Geraden zeichnen und ablesen

Drawing and reading lines

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben
FunktionenLineare FunktionenGraphenGeraden

Eine Gerade y = m · x + t zeichnet man ab S(0 | t) mit dem Steigungsdreieck (1 nach rechts, m nach oben) und einem Kontrollpunkt; bei m = p/q gehen q Schritte nach rechts und p nach oben. Umgekehrt liest man t an der y-Achse und m an einem Steigungsdreieck zwischen Gitterpunkten ab und notiert die Gleichung. Die Station räumt vertauschte Schritte (Δx und Δy), Vorzeichenfehler bei t und m und ungenaues Ablesen an kleinen Dreiecken aus (Leinhardt et al. 1990). Bereitet das Aufstellen von Geradengleichungen und das Ablesen aller Funktionsgraphen vor.

Eine Gerade zeichnen

Für markiert man zuerst . Von dort geht man mit dem Steigungsdreieck 1 nach rechts und m = 2 nach oben und erreicht , den Punkt A vom Steigungsdreieck. Zwei Punkte legen die Gerade fest; ein dritter dient als Probe: Noch 2 nach rechts und 4 nach oben liegt , der Punkt B. In der Abbildung ist das der Start: S, das Dreieck und der zweite Punkt.

Ist die Steigung ein Bruch , geht man q nach rechts und p nach oben, bei negativem p nach unten. Für sind das 4 nach rechts und 3 hoch, für 3 nach rechts und 2 hinunter: Der Nenner gehört nach rechts, der Zähler nach oben.

Stelle p auf −2 und q auf 3. In welche Richtung zeigt jeder Schritt, und wie ändert sich die Gerade, wenn p das Vorzeichen wechselt?

Die Gleichung ablesen

Rückwärts liest man t dort ab, wo die Gerade die y-Achse trifft, und m an einem Steigungsdreieck zwischen zwei Gitterpunkten, mit Vorzeichen. Ein großes Dreieck liest genauer ab als ein kleines. Unsere Gerade trifft die y-Achse bei 1 und steigt von nach : , , wieder . Wer t dort abliest, wo die Gerade die x-Achse trifft, bekommt eine Zahl links vom Ursprung und eine falsche Gleichung.

Stelle m und t so ein, dass die cyanfarbene Gerade die orangefarbene gestrichelte deckt. Welche Werte sind es?

Voraussetzungen (1)

Was m und t bedeuten
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Grafisch lösen
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Man zeichnet y = 2x − 1 ab S(0 | −1): 1 nach rechts, 2 nach oben. Welchen zweiten Punkt erreicht man?

  • ● (1 | 1)
  • ○ (2 | 0)
  • ○ (1 | −3)
Von (0 | −1) ergibt 1 nach rechts x = 1, 2 nach oben y = −1 + 2 = 1: (1 | 1). (2 | 0) vertauscht die Schritte (2 nach rechts, 1 nach oben), (1 | −3) geht nach unten statt nach oben.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche der Geraden ist der Graph von y = −x + 2?

  • ● Gerade B
  • ○ Gerade A
  • ○ Gerade C
y = −x + 2 startet bei S(0 | 2) und fällt: B. A steigt (Vorzeichen von m vergessen), C startet bei S(0 | −2) (Vorzeichen von t vertauscht).
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Man zeichnet y = 3x + 1 ab S(0 | 1), indem man 3 nach rechts und 1 nach oben geht.

✓ Falsch
Die Steigung 3 heißt Δy : Δx = 3 : 1, also 1 nach rechts und 3 nach oben. 3 nach rechts und 1 hoch gehört zur Steigung 1/3.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Gerade hat die Steigung m = 3/4. Welches Steigungsdreieck passt?

  • ● 4 nach rechts, 3 nach oben
  • ○ 3 nach rechts, 4 nach oben
  • ○ 4 nach rechts, 3 nach unten
m = Δy : Δx = 3 : 4: der Nenner 4 ist der Schritt nach rechts, der Zähler 3 der Schritt nach oben. „3 nach rechts, 4 hoch“ gehört zu 4/3, „3 nach unten“ zu m = −3/4.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Steigung hat die abgebildete Gerade?

  • ● −2/3
  • ○ −3/2
  • ○ 2/3
Das Steigungsdreieck geht 3 nach rechts (Δx = 3) und 2 nach unten (Δy = −2): m = −2 : 3 = −2/3. −3/2 kehrt den Bruch um, 2/3 übersieht das Gefälle.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Gerade y = 0,5x + 2 verläuft flacher als die Gerade y = x + 2.

✓ Wahr
Bei m = 0,5 steigt die Gerade nur 0,5 je Schritt, bei m = 1 steigt sie 1 je Schritt. Kleinerer Betrag der Steigung heißt flacher – beide haben t = 2.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Gleichung gehört zur abgebildeten Geraden?

  • ● y = 2x + 1
  • ○ y = x + 2
  • ○ y = 2x − 1
Die Gerade trifft die y-Achse bei 1 (t = 1) und geht von (0 | 1) nach (1 | 3): m = 2. y = x + 2 vertauscht m und t, y = 2x − 1 nimmt das falsche Vorzeichen von t.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Gleichung gehört zur abgebildeten Geraden?

  • ● y = −0,5x + 3
  • ○ y = 0,5x + 3
  • ○ y = −2x + 3
t = 3 (Schnittpunkt mit der y-Achse). Von (0 | 3) nach (2 | 2): Δx = 2, Δy = −1, also m = −1/2. y = 0,5x + 3 übersieht das Gefälle, y = −2x + 3 kehrt den Bruch um.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die abgebildete Gerade gehört zu y = 3x + 2.

✓ Falsch
Die Gerade trifft die y-Achse bei −2, also t = −2; die Steigung 3 stimmt (von (0 | −2) nach (1 | 1)). Richtig ist y = 3x − 2.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für die Gerade y = −2x + 5: Welchen y-Wert hat der Punkt der Geraden bei x = 3?

✓ Antwort: -1
y = −2 · 3 + 5 = −6 + 5 = −1. Vom Startpunkt S(0 | 5) geht man dreimal 1 nach rechts und jedes Mal 2 nach unten.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Gerade geht von S(0 | 0) aus 5 nach rechts und 2 nach oben. Wie groß ist die Steigung m als Dezimalzahl?

✓ Antwort: 0.4
m = Δy : Δx = 2 : 5 = 0,4.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Lies die Steigung m der abgebildeten Geraden aus zwei Gitterpunkten ab.

✓ Antwort: 1.5
Zum Beispiel (1 | 1) und (3 | 4): Δx = 2, Δy = 3, also m = 3 : 2 = 1,5.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Gerade geht durch S(0 | 1) und hat die Steigung m = 2. Welchen y-Wert hat sie bei x = 4?

✓ Antwort: 9
Vier Schritte nach rechts, jedes Mal 2 nach oben: y = 1 + 4 · 2 = 9. Als Term: y = 2x + 1, also 2 · 4 + 1 = 9.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Weg steigt auf 250 m waagerechter Strecke um 20 m. Wie groß ist die Steigung m als Dezimalzahl?

✓ Antwort: 0.08
m = 20 m : 250 m = 0,08. Als Prozent geschrieben sind das 8 % Steigung: Man steigt 8 m auf 100 m Strecke.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Zeichne die Gerade y = (2/3)x − 3 in ein Koordinatensystem. Beschreibe, wie du vom Punkt S(0 | −3) aus mit einem Steigungsdreieck zwei weitere Punkte findest, gib diese Punkte an und prüfe die Gerade mit dem Punkt bei x = 9. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: S(0 | −3) markieren. m = 2/3: 3 nach rechts und 2 nach oben → (3 | −1); nochmal → (6 | 1). Gerade durch die Punkte. Probe: y = (2/3) · 9 − 3 = 6 − 3 = 3, also liegt (9 | 3) auf der Geraden.
Von S(0 | −3): 3 nach rechts, 2 nach oben → (3 | −1), dann (6 | 1). Probe: (2/3) · 9 − 3 = 3.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Lies die Gleichung der abgebildeten Geraden ab und berechne damit y für x = 10.

✓ Antwort: 7
t = 2 und von (0 | 2) nach (2 | 3): m = 1/2. y = 0,5x + 2, also bei x = 10: y = 5 + 2 = 7.