Die Geradengleichung
The equation of a line
Eine Gerade im Raum wird durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt: g: X = A + λ·u mit Stützvektor A, Richtungsvektor u und Parameter λ. Der Abschnitt zeigt, wie man aus zwei Punkten den Richtungsvektor AB gewinnt, warum es viele gleichwertige Gleichungen derselben Geraden gibt und wie die Punktprobe mit einem einzigen λ für alle drei Zeilen arbeitet. Räumt aus, Stütz- und Richtungsvektor zu vertauschen, den Parameter zu vergessen oder einen Punkt nach dem Schrägbild statt nach der Rechnung zu beurteilen. Bereitet die Lage zweier Geraden und später Abstände und Schnittpunkte mit Ebenen vor.
Stützvektor und Richtung
Eine Drohne startet im
Das ist die Parameterform der Geraden g. Der Ortsvektor von A heißt Stützvektor, u Richtungsvektor, λ ∈ ℝ Parameter. Jedes λ liefert genau einen Punkt: λ = 0 den Start A, λ = 2 den Punkt (3 | 4 | 3), λ = −1 einen Punkt hinter dem Start. Die Gerade reicht in beide Richtungen unendlich weit.
Gerade durch zwei Punkte
Oft kennt man zwei Punkte, etwa A(1 | 0 | 1) und B(3 | 4 | 3). Der Verbindungsvektor
Die Gleichung einer Geraden ist nicht eindeutig. Als Stützvektor passt jeder Punkt der Geraden, als Richtungsvektor jedes Vielfache ungleich null, auch (1; 2; 1) oder (−1; −2; −1). Alle diese Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Die Punktprobe
Liegt P(4 | 6 | 4) auf g? Man setzt (4; 6; 4) = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) an und erhält drei Gleichungen: 4 = 1 + λ, 6 = 2λ, 4 = 1 + λ. Jede liefert λ = 3, also liegt P auf g. Bei Q(3 | 4 | 2) verlangt die erste Zeile λ = 2, die dritte λ = 1: kein gemeinsames λ, Q liegt nicht auf g.
Das Schrägbild kann täuschen: Ein Punkt scheint auf der Geraden zu liegen und schwebt doch davor oder dahinter. Es entscheidet die Rechnung.
Ermöglicht (2)
Welche Gleichung beschreibt die Gerade durch A(2 | 1 | 3) mit dem Richtungsvektor u = (1; 0; −2)?
Welcher Punkt liegt auf g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 1; −1) für λ = 3?
Die Gerade g hat den Stützvektor A(1 | 0 | 1) und den Richtungsvektor u = (1; 2; 1). Für welches λ liefert g den eingezeichneten Punkt Q(3 | 4 | 3)?
Für λ = −1 liefert g: X = (1; 1; 1) + λ·(1; 0; 2) den Punkt (0 | 1 | −1).
Welche Gleichung beschreibt die Gerade durch A(1 | 2 | 0) und B(4 | 0 | 2)?
Die Geraden g: X = (0; 0; 0) + λ·(1; 2; 3) und h: X = (2; 4; 6) + μ·(3; 6; 9) sind dieselbe Gerade.
Die Gerade g im Bild geht durch A und B. Welchen Richtungsvektor hat sie?
Welcher der Punkte liegt auf g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1)?
Der Punkt P(1 | 3 | 9) liegt auf g: X = (0; 1; 3) + λ·(1; 2; 3).
Im Bild scheint R(5 | 5 | 4) auf g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) zu liegen. R liegt tatsächlich auf g.
Für g: X = (2; 4; −1) + λ·(3; −2; 5) und λ = 2: Welche x₃-Koordinate hat der Punkt?
Die Gerade geht durch A(2 | −1 | 4) und B(5 | 3 | 1). Welche dritte Komponente hat der Richtungsvektor AB?
Der Punkt P(8 | 3 | −2) liegt auf g: X = (2; 1; 0) + λ·(3; 1; −1). Bestimme λ.
Eine Drohne fliegt auf g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 1; −1) (λ in Minuten, Längeneinheit 10 m). Bei welchem λ landet sie, also x₃ = 0?
Die Gerade g geht durch A(0 | 1 | 2) und B(2 | 5 | −2): g: X = A + λ·AB. Welche x₂-Koordinate hat der Punkt von g mit λ = 0,5?
Der Punkt P(5 | 4 | c) liegt auf g: X = (1; 0; 2) + λ·(2; 2; 1). Bestimme c.
Eine Drohne fliegt von A(1 | 0 | 1) nach B(3 | 4 | 3) und danach geradeaus weiter. Stelle eine Gleichung der Flugbahn g auf und prüfe rechnerisch, ob die Punkte C(5 | 8 | 5) und D(5 | 8 | 4) auf g liegen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.