Gleichungen im Gleichgewicht

Equations in balance

Mathematik Klasse 7 15 Aufgaben

AlgebraGleichungen

Die Waage macht das Gleichheitszeichen sichtbar: Beide Seiten sind gleich viel wert, und jeder Beutel enthält dieselbe unbekannte Zahl. Eine Lösung macht die Gleichung wahr und wird durch Einsetzen geprüft; systematisches Probieren (zu klein, dann größer) schließt sie ein, kostet aber viele Versuche. Der Abschnitt räumt aus, „=“ heiße „hier folgt das Ergebnis“ (Kieran 1981), und nutzt die Waage nur mit positiven Inhalten (Vlassis 2002). Er bereitet die Äquivalenzumformungen vor, die dieses Probieren durch ein sicheres Verfahren ersetzen.

Die Waage

Links liegen zwei Beutel, die gleich viel wiegen, und ein kleines Gewicht, rechts ein großes Gewicht. Wie schwer ist ein Beutel? Probier es aus: Mach die Beutel leichter oder schwerer, bis der Balken waagerecht steht.

Verändere das Gewicht x eines Beutels. Bei welchem Wert steht die Waage still – und wohin kippt sie davor und danach?

Eine Waage im Gleichgewicht ist das Bild, mit dem dieser ganze Kurs arbeitet. Jetzt bekommt sie Zeichen.

Eine Waage steht im Gleichgewicht, wenn beide Schalen gleich schwer sind. Genau das sagt das Gleichheitszeichen: Beide Seiten sind gleich viel wert. 8 + 7 = 9 + 6 ist wahr, denn links und rechts steht 15. Es heißt nicht „links steht die Aufgabe, rechts das Ergebnis“.

In jedem Beutel steckt dieselbe unbekannte Zahl x Gramm. Die Gleichung $2 x + 3 = 17$ sagt: Zwei Beutel und 3 g wiegen so viel wie 17 g. Im Bild liegen sie links, die 17 g rechts, und der Balken neigt sich zur schwereren Schale.

Lösung und Einsetzen

Eine Lösung ist eine Zahl für x, bei der die Waage im Gleichgewicht steht. Ob eine Zahl passt, prüfst du durch Einsetzen: In $2 x + 3 = 17$ ist x = 7 richtig, denn 2 · 7 + 3 = 17. Für x = 5 wird die linke Seite 13, die Waage kippt nach rechts. Alle Lösungen zusammen heißen Lösungsmenge, hier L = {7}.

Systematisch probieren

Du kannst die Lösung auch probieren, aber mit Plan: Ist die linke Seite zu klein, probierst du ein größeres x, ist sie zu groß, ein kleineres. So schließt du die Lösung ein. Für 2x + 3 = 17 gibt x = 5 den Wert 13 und x = 10 den Wert 23, die Lösung liegt also dazwischen. Das klappt, kostet aber viele Versuche, und manchmal trifft kein Versuch: Bei 2x + 3 = 18 gibt x = 7 den Wert 17 und x = 8 den Wert 19. Keine ganze Zahl bringt diese Waage ins Gleichgewicht, die Lösung 7,5 liegt dazwischen.

Eingrenzen: Bei x = 5 ist die linke Seite zu klein, bei x = 10 zu groß, bei x = 7 gleich 17.

Voraussetzungen (1)

Termwerte und Wertetabellen

Klasse 7

›

Ermöglicht (1)

Äquivalenzumformungen und Probe

Klasse 7

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gleichung ist wahr?

● 6 + 9 = 7 + 8
○ 6 + 9 = 7 + 9
○ 6 + 9 = 16 − 2

Beide Seiten müssen gleich viel wert sein: 6 + 9 = 15 und 7 + 8 = 15. Bei 7 + 9 ist die rechte Seite 16, bei 16 − 2 nur 14.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Waage zeigt die Gleichung 5 + 4 = 3 + 6. Ist sie wahr?

✓ Wahr

Links liegen 5 + 4 = 9, rechts 3 + 6 = 9: beide Seiten sind gleich viel wert, die Waage steht im Gleichgewicht.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

8 + 7 = 9 + 5

✓ Falsch

Falsch. Die linke Seite hat den Wert 15, die rechte 14. Das Gleichheitszeichen verlangt gleiche Werte, nicht „links steht die Aufgabe, rechts das Ergebnis“.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist eine Lösung von 4x + 1 = 21?

● 5
○ 4
○ 20

Einsetzen: 4 · 5 + 1 = 21 stimmt. Für x = 4 ergibt sich 17, für x = 20 sogar 81. 20 ist nur 21 − 1, aber x wird noch mit 4 multipliziert.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Bei welchem Wert von x steht die Waage im Gleichgewicht?

● 4
○ 12
○ 16

Einsetzen: 3 · 4 + 2 = 14. Die Zahl 12 ist 14 − 2, aber die drei Beutel wiegen zusammen 12 g, einer nur 4 g. 16 addiert die 2 statt sie abzuziehen.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

x = 3 ist eine Lösung von 5x − 2 = 13.

✓ Wahr

Einsetzen: 5 · 3 − 2 = 13, die rechte Seite ist 13. Beide Seiten sind gleich, also ist 3 eine Lösung.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Für 3x + 4 = 40 ergibt x = 10 den Wert 34, das ist zu wenig. Welche Zahl probierst du als Nächstes?

● 11
○ 9
○ 40

Der Wert 34 ist zu klein, also muss x größer werden: x = 11 gibt 37. Bei x = 9 wird der Wert noch kleiner (31), und 40 ist die rechte Seite, nicht ein Wert für x.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Für 2x + 5 = 31 sind x = 10 und x = 15 probiert worden. Wo liegt die Lösung?

● zwischen 10 und 15
○ kleiner als 10
○ größer als 15

Bei x = 10 ist 2x + 5 = 25 zu klein, bei x = 15 ist es 35 zu groß. Der Wert 31 liegt dazwischen, also auch die Lösung (x = 13).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Welche Zahl macht die Gleichung wahr? 12 + 5 = ___ + 3

✓ Antwort: 14

Die linke Seite ist 12 + 5 = 17. Rechts muss auch 17 stehen, also ___ + 3 = 17 und ___ = 14.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Für x = 4 hat der Term 2x + 7 den Wert ___

✓ Antwort: 15

Einsetzen: 2 · 4 + 7 = 8 + 7 = 15.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Probiere systematisch: Welche ganze Zahl löst 4x − 3 = 21?

✓ Antwort: 6

x = 5 gibt 17 (zu klein), x = 7 gibt 25 (zu groß), x = 6 gibt 4 · 6 − 3 = 21.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Waage steht im Gleichgewicht. Links liegen 18 g und 7 g, rechts ein Stück und 9 g. Wie schwer ist das Stück (in g)?

✓ Antwort: 16

Beide Seiten sind gleich schwer: 18 + 7 = 25 g. Das Stück wiegt 25 g − 9 g = 16 g.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welche Zahl x gilt x + x + 5 = 17?

✓ Antwort: 6

Zwei gleiche Summanden x und 5 ergeben 17. Also ist 2x = 12 und x = 6. Einsetzen: 6 + 6 + 5 = 17.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Handytarif kostet 5 € Grundgebühr plus 3 € je Gigabyte. Bei wie vielen Gigabyte (GB) zahlst du 26 €? Probiere.

✓ Antwort: 7

Für x GB zahlst du 5 + 3x €. Probieren: x = 5 gibt 20 €, x = 8 gibt 29 €, x = 7 gibt 5 + 21 = 26 €.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse 2x + 5 = 21 durch systematisches Probieren: Lege eine Tabelle mit mindestens drei Versuchen an, grenze die Lösung ein und prüfe sie durch Einsetzen. Erkläre in einem Satz, warum die Waage bei deiner Lösung im Gleichgewicht steht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Tabelle: x = 5 → 2 · 5 + 5 = 15 (zu klein); x = 10 → 25 (zu groß); x = 8 → 21. Lösung x = 8. Einsetzen: 2 · 8 + 5 = 21 = rechte Seite. Beide Seiten sind gleich viel wert, deshalb steht die Waage im Gleichgewicht.

Der Wert 2x + 5 steigt mit x. x = 8 ergibt 16 + 5 = 21, genau die rechte Seite. Nur dann sind beide Waagschalen gleich schwer.