Variable auf beiden Seiten

Variable on both sides

Mathematik Klasse 7 34 Aufgaben

AlgebraGleichungenLinear

Steht x auf beiden Seiten, werden die x-Terme auf beiden Seiten abgezogen und gesammelt; auf der Waage nimmt man von beiden Schalen gleich viele Beutel. Sammelt man auf der anderen Seite, entsteht ein negativer Faktor (−2x = −8), durch den man mit der Vorzeichenregel teilt; dort endet das Waagenbild (Vlassis 2002). Der Abschnitt räumt aus, 4x auf beiden Seiten zu addieren (7x + 3 = 4x + 15 gibt 11x), x nur auf einer Seite abzuziehen und beim Teilen durch −2 das Minus zu verlieren. Er bereitet Klammergleichungen, Nullstellen und Schnittpunkte linearer Funktionen sowie Gleichungssysteme vor.

x auf beiden Seiten

Steht x links und rechts, sammelst du die x-Terme auf einer Seite, indem du sie auf beiden Seiten abziehst. In $5 x + 2 = 3 x + 10$ nimmst du 3x weg ( $∣ - 3 x$ ): Von fünf Beuteln links bleiben zwei, rechts keiner, wie beim Zusammenfassen gleichartiger Terme 5x − 3x = 2x. Du erhältst 2x + 2 = 10. Im Bild nimmt Schritt 1 von beiden Schalen drei Beutel, blass bleibt stehen, was fehlt. Danach geht es wie gewohnt: $∣ - 2$ , $∣: 2$ , x = 4. Die Probe in der Ausgangsgleichung stimmt: 5 · 4 + 2 = 22 und 3 · 4 + 10 = 22.

Ziehe den Schieber Schritt für Schritt. Welche Beutel fallen bei | −3x weg, und warum bleibt die Waage im Gleichgewicht?

Wer die 3x nur links wegnimmt, schreibt 2x + 2 = 3x + 10. Bei x = 4 wiegt die linke Schale dann 10 g, die rechte 22 g: Die Waage kippt, und die neue Gleichung hat eine andere Lösung, nämlich x = −8.

Durch eine negative Zahl teilen

Du kannst auch 5x abziehen: $∣ - 5 x$ ergibt $2 = - 2 x + 10$ , $∣ - 10$ ergibt $- 8 = - 2 x$ . Einen Beutel mit −2x Gramm hat keine Waage, hier endet das Bild. Die Regel „auf beiden Seiten dasselbe“ gilt trotzdem, auch beim Teilen durch eine negative Zahl: $∣: (- 2)$ ergibt 4 = x, denn −8 : (−2) = 4, Minus durch Minus ergibt Plus. Der Umweg führt zum selben x = 4. Wer das Minus des Teilers vergisst, erhält x = −4, und die Probe 5 · (−4) + 2 = −18 gegen 3 · (−4) + 10 = −2 zeigt den Fehler sofort.

Kommt die Gleichung verpackt an, etwa $2 (x + 1) + 3 x = x + 18$ , reicht das Sammeln nicht. Ziehst du x ab, steht links 2(x + 1) + 2x, und ein Teil von x steckt immer noch in der Klammer.

Voraussetzungen (2)

Äquivalenzumformungen und Probe

Ermöglicht (3)

Klammern und Zusammenfassen

Klasse 7

›

Lineare Ungleichungen

Klasse 8

›

Nullstelle und Schnittpunkt

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

7x + 3 = 4x + 15 | − 4x. Welche Gleichung entsteht?

● 3x + 3 = 15
○ 11x + 3 = 15
○ 3x + 3 = 4x + 15

Auf beiden Seiten wird 4x subtrahiert: links 7x − 4x = 3x, rechts 4x − 4x = 0, es bleibt 15. 11x addiert 4x, und 3x + 3 = 4x + 15 nimmt 4x nur links weg.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Von beiden Waagschalen werden zwei Beutel weggenommen. Welche Gleichung beschreibt die Waage danach?

● 2x + 2 = 8
○ 6x + 2 = 8
○ 2x + 2 = 2x + 8

Links bleiben 4 − 2 = 2 Beutel, rechts bleiben 0 Beutel und das Gewicht 8. 6x + 2 = 8 legt die Beutel zusammen, 2x + 2 = 2x + 8 nimmt sie nur links weg.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

5x + 4 = 2x + 13 | − 2x ergibt 3x + 4 = 13.

✓ Wahr

Links 5x − 2x = 3x, rechts 2x − 2x = 0, es bleibt 13. Danach folgt | − 4 mit 3x = 9 und x = 3.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

−2x = −8 | : (−2). Welche Zeile entsteht?

● x = 4
○ x = −4
○ x = −6

Beide Seiten werden durch −2 geteilt: −8 : (−2) = 4, Minus durch Minus ergibt Plus. x = −4 verliert das Minus des Teilers, x = −6 rechnet −8 − (−2) statt zu teilen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

−3x = 12 | : (−3) ergibt x = 4.

✓ Falsch

Falsch. 12 : (−3) = −4, Plus durch Minus ergibt Minus: x = −4. Probe: −3 · (−4) = 12.

Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

Ist x = 3 die Lösung von 4x − 2 = x + 7?

✓ Ja

Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

Ist x = 5 die Lösung von 3x + 4 = x + 12?

✓ Nein

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

6x + 1 = 2x + 9 | − 2x ergibt ___ + 1 = 9

✓ Antwort: 4x

Links steht 6x − 2x = 4x, rechts 2x − 2x = 0: 4x + 1 = 9. Danach | − 1 und | : 4 mit x = 2.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

−5x = −35 | : (−5) ergibt x = ___

✓ Antwort: 7

−35 : (−5) = 7, Minus durch Minus ergibt Plus. Probe: −5 · 7 = −35.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 5x + 3 = 2x + 15

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 4x + 1 = x + 16

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 7x + 4 = 3x + 24

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #6 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 6x + 2 = 2x + 26

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #7 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3x + 8 = x + 14

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #8 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 5x + 6 = 2x + 21

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #9 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 6x + 5 = 4x + 17

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #10 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 8x + 3 = 5x + 18

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #11 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 4x − 3 = 2x + 7

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #12 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 5x − 4 = 3x + 6

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #13 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 9x − 5 = 6x + 4

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #14 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 7x − 2 = 4x + 10

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #15 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2x + 9 = 5x + 3

✓ Antwort: 2

Zahleneingabe #16 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 3x + 14 = 7x + 2

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #17 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. x + 12 = 4x + 3

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #18 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 2x + 15 = 5x + 3

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #19 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 4x + 10 = 2x + 4

✓ Antwort: -3

Zahleneingabe #20 40s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. 5x + 9 = 3x + 1

✓ Antwort: -4

Zahleneingabe #21 25s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. −2x = −8

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #22 25s ▶ Testen

Löse die Gleichung. Trag x ein. −3x = −12

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #23 40s ▶ Testen

Lena hat 3 Beutel mit gleich vielen Murmeln und 5 einzelne Murmeln. Tom hat 1 solchen Beutel und 13 einzelne. Beide haben gleich viele Murmeln. Wie viele Murmeln sind in einem Beutel?

✓ Antwort: 4

Zahleneingabe #24 40s ▶ Testen

Ali hat 4 Dosen mit gleich vielen Stiften und 2 einzelne Stifte. Mia hat 2 solche Dosen und 12 einzelne. Beide haben gleich viele Stifte. Wie viele Stifte sind in einer Dose?

✓ Antwort: 5

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse 6x + 1 = 2x + 21.

✓ Antwort: 5

| − 2x: 4x + 1 = 21; | − 1: 4x = 20; | : 4: x = 5. Probe: 6 · 5 + 1 = 31 und 2 · 5 + 21 = 31.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Löse 4x + 2 = 7x − 10 und rechne dabei zuerst | − 7x.

✓ Antwort: 4

| − 7x: −3x + 2 = −10; | − 2: −3x = −12; | : (−3): x = 4. Probe: 4 · 4 + 2 = 18 und 7 · 4 − 10 = 18.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse 9 − 2x = 3.

✓ Antwort: 3

| − 9: −2x = −6; | : (−2): x = 3. Probe: 9 − 2 · 3 = 3.