links, oben oder unten. Der Punkt ist weniger als 2 von M entfernt und liegt im Inneren.

Voraussetzungen (1)

Punkte im Koordinatensystem
Klasse 5
›

Ermöglicht (3)

Lagen am Kreis
Klasse 5
›
Punkte mit Abstand
Klasse 5
›
Umfang und die Zahl π
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf der Kreislinie des Kreises k(M; 3 cm)?

  • ● Punkt B
  • ○ Punkt A
  • ○ Punkt C
Auf der Kreislinie liegen genau die Punkte mit Abstand 3 cm von M – das ist B. A hat den Abstand 2 cm (innerhalb des Kreises), C den Abstand 4 cm (außerhalb).
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Mittelpunkt M gehört zur Kreislinie k(M; r).

✓ Falsch
Der Mittelpunkt hat von sich selbst den Abstand 0, nicht r. Die Kreislinie besteht nur aus den Punkten mit Abstand r – das Innere und M gehören nicht dazu.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Ein Punkt P mit |MP| = 5 cm liegt außerhalb des Kreises k(M; 4 cm).

✓ Wahr
Auf dem Kreis liegen nur Punkte mit |MP| = 4 cm. Ein Punkt mit Abstand 5 cm ist weiter weg als r und liegt außerhalb.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Strecke ist ein Durchmesser des Kreises?

  • ● [AB]
  • ○ [CD]
  • ○ [ME]
Ein Durchmesser läuft durch den Mittelpunkt M von Kreispunkt zu Kreispunkt: [AB]. [CD] verbindet zwei Kreispunkte, geht aber nicht durch M. [ME] ist nur ein Radius.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Wie lang ist sein Durchmesser?

  • ● 12 cm
  • ○ 6 cm
  • ○ 3 cm
Der Durchmesser besteht aus zwei Radien: d = 2 · 6 cm = 12 cm. 6 cm verwechselt Durchmesser und Radius, 3 cm halbiert statt zu verdoppeln.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Kreis mit dem Radius 3,5 cm hat den Durchmesser 7 cm.

✓ Wahr
d = 2 · r = 2 · 3,5 cm = 7 cm.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Kreis k(M(3|3); 2)?

  • ● P(5|3)
  • ○ P(5|5)
  • ○ P(4|4)
Von M(3|3) aus 2 Einheiten nach rechts: (5|3). P(5|5) ändert beide Koordinaten um 2 und liegt weiter als 2 von M entfernt, P(4|4) nur um 1 und ist näher als 2.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Punkt P im Bild liegt auf dem Kreis k(M(4|3); 2).

✓ Wahr
P(6|3) liegt 2 Einheiten rechts von M(4|3) auf gleicher Höhe: Abstand 2, also auf der Kreislinie.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Punkt P im Bild liegt auf dem Kreis k(M(4|3); 2).

✓ Falsch
P(5|4) ist 1 Einheit rechts und 1 nach oben von M(4|3) entfernt, also weniger als 2 weit weg: P liegt im Inneren des Kreises, nicht auf der Kreislinie.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Alle Punkte der Kreislinie haben vom Mittelpunkt den gleichen ___.

✓ Antwort: Abstand
Das ist die Eigenschaft der Kreislinie: gleicher Abstand r von M.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Durchmesser eines Kreises beträgt 9 cm. Wie lang ist der Radius (in cm)?

✓ Antwort: 4.5
Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser: 9 : 2 = 4,5 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Kreis k(M(5|4); 3) hat rechts von M auf gleicher Höhe einen Kreispunkt. Welchen Rechtswert hat er?

✓ Antwort: 8
3 Einheiten nach rechts von M(5|4): Rechtswert 5 + 3 = 8, der Punkt ist (8|4).
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Für vier Punkte gilt |MP| = 3 cm, |MQ| = 4 cm, |MR| = 4,5 cm und |MS| = 4 cm. Wie viele dieser Punkte liegen auf der Kreislinie?

✓ Antwort: 2
Nur Punkte mit Abstand genau 4 cm liegen auf der Kreislinie: Q und S. P liegt innerhalb (3 < 4), R außerhalb (4,5 > 4).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Kreis berührt alle vier Seiten eines Quadrats mit der Seitenlänge 10 cm von innen. Wie lang ist sein Radius (in cm)?

✓ Antwort: 5
Der Durchmesser des Kreises ist so lang wie die Quadratseite: d = 10 cm, also r = 10 : 2 = 5 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Kreis k(M(6|5); 4) liegt im Koordinatensystem. Welchen Rechtswert hat sein am weitesten links liegender Punkt?

✓ Antwort: 2
Ganz links liegt der Kreispunkt 4 Einheiten links von M auf gleicher Höhe: (2|5). Rechtswert 6 − 4 = 2.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeichne mit dem Zirkel den Kreis k(M; 3 cm). Markiere einen Punkt A auf der Kreislinie, einen Punkt B innerhalb und einen Punkt C außerhalb. Miss |MA|, |MB| und |MC|, begründe an den Abständen, wo die Punkte liegen, und zeichne einen Durchmesser [AD] mit seiner Länge. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Kreis um M mit Radius 3 cm. |MA| = 3 cm (auf der Linie), |MB| < 3 cm (innen), |MC| > 3 cm (außen). Der Durchmesser [AD] geht durch M, D liegt gegenüber von A auf dem Kreis, |AD| = 2 · 3 cm = 6 cm.
Ein Punkt liegt auf der Kreislinie, wenn |MP| = r = 3 cm ist, innen bei kleinerem, außen bei größerem Abstand. Der Durchmesser geht durch M: d = 2 · 3 = 6 cm.